湖北
【解题研究】巧用整体思想——2026年河北省中考数学第12题
关于面积类的问题，通常情况下，规则图形例如平行四边形、三角形、圆等，都可以通过面积公式计算出来，不规则图形可通过割补法变成规则图形之后，再进行计算；2026年河北省中考数学第12题，却从另外角度考查学生对面积计算的理解——整体思想。
题目
如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为m，n，则m-n=（ ）
A.1/8 B.1/10 C.1/12 D.0
解析
若用常规思路，试图分别求这两个梯形的面积，计算量会非常大，而且不太好求，因此这条路并不推荐，我们仔细观察图形：
首先，图中四边形ACGE是一个正方形；它的两组对边分别平行容易证明，有一个直角也容易证明，邻边相等不太好证，我们来证明一下：对于Rt△AOM，tan∠AOM=1/3，则这个直角三角形三边满足1:3:√10，则可求出OA=9/√10，再证明点C是OA三等分点，则AC=3/√10；
对于Rt△EMN，tan∠EMN=1/3，则它的三边也满足1:3:√10，则可求出EM=6/√10，可证AK是△EM中位线，则AE=3/√10，所以AC=AE，可证四边形ACGE是一个正方形；
并且它的面积可求，为9/10；
其次，图中四边形BDHF是一个平行四边形，这个易证，它的面积可求，为1；
最后我们发现正方形和平行四边形中间有一块重叠了，即四边形BCGF，如下图：
所以当我们用平行四边形BDHF减掉正方形ACGE的面积时，中间的四边形BCGF是重叠的，实际上就是m-n，所以我们可得到结果m-n=1-9/10=1/10，选B。
解题思考
当学生面对这道题的时候，肯定会先尝试去求这两个图形的面积，毕竟看上去条件还很多，但求出一两条边长之后，就会陷入困境，继续算下去，是可以算出来的，但作为一道选择题，不太值得花费这么多精力，所以一定存在某种技巧，这就是我们为什么要重新观察图形。
当然求出边长并非无用功，例如前面我们求出的AE和AC，不仅帮我们证明了正方形，还可以计算这个正方形的面积，在计算过程中，我们用到了三角函数，即一个三边比是固定值的直角三角形；最终用平行四边形BDHF减正方形ACGE，实际上是(m+四边形BCGF)-(n+四边形BCGF)=m-n。
由于是填空题，所以不用书写推理过程，但该有的推理必须经历，例如平行线分线段成比例定理、相似三角形、三角函数等，本题综合性较强，也是一道优秀的选择压轴题。
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