不会建立“知识体系”的学生，学不好数学

很多学生问我：“为什么我很努力地学数学，上课认真听，作业认真写，刷了很多题，可成绩就是上不去？”

答案其实很简单：因为你学的是零散的知识点，而不是一个完整的知识体系。

学习的终极目标，从来不是记住多少个孤立的公式和定理，而是把这些零散的知识点，编织成一张相互连接、逻辑清晰的知识网。

今天我不讲空泛的理论，只用初中数学里最基础的“平行四边形”这一个知识点，带你亲身体会一下，什么是真正的知识体系，以及它到底有多重要。

在开始之前，请你先暂停一下，拿出一张纸，试着写下：平行四边形的定义是什么？它有哪些性质和推论？写完再往下看，你会有更深刻的感受。

平行四边形的定义非常简单：两组对边分别平行的四边形。

很多学生觉得，记住这一句话就够了。可实际上，当题目告诉你“ABCD是平行四边形”的时候，它不是只给了你一个条件，而是一次性给了你十几个隐藏条件。

绝大多数学生，只能说出三五个最基础的性质，其他条件，要么记混了，要么根本不知道。这就是为什么你做题的时候，总觉得“条件不够”，总卡壳。

这么多性质特征怎么记？最好的方式是建立结构性记忆，即分类讨论：

一、关于角

1、两组对角分别相等；

2、邻角互补；

3、一个角的外角，等于它的邻角；

二、关于边

4、两组对边分别平行；

5、两组对边分别相等；

6、平行线间的距离，处处相等；

三、关于对角线

7、两条对角线互相平分；

8、对角线把平行四边形分成四组全等三角形；

9、过对角线交点的直线，把平行四边形分成面积、形状全等的两部分；

*10、二级推论：平行四边形的四条边的平方和，等于两条对角线的平方和（AC² + BD² = 2AB² + 2BC²）；

四、关于面积

11、面积等于底乘以高；

12、两条对角线把平行四边形，分成四个面积相等的三角形；

*五、关于中点的推论

*13、连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形；

*14、平行四边形ABCD中，E为AB的中点，则AC和DE互相三等分。

现在你再回头看看自己刚才写的，能说出几条？

我见过太多学生，学完平行四边形这一章，只记住了“对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分”这三句话。考试的时候，题目明明把所有条件都给你了，可你就是看不到，怎么可能做得出来？

这么多性质和推论，需要全部记住吗？

理论上，确实需要都记住。比如考试的时候，题目给你一个条件，“ABCD是平行四边形”，其实不只给了你一个条件，是给了十几个隐藏条件。任何一个性质和特征你没有记住，就相当于缺少一个关键条件，你就无法继续做题。

而且，不只是要记住，还要以更快的速度反应过来。我常说：对知识点反应的速度和深度，决定做题的速度和准度。让你做题速度慢的关键，不是你计算速度慢，主要是你碰到很多题目时，思路卡壳，思考停留的时间长，所以做题速度慢，而且经常算错。

所以，当你做题时，见到一个条件，能够马上想到相关的所有条件，就比其他同学有更大的概率做出题目。

这时，聪明的你可能会有这个疑问：如果见到一个简单的条件，就要回想这么多隐藏条件，会不会浪费时间？

这是一个好问题，我给你的建议是：

1，基础性质，条件反射。见到平行四边形，关于边和角的性质，必须第一时间快速反应，因为这是90%题目的常用条件。这里面任何一条想不到，就不要做题了，回家好好面壁思过。

2，元素对应，优先联想。题目如果有明确的条件，你就要优先想相应的性质。比如题目给你平行四边形的对角线，那关于对角线的相关性质就必须想出来，很大可能会用到。

3，难题卡壳，穷举排查。如果碰到压轴题，在常规条件无法解决的情况下，你可以按照分类讨论的思想，把所有性质特征都过一遍。尤其那些平常少见的推论，可能就是解决难题的关键。

我见过无数次这样的场景：一道难题，学生想了很长时间都没思路，我只提醒了一句“想想某某性质”，他立刻就恍然大悟。不是他笨，而是这个知识点根本就不在他的知识体系里。

我为什么反对盲目海量刷题？

很多学生觉得，“知识点记不住没关系，题刷多了自然就记住了”。这是学习数学最大的误区。如果你的知识体系有漏洞，刷题不仅效率极低，还会让你越学越乱。

我见过太多这样的学生，刷了好几本练习册，结果发现最基础的性质都记错了。他们往往是做一道，错一道。随便看看答案，“哦，原来要用这个性质”。可下一次再遇到类似题目，还是会出错。

这就像盖房子，你不先搭好钢筋骨架，就一块砖一块砖地往上垒，垒得越高，塌得越快。

数学是一门逻辑性极强的学科，所有的知识都是环环相扣、层层递进，后面的知识高度依赖于前置知识。

平行四边形有这么多性质特征吗？其实并不是，有很多是前面早应该学会的知识。比如平行线、补角。你前面的知识都学会了，到了学平行四边形的时候， 只需要记住几条额外信息就足够了。

同理，后面学矩形、菱形、正方形的时候，你根本不需要重新记一大堆性质。因为它们都是“特殊的平行四边形”，平行四边形有的性质，它们全都有。你只需要记住它们各自多出来的那两三条特殊性质就可以了。

今天的最后，给你留一个小的练习，是一道易错题。

平行四边形两组对边长分别是6、4cm，高是5cm，平行四边形面积是多少？

很多学生看到这道题，想都不想就写：6×5=30cm²，或者4×5=20cm²，然后觉得这道题有两个答案。其实就掉坑里了。

这里涉及到一个重要的条件：平行四边形的高是什么意思？

一条边上的点，向对边作垂线，点到垂足之间的距离，就是高。如果你选择一个顶点向对边做高，高和斜边会构成一个直角三角形，此时高就是直角边。在直角三角形中，斜边一定大于直角边。所以，刚才这道题的高是5cm，斜边只能是6cm，底边只能是4cm，平行四边形面积只能等于20。

数学的知识大厦，就是这样一层一层搭起来的。每一个知识点，都是大厦里的一块砖。如果你只是零散地堆砖，永远也盖不起高楼；只有先搭好钢筋骨架，再一块一块地往上砌砖，才能盖出坚不可摧的大厦。

这就是知识体系的威力。它能让你用最少的时间，记住最多的知识，还能把前后的知识融会贯通。

所以，学习数学不能急于求成，必须稳扎稳打，一步一个脚印。