就算摔碎10000个盘子，大小碎片数量分布竟然都会差不多？

我们多多少少都有过这样的经历：一不小心把盘子、玻璃杯或者手机掉在地上，碎片满地飞，结果捡起来一看，小碎渣特别多，大块却很少。

为什么？

其实不管是摔盘子、砸核桃，还是小行星在太空撞车，甚至原子核互相“对撞”，碎片的大小分布竟然都遵循同一个规律！

这可不是巧合，而是一个隐藏了上百年的数学谜团。最近，法国物理学家埃马纽埃尔·维勒莫（Emmanuel Villermaux）用一个超级简洁的理论，终于把它彻底破解了！

万事不决找数学！

当一个物体破碎时，会发生某种奇怪的现象：无论这个物体是掉落的玻璃杯还是盘子，还是一个原子的原子核撞击另一个原子核，甚至是两颗小行星相撞。当某物碎裂时，其碎片的大小总是遵循相同的趋势。

图源：snexplores

一个世纪以来，科学家们一直对破碎现象着迷。“这是一种魔力，”匈牙利德布勒森大学的物理学家费伦茨·昆（Ferenc Kun）说。

当你用对数轴绘制碎片数量与它们大小的关系图时，总会得到一条向下倾斜的直线。换句话说，小碎片的数量远多于大碎片。

在数学中，这条线被称为“幂律”。

如果你把一个土豆浸入液氮中然后扔下，你会得到与在煤矿中爆炸煤炭时相同的残余物大小分布。

但问题在于：为什么？

埃马纽埃尔·维勒莫（Emmanuel Villermaux）现在提出了一个解释。他的理论不仅解释了为什么碎片大小的图是一条直线，还预测了不同物体这条线的斜率应该是多少。维勒莫是法国艾克斯-马赛大学的物理学家，同时也是法国大学研究所的成员。他于去年11月在《物理评论快报》上分享了这一新发现。

另一位物理学家尼古拉·范登伯格（Nicolas Vandenberghe）指出，这一理论不仅仅解决了长期以来的谜团。他也在艾克斯-马赛大学工作，但并未参与这项新研究。

许多工业过程“需要有合适的碎片大小”，范登伯格指出。他以煤炭为例。如果块的大小不对，煤炭就燃烧不好。另一个例子是砂纸。其磨料由破碎的矿物颗粒制成，需要有非常特定且均匀的大小。因此，维勒莫的新理论在工业中可能有大量应用。

在某物破碎之前，裂纹会出现并在其中扩散。过去，科学家们经常研究这些裂纹如何发展，以此来理解破碎现象。但这些理论总是依赖于特定的碰撞，研究人员需要使用特定碰撞的细节来解释结果。

昆说，他的工作“表明实际上，破碎的机制对结果并不重要”。

碎片数量真的是随机吗？

维勒莫采用了两个广泛的概念，首先是“最大随机性”的概念。

最大随机性预测，任何过程最可能的结果是具有最多发生方式的那一个。

以掷两个骰子为例。

有六种方式可以让骰子数字相加为七：1和6、2和5、3和4、4和3、5和2、6和1。但只有一种方式让骰子相加为二：1和1。因此，掷出七的可能性更大。

科学家们现在将这种思维用于破碎的结果。当某物破碎时，碎片大小的分布很可能是具有最多发生方式的那种分布。

其次，维勒莫知道质量必须守恒。所有碎片的质量总和必须等于未破碎物体的起始质量。但他设计了一个更简单的版本：他证明，当某物破碎时，一种密度形式——质量除以体积——也必须近似守恒。

然后，维勒莫用数学计算出，如果这两个想法都成立，碎石的大小分布会是什么样子。

结果竟然是幂律！

维勒莫的公式还能预测绘制不同物体碎片大小时幂律的斜率。他的斜率不依赖于物体如何破碎、其大小、形状或由什么制成。它只依赖于物体的所谓维度。

以形状像线条的物体为例——铅笔或筷子。对于这种大致“一维”或“1-D”物体的碎片大小图，斜率将是-1。换句话说，随着碎片大小的增加，该大小的碎片数量以大致相同的速率减少。

有些东西，比如餐盘，具有显著的长度和宽度，但高度很小。这些大致二维（2-D）物体的斜率约为-2.2。因此，随着碎片大小的增加，碎片数量的下降速度比1-D物体稍快一些。

而对于三维物体——比如保龄球，具有显著的长度、宽度和高度——斜率将是-3.5。

这些斜率值与维勒莫和其他科学家进行的大量实验结果一致。例如，压碎未煮熟的意大利面（大致1-D）产生的碎片，其大小图的斜率为-1.3。在海洋中撕裂的薄包装材料（大致2-D）显示斜率为-2.4。而破碎波下的三维气泡给出斜率为-3.5。

维勒莫还亲自做了糖块实验：从不同高度砸下去，无论高度怎么变，碎片分布的斜率始终是-3.5，稳得一批！

不过有些东西确实打破了这些一般规则，为了解释它们，维勒莫以几种方式扩展了他的理论。

例如，最大碎片的分布往往低于预测的直线。因此，维勒莫推导出了他的公式的更复杂版本。它除了质量守恒外，还考虑了能量守恒。然后，他用对数轴重新绘制了一些90年前的数据。他对碎片大小的更复杂预测现在能够更全面地解释那个旧实验。

“用新思维看待近一个世纪前的数据非常好，”他说。“当你更仔细地观察它们时，你会发现一些新东西。”

维勒莫甚至可以解释为什么软物体的碎片分布与硬物体不同。软物体在破碎时会产生塑性变形，这会影响碎片的形成。维勒莫假设，软物体的某些小碎片不会形成，从而导致碎片分布更平坦，拥有较少的微小碎片和较多的较大碎片。他因此计算出塑料等软物体的“有效”斜率。对于三维的塑料物体，这个有效斜率约为-1.5。

维勒莫的工作与2010年昆等人的一项研究结果非常吻合。在那项实验中，他们将塑料球扔向墙壁，观察碎片，并计算出有效斜率为-1.6。昆对维勒莫的理论感到非常兴奋，他说：“在这非常通用的数学中，他能融入塑性的影响。这太令人惊叹了！”

这个理论不只是好玩，还有大用处。

许多工业过程都需要精确控制碎片大小，比如煤炭要碎到合适大小才好燃烧，砂纸的磨料颗粒必须均匀，制药、食品加工、回收利用等领域都能用到这个理论。

生活中好多这种看似平常的现象，其实蕴含了非常有意思的数学规律。乍看之下好像毫无意义，但实际上它们在工业、工程乃至科学研究等多个领域，正悄然发挥着重要作用。

来源：snexplores

原文：https://www.snexplores.org/article/how-objects-shatter-math-mystery

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