数学现实并不是“他们的”，而是你的！

数学现实并不是“他们的”，而是你的。

无论你是否喜欢，你的头脑中都有一个这样的虚拟世界。

你可以对它视而不见，也可以问有关它的问题，但不可否认的是，它是你非常重要的一部分。

数学之所以如此引人注目，其中一个原因就是：

我们正在探索的是关于我们自身以及我们心智的行为方式的问题。

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01

数学现实，是另一个地方

很多不同的现实同时存在着，当然也包括我们自己生活在其中的物理现实。

还有那些与物理现实十分相似的想象世界……

我想谈谈一个不同的地方，我称它为“数学现实”。

在我的脑海里，一直有着这样的一个世界，各种漂亮的形状和模式四处飘动，并做着各种令人好奇、使人惊讶的事情，这些事情让我身心愉悦并陶醉其中。那真是一个神奇的地方，我很爱它！

事实是，物理现实是一场灾难。它太复杂了，任何事情都不是表面看上去的那样简单：其中的物体会热胀冷缩，原子会飞来飞去。特别是，没有任何东西能够在真正的意义上被度量。

与之相反，数学现实则是想象的产物。它可以像我想的那样简单精致，同时我能够拥有那些我在现实生活中不可能拥有的美好事物。

虽然我的手里永远不可能握着一个真正的圆，我的头脑中却可以装下一个这样的圆，而且我可以度量它。

数学现实是我自己创造的一个美丽仙境，我可以探索它、思考它，也可以和朋友们讨论它。

02

数学是一片无垠的丛林

数学现实就像一片无垠的丛林，其中充满了无数迷人的奥秘，但它绝不会轻易吐露其中的秘密。

让我们做好奋斗的准备吧，无论是智力方面，还是创造力方面。

事实上，我不知道还有哪一项人类活动对想象力、洞察力以及创造力有如此高的要求。

不过，无论怎样，我都要做这件事，因为我情不自禁要这样做。一旦走进这片丛林，你就再也不能真正地离开，它会让你魂牵梦萦、流连忘返。

我将假定你喜欢美好的事物，并且很想学习它们。在阅读的旅程中，你需要的只有常识和天生的好奇心。

因此，请放轻松。

艺术是用来欣赏的，而本书就是一本关于艺术的书。

数学并不是一次赛跑或竞赛，而是你在与自己的想象力玩耍。 愿你度过一段美好的阅读时光！

03

数学家在做什么：用树枝捅一下

对数学家来说，一个问题就是一次探索，就是对数学现实的一次测试，看看它会有怎样的性质。

用我们通常的话来说，就是“用树枝捅一下”，然后看看会发生什么。

面对某部分未知的数学现实，我们想知道它是怎样运作的，以及它为什么这样运作。因此，我们“捅”它一下，不过并不是用手或者树枝，而是要用我们的头脑。

什么是真的并不那么重要，重要的是为什么它是真的。只有知道了原因，我们才知道什么是真的。

这使得我们处于数学家们再熟悉不过的境地，即通常所说的被困住了。我们需要一种新的想法，最好是不那么依赖对称性的想法。

重要的是，千万不要害怕，所以我们可以尽情尝试一些很疯狂的想法，即使错了也没有太大的关系。

这样一来，我们就能够与前贤为伴了！阿基米德、高斯、你，以及我，我们都在摸索着穿越数学现实的道路，都想要理解其中正在发生的事情。

保持头脑灵活开放。让你的问题带着你走。要是你在丛林里遇到了一条河，那就沿着河岸继续走。

04

证明，就是一个故事

一个证明就是一个故事，问题的要素扮演其中的角色，而故事的情节则完全取决于你。

与任何虚构文学作品一样，我们的目标是写出一个叙事引人入胜的故事。

就数学来说，这意味着情节不仅要合乎逻辑，同时也要简单优美，没有人会喜欢曲折、复杂的证明。

毫无疑问，我们需要遵从理性前进，但同时我们也想被证明的魅力和美征服。一句话，证明既要漂亮，也要符合逻辑，两者缺一不可。

你和有经验的数学家之间的真正区别是，他们见过更多的自我欺骗的方法，所以他们会有更多的疑惑，并因此坚持更高标准的逻辑严密性。同时，他们也喜欢唱唱反调，提出一些质疑。

这就是数学中的“深海的眩晕”，潜水员看见了如此漂亮的景色，以至于忘记了换气。在数学中，逻辑就是我们的空气，呼吸则需要依靠缜密的推理，所以千万不要忘记呼吸！

解决一个问题最好的方法，就是找到一种根本不用解决这个问题的巧妙方法。这几乎是所有的数学家都公认的一项美学原则。

05

什么是度量

什么是度量？

在度量某个物体的时候，我们到底是在做什么？

我想是这样的：其实我们正在进行比较，比较正在度量的物体和用来度量的物体。

换句话说，度量是相对的。 我们所做的任何度量，无论是真实的还是假想的，都必然取决于我们所选定的计量单位。

不使用武断的单位、总是选择度量相对比例的好处是，这样做可以使得所有的问题与大小无关。对我而言，这是最简洁、最美观的方法。

人们将形状装在各自的大脑中，在这样的情形下，我真的没有看出还有任何其他选择的余地。难道在你头脑中的圆要比我头脑中的圆大或者小？这个问题有任何意义吗？

《这才是数学》

作者：[美] 保罗·洛克哈特（Paul Lockhart）

译者：王凌云

全书从“度量”切入，将数学视作艺术而非应试学科，展现数学的结构与美感，示范“真正的数学”如何学、如何教。

中国科学院院士汤涛、美国国家科学院院士巴里·马祖尔、《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨等一致推崇

作者为美国哥伦比亚大学博士，先后任职伯克利分校数学科学研究中心、布朗大学等学校。从事数学教育26年。