永别了，背公式时代！波兰物理学家用一个算子统一数学

新智元报道

编辑：KingHZ

【新智元导读】别再为背公式发愁了！一个算子eml(x,y)就能搞定一切。指数函数？y=1即可。对数？三层嵌套。π？五层。这项发现不仅改变数学观，还启发我们：宇宙底层代码可能极致简短，一个算子统治全部。

你背过多少数学公式？

sin、cos、tan、ln、log、sqrt、指数、幂运算、双曲函数……

从初中到大学，这些符号像野草一样在你的笔记本里疯长，每一个都有自己的定义、自己的图像、自己的一堆性质。

你以为数学就是这样——越学越多，越学越杂，公式背不完，卷子做不尽。

但如果我告诉你：这些东西，全部，没有例外，都是同一个公式的变体呢？

2026年4月，波兰雅盖隆大学的物理学家安杰伊·奥德尔齐沃莱克（Andrzej Odrzywołek）在扔出了一篇论文，标题翻译过来就是：「用单个二元算子生成所有初等函数」。

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2603.21852

这个算子长这样：eml(x, y) = eˣ − ln(y)。

没了。就这一行。指数减去对数。

然后他证明了一件事，让整个数学圈「地震」：只要你不断地把这个算子嵌套进自己——就像俄罗斯套娃一样一层套一层——你可以从中推导出科学计算器上的每一个按键。

三角函数，对数，根号，幂运算，双曲函数，甚至连圆周率π和自然常数e都能从里面「长」出来。

科学计算器上几十个按键，理论上只需要一个。

一个算子统治所有函数，凭什么？

先看最简单的例子。

要得到指数函数eˣ？把y设成1就行：eml(x,1)=eˣ−ln(1)=eˣ−0=eˣ。

一步到位。

要得到自然常数e本身？把两个输入都设成1：

eml(1,1)=e¹−ln(1)=e−0=e

常数e直接弹出来。

要得到对数函数ln(x)？这就需要三层嵌套了：

先用eml构造出一个中间值，再把它喂回eml，让指数和对数互相抵消，最终剩下的就是ln(x)=eml(1,eml(eml(1,x),1))。

而要得到π？

五层嵌套。用到了欧拉公式e^(iπ)=−1的逆向推导——先构造出−1，再取复数对数，π就从中浮现。

要得到虚数单位i？六层。

要做加法x+y？这个看似最基础的运算，反而需要五层嵌套才能表达。

因为eml的底层语言是指数和对数，它要先把加法翻译成ln(eˣ·eʸ)这种"指数-对数"方言，再用eml的嵌套把它拼出来。

这听起来像是一场精巧的数学魔术。但奥德尔齐沃莱克通过详尽的计算搜索证明：这不是个别巧合，而是系统性的完备性。

每一个初等函数，都能在这棵「嵌套树」上找到自己的位置。

数学界的「与非门」

为什么程序员最先炸了

如果你是程序员，你一定听过一个经典事实：现代计算机的全部逻辑，理论上只需要一种门电路——与非门（NAND gate）。

AND、OR、NOT、XOR……所有布尔逻辑运算，都可以用NAND门的不同组合来实现。

NAND门，就是数字世界的「万能积木」。

整个CPU，从本质上说，就是几十亿个NAND门的排列组合。

而奥德尔齐沃莱克发现的eml算子，做了一件完全类比的事情——只不过它的战场不是离散的0和1，而是连续数学的整个疆域。

正如The Register形容的那样：数字硬件中只需要一个二输入门就能实现所有布尔逻辑，而现在连续数学也可能有了自己的类似原语。

有人立刻联想到了Y组合子——另一个"从虚无中创造万物"的计算机科学经典概念。

更有意思的是质疑的声音。有人问：超几何函数不是早就统一了这些函数吗？这个发现的边界到底在哪里？

也有人追问：用eml门来做运算，复杂度真的比传统方法更低吗？

这些讨论恰恰说明了这项发现的价值——它不是在回答一个旧问题，而是在提出一个新问题：连续数学的最小公理集，到底可以多小？

反直觉的真相：数学的尽头是极简

我们从小接受的数学教育给了我们一个根深蒂固的印象：数学是一座不断向上生长的大厦，每一层都比上一层更复杂。

从加减乘除到方程，从方程到函数，从函数到微积分，知识只会越积越多，公式只会越背越厚。

但eml算子的发现，像一把手术刀，划开了这座大厦的外墙，露出了里面的钢筋骨架——而那根骨架，细得令人窒息。

三百年来折磨了无数学生的庞杂函数族谱：三角函数、反三角函数、双曲函数、对数函数、幂函数……

它们看似各自独立，各有各的公式和性质。

但现在我们知道了，它们全部是同一个「超级祖先」的后代，都是eml(x,y)=eˣ−ln(y)这一行代码通过不同方式自我折叠后的产物。

这不是数学变简单了。

这是我们终于看清了：数学从来就没有那么复杂过。

这像极了物理学的历程。

牛顿之前，人们以为天上的运动和地上的运动是两套完全不同的规则。直到万有引力把它们统一了。麦克斯韦之前，电和磁是两种毫不相干的现象。

直到电磁方程组把它们统一了。现在，数学的初等函数世界里，也出现了自己的「统一场论」。

波兰雅盖隆大学的物理学家Andrzej Odrzywołek

如果你愿意把想象力再往前推一步，这项发现会带你到一些有趣的地方。

如果宇宙的数学底层逻辑真的可以用某种「源代码」描述，那这段源代码可能比任何人想象的都要短。

eml算子暗示了一种可能性：宇宙——无论你怎么定义这个词——可能是一个极致的极简主义者。

不是创造了一百种工具来搭建世界，而是只写了一行函数，然后让它自我折叠、自我嵌套，最终涌现出了三角函数、对数、微积分乃至整个物理世界的数学语言。

这个思路在AI时代有一层格外的意味。

当下的大语言模型——GPT、Claude、Gemini——它们的策略是「大力出奇迹」：用千亿级参数、海量数据、巨大算力来穷举人类知识的所有模式。

这是一条「从复杂到复杂」的路。而奥德尔齐沃莱克的发现指向了一条相反的路：从极简到万物。

一个算子，一个常数，无限嵌套，全部涌现。

这不禁让人追问：如果连续数学的底层可以如此精简，那未来的AI架构是否也存在某种「单算子」式的底层重构？是否有一种尚未被发现的计算原语，能够用极少的参数完成今天需要千亿参数才能做到的事？

没有人知道答案。但这个问题本身，可能比答案更重要。

参考资料：

https://arxiv.org/abs/2603.21852