数学、物理、哲学的尽头，都绕不开这一本经典

把“数学家”“物理学家”“哲学家”三顶桂冠同时戴在一个人头上，听起来似乎过于夸张。

许多人说，“物理的尽头是数学，数学的尽头是哲学，哲学的尽头是神学”，不过这不是可靠的学术判断。

许多大物理学家都有自己的哲学思想，许多大数学家也对物理学作出过贡献，但我们通常不会轻易把他们同时归入这三个行列。

然而，赫尔曼·外尔是一个例外。他不仅在数学史上占有重要位置，也深刻参与了现代物理学观念的形成；而哲学，则始终是他理解数学与自然科学的出发点和归宿。

赫尔曼·外尔（1885—1955）

《数学与自然科学之哲学》正是这样一位人物写下的著作。它诞生于数学、物理学和哲学剧烈变动的时代，凝结着一位顶尖科学家对现代知识根基的系统思考。

由武汉大学前校长，我国数学家、教育家齐民友教授翻译，中国科学院研究员胡作玄撰写长篇导读。

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一位横跨数学、物理与哲学的思想家

外尔首先是一位公认的大数学家。菲尔兹奖获得者阿蒂亚曾说，自己最崇敬的数学家就是赫尔曼·外尔，而且自己的许多深入研究都来源于外尔的工作。布尔巴基学派的两位创始人韦伊和谢瓦莱在为外尔写的讣文中指出，外尔是完成从经典数学到现代数学转变的人物。

他也完全有资格被称为物理学家。外尔把先进的数学工具引入相对论和量子力学，给现代物理学注入了新的观念。他是统一场论的第一位倡导者，也是规范场论的真正先驱。他第一个把群及其线性表示理论变成物理学家武库中的必备武器，由此推动了从分子、原子到原子核和基本粒子的研究。对于现代物理学来说，这样的贡献显然不只是“数学家的旁支工作”。

外尔曾在哥廷根跟随希尔伯特学习数学，图为哥廷根数学研究所。

更特别的是，哲学并非外尔的业余爱好，而是贯穿其学术生命的根本追问。少年时代，他就因阅读康德而开始思考空间和时间问题。后来，他又经过实证主义、胡塞尔现象学、费希特哲学，最终受到埃克哈特的触动。他探讨的问题从时间、空间到物质世界，再到自我、人与上帝。他在1926年写下的《数学与自然科学之哲学》，是这一领域的第一部系统论著。

外尔站在数学、物理与哲学的交界处，亲自参与过现代数学与现代物理学的建构，又始终保持对认识论和世界图景的追问。

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他一生贯穿了现代科学最激荡的年代

《数学与自然科学之哲学》写成于20世纪20年代，而20世纪初正是一个科学大变革的时代。这一时期出现了爱因斯坦、玻尔、海森堡、狄拉克、罗素、哥德尔、冯·诺伊曼等一大批堪称大师级的物理学家和数学家，外尔也是其中之一。

在外尔生活和工作的年代，世界政治、科学都经历了翻天覆地的变化。第一次世界大战爆发和结束，纳粹兴起，希特勒上台；而在科学领域，爱因斯坦的广义相对论面世，光在引力场中发生偏折得到了证实并引起轰动；量子力学也逐步建立，玻恩的解释、海森堡的不确定性原理以及玻尔的互补原理再次造成轰动。物理学界的重大变革也引起了数学家们的关注，他们各自作出了反应，同时也推动了数学的发展。

外尔（左）与德国数学家恩斯特·佩舍（Ernst Peschl）的合照

正是在激荡的岁月中，外尔完成了他最重要的工作：统一场论与仿射联络几何学，李群表示论与量子力学，数学及自然科学的哲学。外尔到苏黎世时，爱因斯坦还在那里任教，二人时常交流。同爱因斯坦的谈话，使外尔注意到新的领域。

1916年复员之后，希尔伯特及爱因斯坦的论文均已发表，物理学与几何学之间的联系已经十分清楚。外尔开始设想沿着爱因斯坦的道路继续前进，把当时已知的引力场和电磁场统一起来，并寻求恰当的数学表述形式。

虽然外尔的统一场论尝试并没有成功，但它的数学“副产品”——联络乃至纤维丛——却独立地向前发展，而且一再为物理学提供合适的工具。与此同时，随着量子力学的诞生，群论也开始被引入物理学。

外尔1928年出版的《群论与量子力学》扉页

广大的物理学家却对群感到陌生，甚至感到厌恶。外尔对群的熟悉使他容易看出三维空间的转动群以及置换群在球对称原子或离子的电子构型中的作用。

他很容易从表示论推出，除了主量子数以外，其他量子数都是群表示的特征指数。这再清楚不过地表现出了群论的威力。

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《数学与自然科学之哲学》究竟讲什么

《数学与自然科学之哲学》原以德文写成，发表于1926年。中译本所依据的是1949年出版的英译本；英译本在原书基础上增加了六个附录，反映了初版之后约二十年间科学发展的若干新变化。

外尔《数学与自然科学之哲学》的英译本扉页

全书正文分为两大部分：第一部分是数学，第二部分是自然科学。

在数学部分，外尔详细探讨了几个核心内容：数理逻辑、公理体系；数和连续统、无限；几何学。这些内容既涵盖数学的基础概念和逻辑体系，也涉及数学在自然科学中的应用。

比如，在“数理逻辑，公理体系”一章中，外尔阐释数理逻辑的相关概念，讨论逻辑推理在数学认知中的作用，以及公理化方法在数学中的应用。值得一提的是，数理逻辑正是数学和哲学交汇的重要领域，它通过形式化的语言和方法研究推理和证明的结构，既为数学之发展提供了坚实的基础，也是哲学探讨逻辑和语言问题的重要工具。

在“数和连续统，无限”一章中，外尔聚焦于数和连续统这一数学中最基本也最复杂的领域。他介绍有理数和复数、自然数、无理数与无穷小、集合论、直觉数学以及符号数学等内容，并讨论各数系之间的扩展关系。随后，他进一步探讨无限和连续统。无限是一个令人着迷但又难以捉摸的概念，在微积分、概率论和量子力学等领域中都有重要地位。外尔通过康托的集合论和连续统假设，展示了无限在数学中的表现形式和应用。

“几何学”一章所涉主题尤为丰富，包括非欧几何、解析几何、高维几何、仿射几何、射影几何、色彩空间、相对性问题、黎曼的观点和拓扑学等。几何学的每一次重大突破，都伴随着人类对世界认知的深化和拓展。通过对这些内容的探讨，外尔使我们认识到数学与自然科学之间的紧密联系和相互作用：数学不仅是自然科学的工具，更是其内在的逻辑结构和思维方式的体现。

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在自然科学部分，外尔讨论三章内容：空间与时间，超验的外部世界；方法论；世界的物理图景。

他对空间与时间这两个自然科学中最基本的概念进行哲学层面的审视，指出它们并非如日常经验中那样直观和简单，而是充满复杂性。“超验的外部世界”并非对科学的否定，而是对科学认知局限性的承认。

我们的感知器官和思维方式都存在着固有的限制，这使得我们无法完全把握自然界的真实面貌。然而，正是这种局限性激发了人类不断追求真理、探索未知的勇气和动力。科学的目的并非消除这种局限性，而是在承认其存在的基础上，通过不断研究和发现拓宽我们的认知边界。

在“方法论”一章中，外尔探讨科学方法的哲学基础，分析观察、实验、推理、验证等环节。科学方法并非机械程序，而是一种基于理性思考和经验验证的探究方式。

在“世界的物理图景”一章中，他进一步讨论经典力学、电磁学、热力学以及相对论和量子力学等理论。特别是相对论和量子力学的革命性贡献，彻底改变了我们对时空结构和微观世界的认识。例如，相对论中的时空观念挑战了我们对时间和空间的传统认知;量子力学中的概率性和不确定性则揭示了自然界的随机性和不可预测性。

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这本书为什么今天仍然值得一读

《数学与自然科学之哲学》是一部具有深远学术影响和深刻思想价值的著作。它通过对数学与自然科学之间关系的深入探讨，为我们理解科学发展的历史进程提供了宝贵的视角。

对于想要阅读本书的读者来说，除了要了解一些基本的数学和物理学知识，还需要具备一定的哲学素养和思辨能力，这样才能更好地理解书中所讨论的问题和观点。

赫尔曼·外尔的墓碑

外尔在书中运用了大量的逻辑推理和哲学思辨阐述自己的观点和思想方法，因此在阅读过程中，要注重对论证过程的理解和分析，要深入思考每一个论证环节。

虽然本书发表于20世纪20年代，但外尔所讨论的问题和观点仍然具有重要的现实意义。书中提出的许多思想方法对后来的科学研究同样产生了重要影响。

最后，让我们回味一下外尔的这段精辟论述吧：

数学是无穷的科学。

数学家发明了有限的构造方法判定那些其本性涉及无穷的问题。

这正是数学的光荣所在。克尔恺郭尔(S.Kierkegaard)有一次说过，宗教讨论的是那些无条件涉及人的问题。与其相反(也具有同样的夸张)，我们可以说，数学所讨论的事物是完全不牵涉人的。数学有着星光那种非人的特性，明亮、清晰却冷漠。

从上世纪(19世纪)末到本世纪(20世纪)初的转折关头起，物理学的发展就好像冲向一个方向的洪流，而数学则好像尼罗河三角洲，

它的水流分散到所有方向。近代数学的威力在于公理方法和构造方法的相互作用。除了语言和音乐之外，数学是人类心灵的自由创造力的最主要的表现，它是通过理论构造认识世界的普遍工具，因此，数学应该是教育下一代的知识和能力的关键。