理解“存在”与“任意”——新定义“切弧点”

理解“存在”与“任意”——新定义“切弧点”

在初中数学教材中，“存在”与“任意”这两个词出现得很频繁，通常情况下解释，存在是指有一种情况满足，任意是指所有情况都满足，利用deepseek回答了一下，如下图：

在数学描述中出现这两个词之后，思维难度一般不会低，尤其是在新定义压轴题中，学生在充分理解新定义的基础上，才会明白“存在”与“任意”在题目中的意义.

题目

解析：

01

(1)按“切弧点”描述作图如下：

若弦AB确定，则劣弧AB确定，M、N为劣弧AB上两点，分别过这两点作圆P切线，交于点Q，则点Q位置取决于点M、N的位置，而点M、N在劣弧AB上并不固定，因此所有可能的点M、N，应对应不同的点Q，而所有这些点Q，应该在某个范围内，我们先来寻找这个范围.

极限情况一：当点M、N分别与点A、B重合，如下图：

极限情况二：当点M、N重合，则点Q也在这个重合的点；

因此，所有可能存在的点Q，应该在线段QA、QB、劣弧AB围成的区域内，如下图：

若弦AB不确定，则劣弧AB也不确定，弦AB长度的变化，会引起上述范围大小变化，不妨多画几个草图来帮助理解，如下图：

由于弦AB非直径，继续增加弦AB的长度，也会有一个极限，就是直径长度，而弦AB在圆内的位置也不确定，当弦AB在圆内滑动时，这个区域就是以P为圆心，PA为内圆半径，PQ为外圆半径的圆环，特别在，当弦AB接近直径长度的时候，这个圆环外圆会非常大，看上去似乎整个圆P外部都包括；

在作图基础上，我们再来理解“切弧点”，一个圆P，圆P上的弦AB，所有可能的切弧点Q在一个圆环内部，圆环内圆半径为圆P半径，外圆半径为PQ，接下来我们研究外圆半径PQ和弦长AB间的数量关系，如下图：

不妨设PQ=R，AB=m，PA=PB=r，则PK²=BP²-BK²=r²-m²/4，由射影定理可得BP²=PK·PQ，于是r²=PK·R，以PK为中间量，我们找到了R与m、r间的关系：

这在后面的推导中用得上；

①根据“切弧点”定义，此时弦AB为定弦，则分别过点A、B作圆O切线，这两条切线及弧AB所围成的区域即所有可能存在的“切弧点”集合，如下图：

因此，圆O关于AB的“切弧点”是P2和P3；

②我们继续在前面概念的理解基础上来看本小问，圆O仍然不变，弦AC有一个端点A固定，另一个端点C在圆O上，如下图：

当存在“切弧点”的绿色区域和直线l有公共点时，即点D在直线l上，此时直线l上存在圆O关于AC的“切弧点”，我们来求此时点C的横坐标m，如下图：

过点C作x轴的垂线，交直线l于点G，交x轴于点F，若连接OD，得Rt△AOD，则tan∠ADO=1/2，而且∠CAF=∠ADO，可得tan∠CAF=1/2，于是AF=2CF，易证△COF∽△DCG，且相似比为1：2，因此得到CG=2OF=2|m|，其中AF=1+|m|，则CF=1/2(1+|m|)，求得FG=CF+CG=5/2|m|+1/2，可列方程5/2|m|+1/2=2，解得|m|=3/5，由点C在第二象限，则m=-3/5；

当弦AC继续增大，最大为直径(不能等于直径)，此时m=-1，所以可得范围是-1

02

(2)先复习前面的“切弧点”概念，一个圆T，其弦长t一定满足0

再来解读“任意”的含义，这意味着整个△ODE应该全部位于上述圆环内部，但这是一个动态的圆环，最令人费解之处正在于此.

正因为这是个动态的圆环，且外圆半径趋近无穷大，因此我们很容易得到弦长t的上限，即t<2√3.

本小问的难点在于寻求t的下限，当t的值小于这个下限之后，无论如何也无法保证△ODE上的任意点都是“切弧点”，这又和内圆位置有关，我们尝试从不同位置来探究：

第一步，确定圆心T轨迹

由于“切弧点”要求必须在圆外，则整个△ODE必须在圆T外部，不妨让圆T在△ODE的边上无滑动滚动一周，则圆心T的轨迹如下图：

第二步，确定圆心T坐标

我们的目标是使“切弧点”所在圆环能够完全覆盖△ODE时，寻找最小圆环，即t值的下限；

我们分段来研究，第一段是线段AB，如下图：

绿色为外圆，当点T位于线段AB上何处时，外圆半径最小？如下图：

作OT⊥AB，交DE于点K，过点T作TM⊥x轴，垂足为M，△ODE为含30°的特殊直角三角形，因此OK=√3/2，而TK=√3，所以OT=3√3/2，根据前面得出的R、m、r间的关系

此时R=3√3/2，r=√3，可求出m=2√15/3；

根据这个关系等式，还可以知道r为定值，则R值越小m越小，所以我们只需要在接下来的探究中寻找出R最小值即可；

第二段是弧BC，如下图：

要让△ODE全部在圆环内，则外圆需要经过点O和点D，此时可求出外圆半径OT，如下图：

可知OT>TM>3>3√3/2，即在第二段上的R比第一段上的R要大，相应的弦长m也比前一段的大；

第三段是线段CF，如下图：

当T落在x轴上，与点F重合时，外圆半径最小，此时DT=1+√3，即R=1+√3，且1+√3>3√3/2，即第三段上的R也比第一段上的R要大，相应的弦长m也比第一段的大；

第四段是弧FG，如下图：

当外圆经过D、E时，外圆半径最小，可连接DT，OT，过点T向x轴作垂线构造直角三角形来求DT的长，如下图：

图中Rt△MNT为含30°角的直角三角形，设NT=n，则MN=√3n，MT=2n，于是在Rt△ONT中，ON=1+√3n，由勾股定理可得2n²+√3n-1=0，解得n=(√11-√3)/4，再在Rt△DNT中利用勾股定理求DT的长，结果大于第一段中的R；

第五段是线段GH，如下图：

显然此时外圆半径最小为2√3，大于第一段中的R；

第六段是弧AH，如下图：

显然此时外圆半径仍然大于第一段中的R；

综上所述，当圆T在△ODE外部无滑动滚动一周之后，圆环的外圆半径有一个最小值，即第一段中的m=2√15/3，只要这个最小值存在，我们就能满足题目条件“△ODE上任意一点”都存在这样一条弦，满足“切弧点”的定义，所以2√15/3

解题思考

这道题学生感到困难之处，就是最后一问，圆T位置无法确定，甚至不会去寻找圆T，这需要我们理解新定义中“切弧点”描述中，点和圆的位置关系，由此启发，这个点一定在圆外部，再结合△ODE上任意一点，理解为一个圆在△ODE外部(或者说△ODE在圆T外部)，且在其边上无滑动滚动一周，在滚动过程中圆T都有可能找到“切弧点”，而我们只要找到一处，即满足“存在”；

学生在真实答题过程中，并不需要去计算每一个分段中外圆半径R的大小，只要估算出最小的那种情况，再计算结果，这对学生的估算能力提出了一定要求，同时对几何中圆的相关概念理解要深刻，例如圆内的弦，同一个圆内长度相同的弦有无数条，经过圆外一点可以作两条切线等.

对于“切弧点”所在的圆环，有一点要清楚，这个圆环的内圆是固定的，外圆半径是不断变化的，即一个外圆不稳定的圆环，这就带来一个副作用，不确定性，学生没办法通过作图去画一个真实的圆在草稿纸上探究，只能通过想像.而这个圆环的外圆半径是存在一个最小值的，寻找这个最小值，我们需要将圆环尽可能“贴近”并“包容”△DOE，简单说，就是找一个尽可能小的圆环，靠在△ODE上，而且把整个三角形包裹进去.在这个过程中，包裹住整个三角形的圆环需要作图验证，并在验证的基础上进行计算.每一处圆环位置，都对应一个相应的弦长值.

就难度而言，本题难度较高，主要是思维难度，当然在计算上也存在一定要求，这和近年来高考数学难度变化的趋势是相同的，作为压轴题，本来也应该具备一定难度以保证区分.

任何一个数学概念，是对现实事物的抽象描述，将真实情景中的事物用数学眼光扫描，得出若干数学元素，其中最基础的，就是数学概念，在概念的基础上，我们可以搭建出一个认知体系，这个体系可以对应现实世界中的任何事物，这就建立了数学与真实情景间的关系.

也就回到了课标上的“三会”.