揭秘“错错得正”，回避逻辑坑

揭秘“错错得正”，回避逻辑坑

在一次周末作业中，老师布置了一道几何综合题，某位学生也得到了正确答案，但是老师看了他的草稿和图上的痕迹之后，认为他是错的，这是为什么呢？我们一起来研判：

题目

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=1，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED.

(1)如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得△AED，求∠BED的大小；

(2)如图2，CD交BE于点F，求证：点F是BE中点；

(3)△AED在绕点A旋转一周的过程中，线段DF长度的最大值为_________________.

解析：

01

(1)由旋转可得AB=AE，△ABE为等腰三角形，且顶角为30°，如下图：

可得∠AEB=75°，而∠AED=60°，所以∠BED=15°；

02

(2)先说一种“秒杀”的方法：

连接AF，如下图：

连接AF，由旋转可得∠CAD=∠BAE，即等腰△ACD和等腰△ABE，这两个顶角相等的等腰三角形，底角也相等，即∠ACD=∠ABE，这两个角在AF同一侧，所以A、C、B、F四点共圆，因为∠ACB=90°，所以∠AFB=90°，AF⊥BE，由三线合一可得点F是BE中点；

此种解法的隐患是，四点共圆的依据并不是教材中的定理；

回归传统的构造全等三角形的方法，过点B作BG∥DE，如下图：

由BG∥DE得∠EDF=∠BGF，其中∠EDF=90°+∠ADC=90°+∠ACD，∠BGF=180°-∠BGC，所以90°+∠ACD=180°-∠BGC，整理得∠ACD+∠BGC=90°，而∠ACD+∠BCG=90°，所以∠BCG=∠BGC，即BC=BG，由旋转可知BC=ED，所以BG=ED，再加上∠BFG=∠EFD，∠BGF=∠EDF，可证△BFG≌△EFD，最后得到点F是BE中点；

学生完成这一问其实比较顺利，毕竟构造全等三角形来完成边之间的等量转换，还算熟练；

03

(3)本来作为本题最难的小题，应该花较长时间完成，结果某个学生居然说他把这道题给秒了，虽然十分诧异，但还是请他来说明过程；

学生：由第2小题点F是BE中点，可由三线合一证明AF⊥BE，因此四边形ACBF有一组对角互补，因此这个四边形四个顶点共圆；

老师：这必须点赞！圆的概念理解非常到位！

学生：点F在以AB为直径的圆上，而点D在旋转过程中，在以A为圆心的圆上，所以DF长度的最大值，就是这两个圆的半径之差，大圆减去小圆的结果，嗯，是2；

说到此处，大家可能也发现问题所在了，我们来看图：

先说该学生犯的错误，小圆半径为1，这没问题，大圆半径是√3，这个他看错了，所以相减之后并不会等于2；同时DF的长度，不应该是半径之差，这一点他自已也没意识到；

重新画了图形之后，指出了他的错误，于是学生纠正为DF长度最大值是√3，当点F与A重合，点D在BA延长线上时取最大值；

真的是这样吗？

我们取AE中点H，连接FH和DH，由Rt△ADE中，DH是斜边上的中线，因此DH=1/2AE=1，结合前面的第2小题结论，FH是△ABE中位线，因此FH=1/2AB=1，如下图：

观察△DFH，它有两条边的长度是固定的，均为1，则第三边长度一定存在一个范围，当且仅当D、H、F三点共线时，DF最长，最大为2，如下图：

回到那位学生所提到了圆，我们将点D和点F所在的圆也画出来，再对比上图，看能发现什么，如下图：

可以发现，当DF取最大值时，两个圆心A、G与D、F根本不在一条直线上，所谓用大圆减小圆半径的逻辑根本就是错的；事实上，这四个点D、F、A、G不会共线.

显然，正确答案是2.

解题思考

在圆背景下求线段长度的最值，若线段两端点有一个在圆上，另一个在圆内或圆外，可利用点和圆的位置关系，连接该点和圆心，得到相应的线段，再判断最大和最小，如下图：

我们所依据最基础的定理，就是线段公理：两点之间，线段最短，几乎所有关于线段最值的问题，都会在线段两个端点上作文章，端点是什么点，在哪里(直线上或圆上)，静或动等等，例如另一个有关最短描述的定理，垂线段最短，其实也是从线段公理推演而来，垂线段有一个端点是垂足，在直线上，即从一个端点处作了点文章，公理就变成了定理；再例如“将军饮马”问题，将直线同侧两点转换成异侧两点，再线段公理；

有了圆之后，情况会稍微不一样，因为圆周上的点到圆心的距离相等，而这个概念的另一层含义是圆周上的点具有各向同性，即旋转对称性，只要连接平面内某个点和圆心，得到一条直线，那我们所要求的最长和最短距离，都可以在这条直线上找到相应的线段。

而存在两个圆的情况下，情况会更复杂一些，例如本题最后一小题，虽然我们研究线段DF长度的变化时用到了圆，但此时线段两个端点均在运动中，若是不借助三角形，仅仅只看线段，不容易得到最值，所以此时需要用其它条件进行转换，利用中位线、斜边上的中线等，得到这条线段所在三角形有两边长度确定，从而解决问题。

因此，我们在探究线段最值问题的时候，优先考虑的依然是线段公理，若是这条线段被作了文章，那么我们的思维应该顺着条件寻找线段公理的“根”，以题设条件为依据，用所学的方法，将最终的那条“最短线段”找出来，这是正确的逻辑，也是通法。