用空间填充曲线玩转密铺

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文表明，空间填充曲线是创作埃舍尔风格密铺图案的绝佳素材来源。曲线的不规则路径促使人们更仔细地审视具有此类密铺图案的艺术作品。重点在于研究与曲线路径相关的拼块变形方案。本文描述了理查德·哈塞尔为方形网格发现的方案，并将其改编适用于六边形网格。

引言

自皮亚诺于1890年发现空间填充曲线以来[9]，人们便一直从数学性质的角度对其进行分析[10]。而它们作为密铺图案框架的适用性，则较少受到关注。本文旨在展示，在经历有限次数的迭代生成后，多种空间填充曲线如何能够成为迷人密铺图案的基础。其中有两个方面发挥着重要作用。首先，曲线的路径呈现出相当不规则的模式。以空间填充曲线为底层结构的艺术作品，会促使观赏者去解析其路径，且这类作品相较于规则的密铺图案更为罕见。其次，拼块可以以埃舍尔式的方式进行变形，使其与曲线路径产生关联。通常，这需要多种原始拼块，并且它们的变形将使彼此能够严丝合缝地拼合在一起。

空间填充曲线是在三角形、正方形或六边形网格中构建的[11]。此类网格中的多边形将成为密铺图案中的拼块。曲线的每一段都分配给特定的拼块，因此，密铺图案就变成了曲线下方拼块的一个序列。在埃舍尔风格的密铺图案[1]中，拼块的边缘会发生变形。通过在规则网格中工作，可以应用著名的等面体类型[8]来变形边缘。然而，我们的目标是将拼块的变形形状和图像与空间填充曲线的路径相关联。届时，许多等面体类型将无法应用。幸运的是，曲线的特定路径允许采用特殊的变形方案。

可以区分出两种不同类别的变形方案，我们将其命名为“节点导向变形方案”（NODS）和“边导向变形方案”（EODS）。在NODS的情况下，曲线的一个顶点位于拼块的中心。在EODS的情况下，曲线的一条边位于拼块的两个顶点之间，并且通常会成为拼块的一条边。我们的综述展示了这两种类别的示例。此外，我们还将展示一些源自空间填充曲线的、不太常见的密铺图案类型。

节点导向变形方案（NODS）

在NODS中，曲线的每个顶点都位于一块拼块的中心。每条曲线段连接一块拼块的中心与下一块拼块的中心。应用NODS需要对曲线施加两项限制。首先，每条曲线段必须穿过两块相邻拼块的共同边。其次，所有曲线顶点必须互不相同，因为每块拼块只能被经过一次。

我们以正方形网格中著名的皮亚诺曲线来详细阐述我们的变形方案，参见图1。曲线段用箭头绘制以显示其路径。路径穿过正方形边的方式有三种：从进入的边开始，路径继续直行到对边（绿色箭头），或者向左转至相邻边（红色箭头），或者向右转至相邻边（蓝色箭头）。因此，三种原始拼块就足以生成该密铺图案，因为它们可以旋转90度的倍数来适配所有四种进入方向。这些原始拼块的变形相互关联，如图2所示。

图1：带有彩色线段和变形拼块的皮亚诺曲线

图2中的原始拼块分别对应曲线向右转（a）、直行（b）和向左转（c）。变形边只有两类，用 s 和 t 表示。边 s‘ 是边 s 的平移，而边 t’ 是边 t 的镜像。只有当边 s 的变形相对于图2（b）中红色虚线所绘制的正方形右侧边的垂线对称时，原始拼块（a）和（c）才互为镜像。边 t 和 t‘ 必须是中心对称的。要使NODS有效，所有这些关于边变形的约束条件都必须得到满足。

图2：正方形网格中的原始拼块，（a）向右转，（b）直行，（c）向左转。

节点导向变形方案（NODS）首先由理查德·哈塞尔在其艺术作品《流动的科莫多 II》[4]中应用。然而，该艺术品的描述缺乏详细的解释。其底层的曲线并非皮亚诺曲线，而是包含由5×5个正方形拼块组成的方形超块。在正方形网格中，任何满足上述两条曲线限制的空间填充曲线都可以使用NODS进行密铺。其基本原理是，边 s 和 s‘ 沿着曲线的路径延伸。边 t 仅出现在曲线的左侧，而边 t’ 仅出现在曲线的右侧。由于中心对称性，边 t（以及 t‘）能够与曲线反向行进处的对应边相匹配。

与正方形网格类似，也可以为六边形网格中的空间填充曲线定义节点导向变形方案（NODS）。在所提出的变形方案中，需要五种原始拼块：一种用于直行，两种用于向左转（角度分别为60度和120度），同样地，两种用于向右转。图3展示了这些原始拼块的设计。向右转的两种原始拼块是图3（b）和（c）中向左转拼块的镜像。边 s 的变形相对于六边形右侧边的垂线对称，该垂线如图3（a）中的红色虚线所示。边 s、s‘、t 和 t’ 的约束条件与上述正方形网格中的类似。向右转的两种原始拼块，由于镜像关系，其曲线左侧的边为 t 类型，右侧的边为 t‘ 类型。因此，对于所有五种原始拼块而言，边 t 只出现在曲线的左侧，边 t’ 只出现在曲线的右侧。

图3：六边形网格中的原始拼块，（a）直行，（b）向左转60度，（c）向左转120度。

在六边形网格中，任何满足上述两条曲线限制的空间填充曲线，都可以使用NODS进行密铺。使用图3中原始拼块的密铺示例，可参见图4中著名的戈斯珀曲线[2]。

图4：五种变形的鱼形原始拼块沿着戈斯珀曲线的路径行进。

边导向变形方案（EODS）

边导向变形方案（EODS）依赖于通过边替换法[2][7]来构建空间填充曲线。在这种方法中，曲线的每个顶点都位于拼块的角点上。在三角形网格和正方形网格中，曲线段位于拼块的边上。曲线的生成器规定了每个曲线段：（1）该曲线段左侧或右侧的拼块被分配给该曲线段；（2）在下一轮迭代中，该曲线段是按曲线的正向替换还是按反向替换。在六边形网格中，曲线段位于六边形内部，因为它跳过了六边形的一个角点，参见[2]。

图5（a）展示了一个在三角形网格中设计的简单曲线示例。该曲线从左下角开始，到右下角结束。半箭头表示所分配的拼块及迭代方向。请注意，后续分配的拼块不必有公共边。在该示例中，拼块3和拼块4仅共享一个角点。为了用粗线绘制出连续的曲线路径，必须穿过拼块2的区域。图5（b）展示了经过2次迭代后的密铺图案如何组合在一起：曲线从一个三角形的终点，继续延伸到下一个旋转了60度的三角形的起点。由于对称性，一个三角形可以如（b）中最右侧三角形下方的大箭头所示进行反射。实际上，生成器中的4个三角形中的每一个都可以进行反射，从而产生16种可能的生成器。

图5：（a）三角形的生成器，（b）经过2次迭代后3个密铺图案的拼接。

三角形边缘的变形仅限于等面体类型 IH90 [8]，这意味着所有三条边都具有相同的中心对称变形。由于没有其他方式可以标示曲线路径，因此需要在拼块内部绘制曲线的路径。图6示例中的三角形内部填充了一只海豹图案，路径作为叠加图层绘制于其上。将6个旋转后的三角形拼接起来即可得到一条闭合曲线。其中三个三角形经过了反射。由于这些反射以及生成器中的反射，部分曲线边缘会相互接触。图中曲线路径的白色叠加线略微偏离边缘，以示说明。有时曲线会掉头转向，在某些边缘处，曲线会以相反方向与自身相遇。

图6：由6个旋转三角形构成的闭合曲线，内部填充了海豹图案。

在正方形网格中，伯努瓦·曼德博发现了一条被称为“曼德博四重奏”的空间填充曲线[6]。图7（a）展示了由5个线段组成的生成器，其中深红色和蓝色条代表曲线的路径，起点在左侧，终点在顶部。图7（b）展示了该曲线在第三代时由125块拼块构成的密铺图案。蓝色条线段按正向迭代曲线，红色条线段则按反向迭代，即通过逆序执行生成器来实现。在该密铺图案中，两个连续的线段可能颜色相同，也可能不同。然而，同一方向上的两个连续线段总是具有不同的颜色，因此它们的拼块仅共享一个角点，而没有公共边。通过恰当地绘制拼块，可以突出曲线的路径，参见图8中的示例。

图7：（a）曼德博四重奏曲线的生成器，（b）第三代密铺图案。

图8：嘴巴沿着曼德博四重奏曲线的路径排列。

拼块边缘的变形同样可以根据正方形已知的等面体类型（例如 IH62）来进行，但缺点是此类变形与曲线的路径无关。理查德·哈塞尔为其艺术作品《珊瑚壁虎 I》[5] 开发了一种替代性的变形方案，该方案不属于常规的等面体类型。这种被称为 EODS（边导向变形方案）的方案及其变形示例如图 9 所示。

图9：正方形网格中的EODS方案，适用于曲线左侧的原始拼块（a）和曲线右侧的原始拼块（b）。

图9（a）中的原始拼块对应图7（a）中的红色拼块。其三条标有 s 的边具有相同的变形。其标有 t 的边与图9（b）中另一原始拼块（对应图7（a）中的蓝色拼块）的三条标有 t 的边具有相同的变形。所有变形边均围绕其中心具有旋转对称性，因此无论从两个相邻拼块中的哪一个来观察它们的公共边，都没有区别。事实证明，这种变形方案可以应用于在正方形网格中通过边替换法生成的任何曲线！

此外，图7（b）中的曲线没有相接触的顶点，因此它满足NODS部分中的曲线限制。因此，NODS方案可以作为另一种密铺方式应用于该曲线。此时，拼块需在水平和垂直方向上各平移半格边长。一般来说，正方形网格中任何无自接触的曲线（例如参见[7]）都可以通过NODS方案进行密铺！

同样，在六边形网格中，也可以为通过边替换法生成的空间填充曲线设计EODS。图10展示了这两种原始拼块及其变形示例。具有相同标签（r、R、t、T）的边具有相同的变形。

图10：六边形网格中的EODS，适用于曲线左侧的原始拼块（a）和曲线右侧的原始拼块（b）。

在图10（a）的原始拼块中，曲线段从角点P1延伸至P3，因此该原始拼块位于曲线的左侧。角点P1与P2之间标有 r 的变形边，绕P2点顺时针旋转120度后，即成为角点P2与P3之间标有 R 的变形边。标有 t 和 T 的变形边则由图10（b）中的另一个原始拼块定义。该原始拼块位于曲线的右侧，因为其曲线段从角点Q1延伸至Q3。角点Q1与Q2之间标有 t 的变形边，绕Q2点逆时针旋转120度后，即成为角点Q2与Q3之间标有 T 的变形边。

EODS方案可以应用于Fukuda提到的任何戈斯珀曲线[2]。图11展示了一条闭合的戈斯珀19曲线的示例。

图11：采用EODS方案的闭合戈斯珀19曲线，（a）完整艺术品，（b）细节图。

其他密铺图案

以下密铺图案均基于具有专门变形拼块的空间填充曲线。

理查德·哈塞尔发现，戈斯珀曲线也可以用3种五边形原始拼块进行密铺，见图12（a）。实际上，这些五边形是退化的六边形，其一个顶点位于一条长边的中间。他在其作品《流动鱼》[3]中更进一步，为每种原始拼块增加了2个顶点，使得所有变形后的拼块形状相同或互为镜像，见图12（b）的草图。

图12：戈斯珀曲线的密铺图案，（a）使用退化的六边形，（b）使用退化的八边形。

构造出的希尔伯特曲线并不适合为每个线段分配一个正方形拼块，因为这样会导致出现未填充的正方形。相反，曲线段周围的区域可以通过交替使用平行四边形和三角形来填充。图13展示了一个带有变形原始拼块的密铺图案。其他曲线，如皮亚诺曲线，也可以用平行四边形和三角形进行密铺，但不能通过简单的交替序列来实现。

图13：希尔伯特曲线，使用平行四边形和三角形进行密铺。

最后，我们为戈斯珀13曲线设计了一种使用菱形的密铺图案。Fukuda [2] 展示了该曲线的构建方式，即使用深色等边三角形，每个三角形与一个曲线段相连。两个相邻的白色等边三角形中的一个可以与深色三角形组合成一个菱形。选择正确的白色三角形基于一些启发式规则和搜索算法。图14（a）显示了所覆盖网格中的三角形，以及用红色标示的曲线。一个黑色三角形和一个带有圆圈的白色三角形组成一个菱形。图14（b）展示了相应的艺术品，其中鸟类作为变形后的菱形。所有菱形的边都具有相同的变形（IH34），并附加了中心对称的约束条件。因此，所有鸟类都具有相同的形状，曲线右侧为黄色，左侧为蓝色。色调差异表示菱形是由黑色三角形右侧还是左侧的相邻白色三角形构成的。或者，也可以将前面针对正方形拼块解释的变形方案 tsss 和 sttt 应用于这些菱形。此时，曲线左侧的两种原始拼块和曲线右侧的两种原始拼块将具有四种不同的形状。

图14：使用菱形对戈斯珀13曲线进行密铺。（a）设计图，见正文说明；（b）艺术品。

结论

我们已通过多种方式证明，埃舍尔风格的密铺图案可以由空间填充曲线创作而来。我们记录并描述了理查德·哈塞尔为正方形网格发现的两种变形方案。这两种方案，分别命名为节点导向变形方案（NODS）和边导向变形方案（EODS），可普遍应用于满足所设限制条件的空间填充曲线。我们推导出了适用于六边形网格中空间填充曲线密铺的NODS和EODS方案。此外，我们还讨论了一些在设计上不那么显而易见的密铺图案。

参考文献

[1] R. Fathauer. Tessellations: Mathematics, Art, and Recreation. CRC Press,2021.

[2] H. Fukuda, M. Shimizu, and G. Nakamura. “New Gosper Space Filling Curves.” Proceedings of the International Conference on Computer Graphics and Imaging (CGIM2001), 2001, pp. 34-38.

[3] R. Hassell. “FlowFish.” Bridges Seoul 2014 Art Exhibition Catalog.

https://gallery.bridgesmathart.org/exhibitions/2014-bridges-conference/richard-hassell

[4] R. Hassell. “Komodo Flow II.” 2016. https://www.richardhassell.net/strange-creatures-series-gallery

[5] R. Hassell. “Coral Geckos I.” 2018. https://www.richardhassell.net/onlinegallery/prosperity-puppies

[6] B. Mandelbrot. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, 1977.

[7] D. M. McKenna. “SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid.” The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, The Mathematical Association of America, 1994, pp. 49-73.

[8] T. McLean. Isohedral Tilings. Mirror site hosted by J. Scherphuis.

https://www.jaapsch.net/tilings/mclean/

[9] G. Peano. “Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane.” Mathematische Annalen, vol. 36, 1890, pp. 157-160.

[10] H. Sagan. Space-Filling Curves. Springer, 1991.

[11] J. Ventrella. Brain-Filling Curves - A Fractal Bestiary. Eyebrain Books, 2012.

[12] Tis Veugen. Tessellations from Space-Filling Curves

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山 不改，绿水长流，在下告退。

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