两个数字集合，容斥原理公式不能应用时，数学逻辑分析解题

关键词： #数学 #数字 #原理 #分析

第1121篇，个人原创，深度分析文章。

部分两个数字元素集合相关容斥原理的题目之中，题目给予的已知条件，是无法满足容斥原理公式应用的基本需求条件。此时，无法直接使用公式，需要另外寻找其他办法解答题目。

因此，在不能使用容斥原理公式的情况下，我们要学会通过数学逻辑分析，来解答题目。在了解容斥原理相关概念定义和基础知识之后，如果判断出已知条件不足，就去推断未知集合对象的总数目，或者寻找在仅知道满足单个条件对象数目情况下的解答方法。

通常在解答时，依据题目条件，在草稿纸上，画个示意图，会使题目的思维逻辑，更加清晰直观，更加容易理解题意和解答题目，让我们看看具体分析方法：

一、容斥原理相关定义和解释

在数学概念上的集合，简单说，就是一堆数字的统称。集合之中的某个数字，我们称为此集合的一个元素。

数学上的容斥原理，简单说，就是把多个集合中所有的数字，首先计算单个集合中的数目，然后去掉重复的，再加上遗漏的。

集合与容斥原理，这两个概念的详细定义和解释，请搜索本人文章标题关键字《两个数字集合，容斥原理数学公式，应用分析》。

二、应用容斥原理公式的先决条件

如果有两个数字集合的容斥问题，在相关公式运用之前，需要知道相关已知条件，比如单个集合中元素数目，重合的元素数目，遗漏的元素数目和总的元素数目。

如果这些条件之中，缺乏任意一个，都无法正常使用容斥原理公式。对这几个条件，更加详细具体的解释，请搜索本人文章标题关键词《两个数字集合，容斥原理数学公式，应用分析》。

三、缺少集合包含元素总数目的容斥问题解答方法

题目：一批学生，今天至少做了语文数学作业之中的一个。只做语文作业和没做语文作业的人数一样，且两者之和，是语文数学作业都做人数的3倍。问，只做一门科目作业的人数占学生总人数的比重是多少？

解析：今天至少做了语文数学科目作业之中的一个科目作业。所以，今天没做语文作业的人数，就只能作数学作业，人数就是只做数学作业的人数。

依题意得，只做语文作业和没做语文作业的人数一样，所以，只做语文作业和只做数学作业的人数一样。

因为题目之中没涉及具体数字，只有比例，我们可以应用设1法。

我们假设，语文数学作业都做的人数是1。因为，只做语文作业和只做数学作业人数，两者数量相等，并且两者之和，是语文数学作业都做人数的3倍。

所以，只做语文作业和只做数学作业人数，都是1.5.

则只做一门科目作业的人数，包含只做语文作业人数和只做数学作业人数，两者之和是3。

总人数，是只做语文作业人数和只做数学作业人数，再加上语文数学作业都做的人数1，共是4.

所以，只做一门科目作业的人数，是3，占学生总人数的比重是3/4。

四、求解只满足单个条件的元素数目解答方法

题目：学校举办运动会，一个班级8成学生参加比赛。参加跳绳比赛和跑步比赛人数比为2：1，两种比赛都参加的人数是只参加跑步比赛人数的一半。问没有参加比赛学生人数，与只参加跳绳比赛人数的比值？

解析：题目之中没有具体数字，只有比例，可以采用设1法。利用已知条件，表达出满足另一条件的元素数目。

因为，两种比赛都参加的人数，是只参加跑步比赛人数的一半。我们假设，只参加跑步比赛人数，是2，则两种比赛都参加的人数是1. 则参加跑步比赛人数是3。

因为参加跑步比赛人数，是只参加跑步比赛人数，与跳绳跑步两种比赛都参加人数的和。我们要注意题目语言和表达方式的区别。

因为，参加跳绳比赛和跑步比赛人数比为2：1，前文得到，参加跑步比赛人数是3，所以，参加跳绳比赛人数是6. 因为，两种比赛都参加的人数是1.

所以，只参加跳绳比赛人数是5.

同理，参加跳绳比赛人数，是只参加跳绳比赛人数，和跳绳跑步两种比赛都参加人数的和。

前文得到，只参加跳绳比赛人数是5，加上只参加跑步比赛人数，是2，再加上两种比赛都参加的人数是1，则参加比赛人数是5+2+1=8人。

因为，一个班级8成学生参加比赛，参加比赛人数是8，则全班人数是10人，则未参加比赛人数是2。所以未参加比赛学生人数2，与只参加跳绳比赛人数5的比值是2/5。

以上两类容斥问题，需要依据题目给出的条件，一点一点逻辑判断出需要答案，要时刻注意题目语言所表达意思的区别。

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