解法多样任君取——2024年福建省中考数学第25题

解法多样任君取

2024年福建省中考数学第25题

在几何综合题解题教学中，除了追求一题多解，更要思考多解归一，在2022版新课标的学段(7-9年级)目标中，也明确指出了让学生从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，如下图：

而一道优秀的几何综合压轴题，命题之初便留下充分的空间供学生思维驰骋，让具备不同思维特性的学生都能发挥出自已的水平，并给予相应的评价。

题目

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交弧AD于点F.

(1)求OE:AE的值；

(2)求证：△AEB∽△BEC；

(3)求证：AD与EF互相平分.

解析：

01

(1)观察△AOC，由于点O是AB中点，故AC=2OA，即tan∠AOE=2；

再观察△AOE，它是一个直角三角形，由tan∠AOE=2可得AE=2OE，即OE:AE=1:2；

02

(2)我们首先通过观察图形，确定这两个三角形的对应关系，如下图：

我们延长EO至点G，使OG=OE，连接BG，如下图：

由AE=2OE，且EG=2OE，可得AE=EG；

易证△AOE≌△BOG，得AE=BG，于是EG=BG，∠G=∠AEO=90°，得等腰直角△BEG；

所以∠AEB=∠AEO+∠BEG=135°，∠BEC=180°-∠BEG=135°，即∠AEB=∠BEC；

而∠ABC=∠GBE=45°，于是∠OBG=∠CBE，再由前面的全等得∠OBG=∠BAE，所以∠BAE=∠CBE；

最后得到△AEB∽△BEC；

构造△AOE≌△BOG的方法很多，上述方法是倍长中线法，也可以过点B作CE的垂线，交CE延长线于点G，过程类似；

03

(3)证明互相平分的方法很多，我们首先从中点定义出发，分别证明交点N是AD、EF的中点；

0 1

方法一

如下图：

我们充分利用前面得到的等腰直角三角形，∠BEG=45°；

AB是直径，则∠ADB=90°，∠AFB=90°，先证明∠AEF=45°，得第二个等腰直角三角形，△AEF，则∠FAE=45°，而∠BAD=45°，于是∠FAN=∠OAE，由同弧所对圆周角相等，进一步可得∠FAN=∠DBN；

我们知道tan∠AOE=2，于是在Rt△AOE中，tan∠OAE=1/2，因此分别得到AE=2FN，BD=2DN；

而AF=EF，AD=BD，所以分别又得到EF=2FN，AD=2DN，即点N是EF中点，同时点N也是AD中点，所以AD与EF互相平分；

0 2

方法二

仍然利用前面所证△AEB∽△BEC时的条件，∠BAE=∠CBE，进一步转化得到∠FAN=∠BAE，继续借用第一问的结论，得AF=2FN，又△AEF可证明是等腰直角三角形，于是EF=2FN，即FN=EN，再连接DF，构造新的全等三角形，如下图：

等腰直角三角形有两个，分别是△AEF和△ADB，∠AEF=45°，而∠DFE=∠DAB=45°(都对同一段弧BD)，再加上对顶角，可得△DFN≌△AEN，所以AN=DN，即AD与EF互相平分；

0 3

方法三

在方法二的基础上，连接DE，可证四边形AEDF是平行四边形，如下图：

具体证明过程不再重复，有兴趣的读者可自行完成；

0 4

方法四

在△AOE中，设OE=a，则AE=2a，OA=√5a，如下图：

我们继续推导其余各边长度，在△AOC中，求出AC=2√5a，则OC=5a，于是CE=4a；

由AB=2OA得AB=2√5a，所以BC=√2AB=2√10a，而点D是BC中点，则CD=√10a；

Rt△AEF中，AE=EF=√2a，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=3√2a，于是BE=BF-EF=2√2a；

观察△CDE和△BOE，它们有一对角相等，∠DCE=∠OBE(第二小题已证)，CD:CE=√10:4，OB:BE=√5a:2√2a=√10:4，所以CD:CE=OB:BE，则△CDE∽△BOE，于是∠CED=∠BEO=45°，所以∠DEB=90°，可证DE∥AF；

再加上前面证过∠DFE=∠AEF得到DF∥AE，则四边形AEDF是平行四边形，于是AD与EF互相平分；

0 5

方法五

建系大法！如下图：

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，设O点坐标为(t,0)，则B(2t,0)，C(0,2t)，D(t,t)；

由AE=2OE得tan∠OAE=1/2，则直线AE解析式为y=1/2x，而直线OC解析式为y=-2x+2t，求出交点E坐标为(4t/5,2t/5)；

求直线BE解析式为y=-1/3x+2t/3，直线AF解析式为y=3x，从而求出点F坐标为(t/5,3t/5)；

直线AD解析式为y=x，它与直线BF相交，可求得交点N坐标为(t/2,t/2)；

现在我们可以验证点N是否为EF和AD中点了，过程略.

解题思考

整道题的三个小问关联十分紧密，可谓环环相扣，尤其是第一小问，线段的比值若“翻译”成三角函数值，再借助圆中的等角代换，在解题过程中如鱼得水，当然，利用相似三角形可达到同样的效果；

纵观整个解题过程，构造出等腰直角三角形十分关键，因此△BEG的构造是本题难点，事实上△BEG和△BCA恰好也构成一组手拉手相似模型，只是前面解法中未用到；

本题解题时，也存在部分伪证，例如连接DE之后，直接得到DE⊥BF，并将它作为条件使用；

在解法五中，用到了一次函数图象互相垂直的结论，方法略超，慎用；

第三小问中，作辅助线、作一条辅助线、作两条辅助线、建系均可，适用于不同思维习惯的学生，涉及到三角函数、相似、全等、平行四边形、一次函数相关知识，在压轴题系列研题视频中，有老师曾专门针对中点概念进行过研讨，包括中点在压轴题中的不同呈现形式，与哪些数学元素产生关联等，十分有益。

在课堂教学中，吃透概念是重要目标之一，也是难点，教材上的每个数学概念，需要让其在学生头脑中生长出来，通过设置情景，提出问题，辅以有效的课堂激励机制，让学生乐于去探究数学概念的形成。在数学史上，每个概念的形成都经历了长久的过程，我们没有必要重复这个过程，但在这些漫长形成过程中，需要抓住概念的本质，以合理的方式在课堂上再现，用高效的形式帮助学生理解。