相对运动寻交点——2024年广东省中考数学第23题

相对运动寻交点

2024年广东省中考数学第23题

通常中考压轴题最后一道函数综合，多数是采用二次函数，少数采用一次函数或反比例函数，其实无论用哪种函数，都要遵从课标中对函数教学的要求，如下图：

其中对于反比例函数要求如下图：

在平时反比例函数教学过程中，对于它的图象性质，用得最多的是双曲线上某点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积是|k|，基于这个知识点的拓展非常多，当然难度跨度也比较大；

2024年广东省中考数学第23题，巧妙地将反比例函数、一次函数、二次函数、矩形、轴对称、圆的位置关系等融合到了一起，特别是在第3问中，圆与三角形的相对运动，比较新颖，很考验学生的构图能力。

同时在研究相对运动的过程中，又涉及到二次函数最值问题，到这个时候，才会明白原来题目中的那个反比例函数只是个幌子，真正要考查的二次函数内容隐藏很深。

题目

解析：

01

(1)从数与形两方面入手，本小问两种方法；

方法一：

观察点A横坐标与点B横坐标相同，点C纵坐标与点B纵坐标相同，而点B在直线y=ax上，于是设B(m,am)，表示出点A(m,k/m)，它与点D纵坐标相同，将y=k/m代入到y=ax中，求出x=k/am，则可得点D为(k/am,k/m)，利用矩形性质，最后得到点C(k/am,am)，显然k/am·am=k，所以函数y=k/x必经过点C；

方法二：

分别延长DA、CB、AB、DC，与坐标轴交点分别是E、F、G、H，如下图：

我们知道矩形的一条对角线将整个矩形分成全等的两个三角形，因此S△ODE=S△ODH，S△OBF=S△OBG，S△ABD=S△CBD，从较大的三角形中减掉这两个较小的三角形，得S矩形ABEF=S矩形CBGH，两边都加上S矩形OGBF，得S矩形AGOE=S矩形CFOH，即可得到点A横、纵坐标之积等于点C横、纵坐标之积，所以函数y=k/x必经过点C；

02

(2)延长DA、CB，分别交y轴于点F、G，如下图：

由轴对称可知BC=BE，DC=DE，且∠DEB=90°，我们很容易证明△DEF∽△EBG，同时点B坐标已知，先求出直线BD解析式为y=2x，设点A坐标为(1,k)，表示出点D坐标为(k/2,k)，点C坐标为(k/2,2)；

显然对于△BCD而言，DC=2BC，于是DE=2EB，故△DEF与△EBG的相似比为2:1；

表示出EG=1/2·DF=k/4，EF=2BG=2，则FG=2+k/4，又DC=k-2，于是2+k/4=k-2，解得k=16/3；

03

(3)矩形ABCD沿BD折叠后，当点C与点E重合时，可证明它是个正方形，而点P是正方形对角线交点，说明∠DBC=45°，所以我们可以将直线y=ax的解析式确定下来，a=1，即y=x；

不妨设B(t,t)，由OP=3√2可求得P(3,3)，而根据中点公式可求出D(6-t,6-t)，A(t,6-t)，C(6-t,t)，由于A、C均在反比例函数y=k/x上，所以k=t(6-t)；

请注意OP长度始终不变，变化的只是圆O半径和点B位置，通过直观发现存在以下两个临界点，一是当点B与圆O有公共点，二是圆O经过A(或C)点时，如下图：

此时OB=AC，而OB=√2t，AC=BD=√2(6-2t)，列方程得√2t=√2(6-2t)，解得t=2；

此时圆O半径OA=OC=AC，得等边△AOC，且OP是其一边上的高，于是PC=√6=BP，则OB=3√2-√6，而点B在直线y=x上，所以可求出B(3-√3，3-√3)，即t=3-√3；

因此对于点B而言，其横坐标t有一个范围，3-√3≤t≤2，此时再来看k=t(6-t)，将其化为顶点式，k=-(t-3)²+9，显然2和3-√3都在对称轴左侧，根据二次函数增减性，t=2时k=8，t=3-√3时k=6，所以6≤k≤8.

解题反思

看上去是反比例函数压轴，实际上还是二次函数压轴，双曲线只不过是掩护，实质上需要理解最值问题的一般解决方法。

第3问的解法并不唯一，本小问的设置中，正方形ABCD属于降低了难度要求，为了方便学生计算，真正需要学生构图的是圆和△ABC的位置关系。

作为省考卷，本题难度并不算太高，整卷难度并不在最后一道题上，个人看来，几何综合难度更高一些，并且其余试题难度分布较为合理。

函数综合，分为阶段综合和大综合，前者是在学习了有限的函数章节内容之后，后者则是针对中考总复习。初中阶段学习函数，首先要新授课中，需要帮助学生深刻理解函数概念，包括图象性质，在阶段综合时，需要将相关章节内容与函数进行有机整合，而在中考复习时，需要引导学生使用研究函数的一般方法，这三个层面螺旋上升，其中第一步极为重要，理解上稍有偏差，或者形成了不良的学习习惯，对后面的综合运用非常不利。函数教学最忌讳“套路化”，尤其是在八年级学习一次函数时，所有研究函数的方法在这个时段都会涉及到，到学习二次函数和反比例函数时，对前面的研究方法进行归纳和升华，在这个过程中，完成对初中阶段函数概念的最后理解。