刷短视频变笨了？新晋数学科普专治逻辑混乱！

新书《数学奇幻之旅》上市！！讲述逻辑、无穷与现实问题三大版块，这是用旅行、历史与对话编织成的一部数学漫游记。

在16个探险故事里，没有晦涩的术语，只有生活的故事；没有艰深的知识，只有发现的惊喜；没有枯燥的论证，只有思考的乐趣。

数学等待着每一位好奇的旅人，与之不期而遇。

马祖尔是一位才华横溢的教师，对数学了如指掌。这本书文笔优美，生动的故事带领读者轻松直达数学的核心——逻辑与证明。这本书人人皆可读。

——伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）

改变世界的17个方程》作者

这本书帮了大众一个大忙，它将数学的玄奥与方法重新带回本属于它们的世界：市集、咖啡馆、课堂、人行道、帆船、雨林……让我们领略到数学的美和力量，同时不忘提醒我们：在人类史这场“大戏”中，数学始终扮演着重要角色。

——《数学智者》杂志

来源 |《数学奇幻之旅：16个探险故事》

作者 | [美] 约瑟夫·马祖尔

译者 | 应俊耀　蔚　怡

01

勾股定理是正确的吗？

镇长有理由感到自豪。

镇上的图书馆是一座单室的木制平房，内部从地板到低矮的天花板都涂着鲜艳的颜色。两扇窗户和前门将阳光迎进来，反射到壁画上。壁画上绘着仿真的门窗，绘画技艺高超，画中光线明亮，让我们仿佛看到了墙外的巨型蕨类植物。

图书很旧，品相也很差，横七竖八地倚靠在矮书架上的牛奶箱边。两把圆底的金属线椅朝向窗户摆放着，这种椅子坐起来并不舒服，当时在美国的冰淇淋店很流行。

地板上隐约画着一个内接于圆的五角星，由于地板磨损严重，几乎看不见了。

潮湿和霉变污损了很多图书。还有一些书的情况更糟，因为它们不幸被存放在了屋顶漏水的位置下方。

但是，随便拿起任何书架上的任何一本书，你都会被它吸引，几乎忘了自己只是想浏览一下而不是深入阅读。

我发现了一本1889年用英文写的数学书，它的书名吸引了我，其中包含欧几里得这个名字。这本发霉的书，硬皮封面卷曲，翻开的书页上有一幅图，跟那个小学男孩画在《乱世佳人》海报背面的图一样。

当我翻开某一页,一张叠得整整齐齐的纸条从书里掉了下来：一幅与我涂鸦的那幅几乎一模一样的插图，那幅赫苏斯声称就是证明的插图。看来有人也曾试图从插图中找出证明。

我借来这本书进一步研读。赫苏斯不知道的是，古埃及人很早以前就发现了他的证明。这本书声称，毫无疑问，早在古希腊旅行者来到北非大陆之前，古埃及人就已经在剖析围成封闭区域的图形，并研究几何学的一般概念了。

镇长把我们留在桃花心木下的桌子旁，我在那里休息，读着借来的书。镇民们在四处走动，几个学龄前的孩子在远处看着。我很高兴又多了一本用英文写的书。

我惊讶地发现，古埃及人支持一般性定理的论据非常有说服力，尽管我确信这些论据还远远达不到古希腊人的严谨标准。古希腊人留下了毕达哥拉斯学派或泰勒斯这样的名号，而这些古埃及人则是没有名字的。

历史只称他们为“古埃及人”，也没有记录他们做出贡献的时间。他们可能从开始建造胡夫金字塔，到特洛伊战争结束的任何时间里都做出过贡献。

这很可能是因为在古埃及和更早的古代文明中，文字和数学方面的特殊知识仅限于祭祀阶层掌握，而他们垄断并保存了这些知识，并将它们归结为神圣的教条。

这本书讲述了泰勒斯的故事，作者本人似乎相当了解他。书中描绘了一个不断往返航行于家乡米利都和埃及的人，从事着莎草纸、农具、船只、橄榄油和橄榄榨油机的买卖。

在埃及期间，泰勒斯遇到了一位牧师，这位牧师带他去瞻仰金字塔，当时太阳下的金字塔正沿着金色沙漠的地面投下一道尖尖的阴影，这让他很受启发。

就在那一瞬间，泰勒斯产生了一个想法：他是否能仅仅通过测量阴影来确定金字塔的高度呢？他把一根杆子戳进沙子里，等待着一天中杆子的影子长度等于杆子高度的那一刻。这时，金字塔影子的长度也就等于金字塔的高度。他很快就把特殊的观察结果变成了一般性的真理。

亚里士多德讲了一个故事，用来证明泰勒斯精明的商业头脑。在一座橄榄园里，泰勒斯在一棵光秃秃的橄榄树下吃着新鲜的无花果，他意识到一棵树能否结出丰硕的果实取决于天气，而天气又是遵循周期规律的。

随后，他想到了如何利用天文观测来预测有利于橄榄生长的天气条件，并买下了米利都几乎所有的橄榄榨油机，占领了市场，获得了可观的经济收益。我们从普罗克洛斯、普鲁塔克、伊索、柏拉图以及其他许多人那里了解到有关泰勒斯的有趣逸事，对他本人却知之甚少。

伊索讲述了一个关于泰勒斯的毛驴的故事：有一天，毛驴不小心在溪水里打了个滚，于是便学会了如何减轻盐袋的重量。泰勒斯用一个妙招就解决了这个问题——他将毛驴背上的盐袋换成了海绵。

柏拉图讲述的泰勒斯掉进沟里的故事，可能是“心不在焉的教授”这一刻板印象的出处。泰勒斯的一名随从大声说道：“你知道天上发生了什么，却看不见脚下发生了什么。

古埃及法老雅赫摩斯二世听说了泰勒斯测量金字塔高度的高超技术，便邀请他进宫。当时，一位艺术家正在一间大殿里绘制壁画。他在墙上做了方形标记，以便将人物排成一行并确定方向。这些标记启发了泰勒斯的下一个想法。

他注意到，只要画一幅与宫廷画家的标记相似的图，就能证明勾股定理的一个特例（等腰直角三角形）。（这与第1 章所述我的证明相同。

古埃及人知道，边长为特定尺寸（如3、4、5）的三角形必定为直角三角形，但在泰勒斯之前，古埃及人是否知道该定理的普遍意义，还是有疑问的。

在泰勒斯之后的近一千年，哲学家兼历史学家普罗克洛斯在作品中把几个重要数学事实的发现归功于泰勒斯。

他写道，在泰勒斯发现半圆内的圆周角是直角后，一头牛被献祭了。毕达哥拉斯学派在发现他们著名的定理时也曾有过这样的献祭故事，但这与他们禁止吃肉的教规相悖。普

罗克洛斯还告诉我们，泰勒斯发现一个圆被它的直径一分为二，但我们不知道他是如何证明的。

这本书里的这幅图，据说是泰勒斯画的，与我在证明勾股定理对等腰直角三角形成立时画的那幅极为相似。

这是谁的证明，是赫苏斯的还是我的？我只是随手涂鸦，赫苏斯受到我涂鸦的启发，发现了证明。这是赫苏斯的证明，因为他用这幅图进行了论证（重新排列了三角形），证明了勾股定理是正确的。他的证明让人想起了圣毛里西奥的那名小学生在《乱世佳人》海报背面展示的古印度证明，但更加几何化。

古印度证明需要一点算术技巧，你必须进行面积的相减和比较，才能确信这个定理是正确的。

当镇上的学校放学时，我平静的阅读戛然而止，一群孩子围着我，咯咯地笑着。

我逃了出来，在镇子边缘的狭窄街道上找到了罗杰。尘土飞扬的马路渐渐变成碎石土路，土路越来越窄，最后变成长满杂草的林间小道。

02

什么是证明？

那天上午晚些时候，我们离开了圣毛里西奥。我们的军用卡车在通往卡夫鲁塔和奥里诺科河军营的泥泞道路上左右颠簸，我和罗杰都得抓紧卡车的立杆。

米格尔在我们到达镇上之前命令我和罗杰下车，因为担心他的指挥官会看到我们。到镇上的最后几英里我们是走着的。

一只迷路的卷尾猴在我们身边嬉戏奔跑，酷似一个披着头巾的修士，而我则向罗杰表达了我的忧虑。

在我说话的时候，罗杰在龙血树上发现了巨嘴鸟和金刚鹦鹉。他掰了掰指关节，用他惯用的令人讨厌的方式开始了他惯有的自言自语。

这一次，他讲述了1856年理查德·伯顿和约翰·斯皮克从桑给巴尔出发，冒险寻找尼罗河源头的故事，那里“从来没有白人到过”。我们像往常一样坐在路边，一边写日记，一边吃着干果。一只可爱的小蜜熊在附近的树上玩耍。

我在小笔记本上粗略地写下只言片语，记录我的观察；罗杰则在写诗。他会不假思索地写出一行行精彩的诗句，一气呵成，仿佛他的文字是从脑海中的幕布上流淌出来的，而他只是一个抄写员，奋笔疾书的速度勉强能跟上他的思路。

他写完一页，便会把这一页从笔记本上撕下扔掉，尽管他还在继续写着同一首诗。我会弯腰捡起他的诗稿，有时还得用脚去挡风中飞扬的纸页，把它们收进我的小背包。

在查看地图并继续上路之后，罗杰承认前往拉埃斯梅拉达非常困难。但这并没有阻止他继续讲伯顿和斯皮克的故事。

“你看到了吗？”他打断自己，指着看起来像是玉米地的地方问道。远远看去，我们可以看到一群光着身子的孩子在龙血树上模仿调皮捣蛋的蜘蛛猴，附近有一群正在吃草的原驼。这些孩子是当地的帕纳雷斯土著。

再往前走一点，我们看到一群年长的帕纳雷斯妇女和一位年轻美丽的女子。年轻女子前胸裸露，背着几只色彩斑斓的几何图案篮子。罗杰看着我，掰了掰指关节，问我我们看到的是不是真的。

他走近那群女人，她们咯咯地笑着退了回去。但是当孩子们跑过去加入她们时，她们有了足够的勇气允许罗杰走近。罗杰表示他想买一只篮子。他慷慨地给了这位年轻的帕纳雷斯女子一些玻利瓦尔；她回赠了罗杰一瓶卡奇里（cachiri），这是一种用甘蔗和发酵玉米制成的饮料。当我们到达卡夫鲁塔郊区时，烈日当空，热浪滚滚，狭窄的街道上尘土飞扬。

我们的水已经喝完，盛卡奇里的瓶子几乎空了。通往主广场的街道一片宁静，这让我们产生了一种怪异的感觉，觉得自己是来自另一个世界的闯入者。此时是午休时间。当我们紧张地向小镇中心走去时，几个坐在丘鲁阿塔前木椅上的老人好奇地注视着我们。

圣若瑟教堂正对着小镇中心的一座广场，周围绿树成荫。这是一栋简单的棕褐色土坯建筑，有一座华丽却破败不堪的钟楼，它见证过曾经美好的时光。教堂内，自然光透过穹顶上的窗洞照射在耶稣受难像上，在白墙的映衬下，营造出沉思冥想的氛围。

我们坐在长木椅上休息，冥想着画像中所描绘的痛苦和牺牲，仿佛我们是受邀来到这里的。然后，赫苏斯打开前门，兴奋地跑过来告诉我们，他有了一个简单又无懈可击的勾股定理的证明。

“赫苏斯，”我说，“我们先吃点喝点吧。”

赫苏斯在卡夫鲁塔有亲戚。他的另一位叔叔豪尔赫（Jorge）住在小镇边缘一处复杂的铁皮屋顶房子里，他的婶婶是一个纤细而和蔼的女人，有一双深蓝色的眼睛。

在赫苏斯展示他的证明时，她准备了一顿鲈鱼土豆汤和玉米粉面包。赫苏斯把一小包卷曲的纸放在屋外的桌子上，镇上越来越多好奇的孩子和各种各样的宠物聚集在一起，打量着我们这两个面孔白净的外国人。

“看这个，”他一边在其中一张纸上画画，一边笑着说，“这不是关于直角三角形上的正方形的，而是关于比例的问题。比如这个团块，”他边说边画了一个直角三角形ABC，旁边则画着那个团块，“在这块儿画一条线段，使其长度与三角形的直角边AB相等。”

“现在把团块放大，这样线段AB就和三角形的直角边BC一样长了。”

他画了一个新的团块。“再次放大这个团块，使线段BC与三角形的斜边AC相等。”

他又画了第三个团块。“好了！第一个团块的面积加上第二个团块的面积等于第三个团块的面积。”

他咧开嘴笑着说，露出了两颗金牙。听到这里，罗杰设法接过话头，好像在翻译一样。而赫苏斯此时陷入了沉默。

“任意画一个直角三角形。”罗杰边说边画了一个直角三角形，并从直角顶点向斜边画了一条垂线。

“你们看，”他最后说道，“这就是证明。没有人能怀疑，两直角边上的三角形面积之和等于斜边上的三角形面积，因为直角边上的两个小三角形完美地嵌套在了大三角形里面！”

发音大舌头并不是问题所在，我实在不明白这里的数学，但赫苏斯似乎听懂了。

“是的！当然！”赫苏斯说，“小三角形就是第一个团块，大一点的三角形是按比例放大的第二个团块，初始三角形是最大的那个团块！”

“但是，”我说道，总觉得遗漏了些什么，“你证明了你的图形对直角三角形是成立的，你怎么知道它对其他形状也成立呢？”

“啊哈！”罗杰叫道，“这是比例的问题，看好了。”然后，他写出了数学公式来证实他的论证证明了经典的勾股定理。

那是我第一次学到这种最优雅、灵巧的证明。多年以后，我才知道爱因斯坦在年轻时就发现了这个证明。要么是罗杰独立于爱因斯坦发现的，要么是他从以前看到的东西中回忆出来的。

勾股定理的古老证明载于欧几里得的《几何原本》第1卷。它是全书的第47个命题，也是倒数第2个命题，需要用前面的28个命题来证明它。这个证明的确是严谨而优美的，但我们真的需要28个命题才能说服自己吗？

赫苏斯和罗杰给我看的证明是优雅的，绝对令人信服。如果下面左图是古印度的证明，那么右图就是西方的证明。

“看”把整个故事告诉了有足够数学经验的人，让他知道勾股定理不是关于正方形的，而是关于面积相互关联的图形的，就像三角形的边相互关联一样。

换句话说，如果你已经证明了这个定理对于一种几何图形（比如三角形）是成立的，那么你就已经证明了它对任何其他几何图形（比如正方形、圆形或团块）也是成立的。

有人可能想知道，既然爱因斯坦的证明似乎是完全令人信服的，那么为什么欧几里得还构建了一个如此复杂的证明呢？再回过头来看看爱因斯坦的证明。

当我们把这个证明从三角形扩展到其他形状，特别是正方形时，我们发现，首先需要知道一些关于比例的知识，然后要知道如何使用代数来操纵比例，这样才能将它们转化成正方形。我们天真又理所当然地忽略了是什么允许我们以这样的方式操纵符号。

总而言之，要证明那些关于比例的事实，以及爱因斯坦证明中使用的那种符号操作的有效性，可能需要与欧几里得第47个命题所需一样多的命题。

《数学奇幻之旅：16个探险故事》

作者 | [美] 约瑟夫·马祖尔

译者 | 应俊耀　蔚　怡

美国图书馆协会《选择》杂志“年度杰出学术著作奖”。

《卫报》“十佳数学科普图书”本书被誉为“人类智慧探索的珍宝”探险故事，像追剧一样读完。

本书既没有复杂的证明、公式，也没有令人生畏的数学术语，作者用旅行和探险故事、校园生活、科学名人和历史故事、与孩子们的对话等内容，将现实世界的经验与数学，物理世界的实在和抽象与逻辑相关联。

数学好似一片繁茂的雨林，我们漫步其中，感受到的不仅是伟大的智慧、深邃的思想和严密的论证，也有思考的快乐。适合大众读者阅读。