通俗理解这根“针”和那朵“浪”，2026菲尔兹奖四位获奖者到底解决了什么？

7 月 23 日，在美国费城举办的数学家大会（ICM 2026）上，国际数学联盟（IMU）公布了 2026 年菲尔兹奖获奖者名单。

这次 4 位获奖者以及他们的核心贡献分别是：

1. 邓煜：表彰其在偏微分方程领域的工作，包括从稀薄气体的硬球动力学严格推导出玻尔兹曼方程从非线性色散系统推导波动动力学方程，以及对非线性薛定谔方程动力学的概率方法研究。
2. 约翰帕登（John Pardon：表彰其在辛几何领域的杰出成就，包括虚拟基本闭链、Liouville 流形的 Fukaya 范畴和全纯曲线计数的新方法，以及他对几何和拓扑的其他领域的贡献，包括三维流形上的群作用和纽结理论。
3. 雅各布齐默曼（Jacob Tsimerman：表彰其极大拓展了o-极小（o-minimal）方法在算术几何和复代数几何中的应用范围，包括证明了 Griffiths 关于周期映射像代数性的猜想。
4. 王虹：表彰其在调和分析与几何测度论方向的研究，包括将多尺度、解耦方法应用于平面波动方程局部光滑猜想；并在傅里叶限制问题、法尔科纳（Falconer）距离集、平面富斯滕贝格（Furstenberg）集以及三维挂谷问题上取得关键性进展。

其实，这个获奖名单已经不让意外了，因为 2026 年 7 月 13 日前后，就有人在解析2026 国际数学家大会（ICM 2026）官网日程表的后台数据时，发现里面藏着四场未公开的隐藏报告。了解数学界规矩的人都知道，这基本上就是本届菲尔兹奖（Fields Medal）得主的学术报告了。

真正让大家兴奋的是，这4位获奖者的两位中国数学家——邓煜与王虹了。他们俩本科都是北京大学毕业的。

王虹

邓煜

咱们之前熟知的华人菲尔兹奖得主，像丘成桐先生和陶哲轩先生，他们的本科和后续研究教育大部分是在海外完成的。而邓煜和王虹的获奖，结结实实地证明了咱们国内的高等教育在数学拔尖人才培养上，是真的走出来了。

顺便科普一下菲尔兹奖。大家常说它是“数学界的诺贝尔奖”，但它的条件其实比诺贝尔奖“苛刻”得多：

• 4年才评一次，一次只给 2 到 4 个人；
• 最折磨人的一条规定——获奖者在获奖当年的11日前必须未满40周岁。

这个年龄限制，就是为了强行逼着大家在最敢想敢干的黄金年龄去做开创性突破。长期以来，美、法、英、俄这几个数学强国几乎包揽了大多数名额，网友常戏称他们是数学界的“四常”。这次邓煜和王虹同时获奖，不少人开玩笑说：这下咱们在数学界也算“凑齐五常”了。

其实早在去年年初，王虹发布攻克三维挂谷猜想（Kakeya Conjecture）论文的时候，圈内就炸开锅了，当时不少同行就预测：“只要审稿通过，这绝对是菲尔兹奖级别的成果。”至于邓煜，他在解析数论与偏微分方程领域的工作也是极其扎实，只是因为研究课题没有“挂谷猜想”听起来那么有画面感，不太好发朋友圈圈粉而已。总之，这两位的获奖可以说是实至名归。

王虹攻克三维挂谷猜想

从“旋转一针”说起

王虹解决的“挂谷猜想”，究竟是个什么问题呢？咱们先从一个大家都能想象的几何游戏玩起。

假设桌上放着一根长为 1 的针。如果我们想让它在平面内原地旋转180°（把首尾调个个儿），它扫过的图形面积最小能是多少？

• 最直观的做法：以针的中点为圆心转一圈，扫过一个圆，面积大约是 ：

• 聪明一点：把针放在一个等边三角形里转，扫过的面积能降到 ：

• 那能不能设计一个更巧妙的形状，让扫过的面积要多小有多小，甚至无限接近于 0 呢？

1919 年，俄国数学家贝西科维奇（Besicovitch）证明了一个颠覆常识的结论：还真能！通过把图形进行极其精细的切片、重叠和平移，我们可以构造出一个面积任意小的“花瓣状”图形，让这根针在里面顺利转完 180°。

贝西科维奇（Besicovitch）

这时候很多同学会顺理成章地往三维空间想，觉得到了三维，问题不就是“一根针在空间里转一圈，扫过的体积可以是 0”吗？

这里咱们得赶紧踩个刹车：这个类比不仅不对，还把挂谷问题的深度给看扁了。

三维挂谷问题关心的不是“转动过程”扫过的动态轨迹，而是一个静态的几何点集——挂谷集（Kakeya set）。 简单来说，挂谷集要求它必须同时包含三维空间中指向四面八方、所有不同方向的单位线段。

贝西科维奇证明了：即使你要求这个几何体把空间里所有角度的线段统统装进去，这个挂谷集的总体积（数学上叫“测度”），依然可以严格等于0。

体积为0，这东西还在吗？

听完你可能会纳闷：体积都严格等于 0 了，这图形不就等于不存在吗？

这就是挂谷猜想最神奇的地方了。猜想断言：

虽然三维挂谷集的体积被压缩到了0，但它的豪斯多夫维数（Hausdorff dimension），依然死死锁定在3！

什么叫“体积为 0，但维度还是 3”？咱们拿大家熟悉的“分形几何”——科赫雪花（Koch Snowflake）来打个比方。

科赫雪花是用一条直线无限折叠出来的曲线。按传统拓扑学来看，线就是 1 维，面就是 2 维。科赫雪花本质上是一条线，它的二维面积当然是 0。 可是，它折叠得实在是太密密麻麻了，普通 1 维线段根本没它这么强的“空间占有率”，但它又确实没能把整个 2 维平面填满。为了量化这种“介于 1维和 2 维之间”的复杂程度，数学家豪斯多夫提出了分形维数。

分形维数的底层逻辑，其实就是看“尺度放大时的爆发倍数”： 假设咱们把一个图形的边长放大到原来的 3 倍：

• 1 维线段，长度变成原来的 31= 3 倍；
• 2 维正方形，面积变成原来的 32= 9 倍；
• 3 维立方体，体积变成原来的 33= 27 倍。

那科赫雪花呢？当你把它的尺寸放大 3 倍时，因为它的自相似分形结构，新图形刚好由 4 个和原来一模一样的副本拼出来。 所以它的维度 d 就要满足：3d= 4

解这个对数方程，就能算出它的分形维数：

看，这就是分形维数的妙处，它用一个漂亮的数值，量化了复杂几何图形在空间中的“填满程度”。

破解“零乘以任何数等于零”的细管逼近

不过，这套极其漂亮的放大方法，一碰到挂谷集就卡壳了。

为什么？因为挂谷集的体积严格等于 0。0乘以任何放大倍数结果都还是 0，咱们根本列不出方程！

那王虹和一代代数学家是怎么破这个局的呢？他们用了一个非常直观的办法——吹气变成小塑料管（细管逼近法）。

既然没有厚度的线段体积是 0，那我们就给每根针赋一个很小的半径δ，把线段变成一根根细管子（δ-tube）。当半径δ越来越小、趋近于0时，所有方向细管叠在一起的总体积当然也会趋于0。所以问题就变了，不再是看挂谷集的测度的变换了，而是去盯“总体积随着半径δ变小而衰减的速度”。

• 如果体积衰减得飞快，说明这团结构内部太稀疏了，维度就低；
• 如果体积衰减得很慢，说明管子交叉重叠得非常紧密，空间充实度极高。

挂谷猜想本质上就是说：细管总体积随着厚度δ缩小的衰减阶数，和标准 3 维空间完全一致。通过这种定量分析，数学家成功证明了：挂谷集虽然体积为0，但它的结构骨架依然稳稳地撑在3维空间里。

频域应用：从几何针尖到物理波的干涉

说到这儿，你可能会问：“老师，数学家研究这群在空间里交叉的针，除了解闷，有什么用呢？”

这就要提到现代数学里的“调和分析”了。挂谷猜想在频域（Frequency Domain）里，实际上回答了一个非常深刻的物理问题：当四面八方的波在空间里交错干涉时，它们的能量聚焦极限在哪里？

我们可以把几何概念和波动物理做一个非常漂亮的对应：

1. 一根半径为δ的细管≈一束特定方向的高频波束 根据波动不确定性原理，一束朝特定方向传播、相位保持一致的光或波，它在空间里集中分布的区域，恰好就是一根细管子。比如 6 G 通信里的太赫兹波束，或者医院 CT 机里的 X 射线。
2. 遍历所有方向的针≈四面八方全方位入射的波 针指向空间的所有角度，在频域里就等价于波的传播方向铺满了整个球面。医院 CT 扫描人体，就是用射线从 360°全方位穿透，再利用接收到的干涉数据去反推内部的器官结构。
3. 细管重叠的总体积≈波干涉产生的能量爆点 管子在空间里交叠得越厉害，就意味着不同方向的波相遇时，产生相长干涉（Constructive Interference）的能量集中度越高。比如在可控核聚变中，上百束顶级强度的激光需要从空间各个方向同时聚焦到几毫米的靶丸上。
4. 挂谷集维数锁定在 3 维≈空间赋予能量聚集的“几何防爆墙” 挂谷猜想告诉我们：哪怕你用无数束来自不同方向的波在一点交叉干涉，能量向四周弥散与衰减的阶数，也绝对不可能突破三维空间本身的几何限制。

邓煜突破波动湍流与希尔伯特第六问题

探秘“疯狗浪”：非线性波与无规相位假设

聊完了王虹的挂谷猜想，咱们再来看看另一位获奖者邓煜的工作。

邓煜研究的是偏微分方程和解析数论。他与合作者（Zaher Hani、马骁）完成了一项极具震撼力的突破：严格完成了从微观硬球粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的数学推导。这直接解决了著名的希尔伯特第六问题（Hilbert's sixth problem）中的核心难题，在微观物理与宏观流体力学之间搭建了一座严密的数学桥梁。

而这项宏大工作的前提，正是他对波动湍流（Wave Turbulence）的严谨数学证明。

很多同学听到“湍流”，第一反应是水流湍急。但波动湍流和传统的流体力学湍流还不太一样。

中学物理课上咱们都学过“波的线性叠加原理”：两束光交错而过，各走各的；两朵水波相遇，穿过去后依然保持原样，互不干扰。但大家要记住，这只是理论上的“理想化近似”。

在真实世界里，波和介质是会互相作用的（甚至在真空中，因为量子涨落的存在，真空也可以看作一种介质）。波不仅会推动介质，介质反过来又会剧烈影响波本身——这种“自我缠绕”的作用叫作非线性效应。

非线性效应会让波产生很多神奇的性质。线性波相遇只是简单的加减法，但非线性效应会让不同方向的波叠加后，凭空“碰撞”出全新频率的新波！

航海员口中流传的“疯狗浪（RogueWaves）”，就是典型的非线性效应。在大洋中，有时会无预警地突然耸立起数十米高的巨浪，吞噬船只。这种现象用线性叠加根本解释不通；实际上，就是深水波在演化过程中，通过非线性叠加强行吸收了周围几公里范围内微弱水波的能量，迅速集中到一个波峰上形成的。

早在 20 世纪 60 年代，物理学家（如 Zakharov 等）就试图用方程描述海浪或星云中成千上万个波的能量流动。但他们很快就绝望地发现：如果死磕每一个波的绝对相位，数学计算在第 0.0001 秒就会因为复杂度爆炸而崩溃。

于是物理学家们用了一个“偷懒”的假设——无规相位假设（Random Phase Approximation, RPA）。他们假定：成千上万个波在极其频繁地碰撞之后，相位会迅速变得完全均匀且随机。

但这带来了一个哲学兼物理学上的大难题：微观和宏观的界限到底在哪儿？ 微观物理方程是精确的，宏观统计规律是随机的，现实世界中微观到宏观必然是连续平滑过渡的。我们不能凭经验拍脑袋说“什么时候算微观，什么时候算宏观”。

费曼图与树图：推导能量传递的标度律

邓煜的工作，正是用严密的数学证明找到了这个从微观到宏观连续过渡的定量规律！他找出的规律是以标度律（Scaling Law）的形式呈现的，定量描述了系统规模L与非线性强度α之间的关系：

有了这个标度律，物理学家就像是有了法定依据一样，能够给微观到宏观的转换画下一条清晰、定量的界线——就如同我们用“18 岁”来定量划定成年界线一样，告别了过去凭感觉摸索的历史。

那邓煜是怎么在极其复杂的方程中算出这个标度律的呢？

他引入了一个极其强大的数学工具：类似量子场论中的费曼图（FeynmanDiagrams）。在邓煜的几何图谱里，每一个节点代表一次波与波的碰撞，每一条边代表波的传播。

把图画出来之后，真正的噩梦就来了：如果图里包含“环路”（Loops），就意味着波反射回了自身并形成干涉，这会导致数学计算直接发散（结果趋于无穷大）。

面对成千上万种极其复杂的几何图，邓煜展示了他顶级的数学技巧：他对这些复杂的几何图进行了极其精密的组合学分类，利用波在快速震荡时的相干性进行抵消。

他最终严密地证明了：绝大多数带有“环路”的复杂图，在相位的快速震荡下都会相互抵消掉，最后只有结构清爽、没有环路的“树图”（Tree Diagrams）能够存活下来！

剔除掉带闭环的干扰后，只留下结构清晰、逐级分支的“树图”，这让原本乱作一团的波碰撞计算变成了可以精准计数的树状组合结构。通过统计树图在不同系统尺寸 L 下逐层传递能量的速率，就能直接导出系统规模与非线性强度之间那个干净的幂律关系，也就是咱们前面提到的标度律。

方法迁移：从波干涉到硬球粒子的玻尔兹曼方程

那这个原本用来处理“波”的方法，又是怎么迁移到“硬球粒子系统”上的呢？

简单来说，无论是波与波之间的干涉，还是台球般的硬球粒子碰撞，核心都在于如何用数学控制成千上万个对象在漫长时间里的“碰撞历史”。邓煜把波湍流中用来控制波相干性的组合图谱与累积量（Cumulant）分析方法，巧妙映射到了硬球碰撞系统上——把粒子间错综复杂的碰撞轨迹抽象成类似的组合图，并证明粒子间的高阶长时相关性（累积量）足够小、不会导致发散，从而打破了前人只能证明极短时间的局限，完成了从微观牛顿力学硬球到宏观玻尔兹曼方程长时间演化的严格推导。

靠着这种将复杂发散项逐一抵消、用图谱精准控制多体相互作用的手法，邓煜不仅破解了波湍流的难题，还顺藤摸瓜攻克了希尔伯特第六问题中的百年难关，最终拿下了这枚含金量极高的菲尔兹奖。

约翰帕登（JohnPardon）

重构辛几何与物理规则平行宇宙

从“相空间”与照片里的足球说起

咱们先从一个非常直观的物理现象聊起。

假设我给你看一张照片，画面里有一个足球停在球门前。请问：下一帧这个球会飞进网里，还是会被守门员抱住？

你肯定回答不上来。因为单凭一张照片，你只能看到球的位置，却根本不知道它的速度和运动方向（动量）。它可能正以 100 公里时速轰向球门，也可能只是静止停在草地上。

为了解决这个问题，物理学家引入了一个概念叫相空间（Phase Space）。在相空间里，一个点不仅代表“你在哪儿”，还同时记录了“你的动量是多少”。一旦把位置和动量结合在一起，只要知道相空间里当前的点，再配合物理学定律（如能量守恒、最小作用量原理），这个系统过去从哪儿来、未来往哪儿去，就全部被严格锁定了。

而数学家研究的辛几何（Symplectic Geometry），本质上就是把这些物理学定律，直接内化成了空间本身的“几何规则”。比如著名的最小作用量原理，在辛几何里就表现为一种非常奇妙的性质：相空间里任意一个极小区域的面积，都具有某种“刚性”，你无论怎么揉捏变异，它都不能被随意压缩。

换句话说，一个辛空间，其实就代表着一套物理规则可行、可自洽运行的世界。

物理规则不同的“平行宇宙”，本质上是一回事吗？

说到“平行宇宙”，大家平时在科幻电影里听到的，多半是“那个宇宙里的光速更快一点”、“引力常数更小一点”。但说到底，它们用的还是同一套物理规律，只是参数不同罢了。

那如果我们问一个更底层、更硬核的问题：如果两套物理规律看起来完全不同，它们到底只是“换了个包装”、本质上可以通过某种连续变形相互转换呢？还是说它们压根无法转换，是彻底独立、绝不相通的两种平行宇宙？

在数学上，这个问题就变成了：这两个辛空间在拓扑上是不是“同胚”的？

如果两个辛空间可以连续变过去，说明它们的底层逻辑是一回事；如果变不过去，那它们就是绝对隔离的“两种平行宇宙”。

扫清百年暗礁：隐流形机制与数学基石

这个概念听起来是不是既深刻又带点浪漫？但要真正去计算和判断两个辛空间到底是不是同胚，数学家们遇到了极其可怕的阻碍。

当你在高维辛空间里做几何演算时，极易碰到极度恶劣的“奇点”和“维度暴塌”（数学上叫模空间恶化）。这就好比你要在悬崖峭壁上建大楼，地形烂到了极点。此前数学家们尝试用“微扰理论”去强行修修补补，但在逻辑严密性上一直饱受争议，总觉得地基不够牢固。

而约翰·帕登（John Pardon）的决定性贡献就在这里。

他没有在烂泥潭里跟恶劣的几何空间硬碰硬，而是站到了更高的视角——从高阶范畴论与代数拓扑的高度，发明了一套极其严密且优雅的新工具，叫“隐流形”（ImplicitManifold）机制。

隐流形内部那些高度抽象的范畴论推导，咱们今天就不展开折磨大家了。大家只需要了解帕登这项工作的核心价值：他一举修复了辛拓扑学多年来地基里的逻辑漏洞，建立了一套严格无瑕的分析框架，让全人类的数学家终于有了坚不可摧的工具，去回答“不同的物理规则空间到底是否同胚”这个终极问题。

雅各布齐默曼（JacobTsimerman）

o-极小方法推向高维与极端复杂

雅各布·齐默曼（JacobTsimerman）近年来的划时代贡献，关键就在于他大幅拓展了 o-极小（o-minimal）方法的应用边界，并凭借这套方法一举攻克了数论与复几何领域悬案半个世纪的顶尖难题。

要彻底明白他的贡献，首先需要了解 o-极小究竟是用来解决什么问题的。

代数与几何的对译，以及“无穷”带来的噩梦

我们都知道，代数和几何在很多问题上是完全等价的。

• 简单的：比如中学解析几何，几何上的一个圆，代数上可以写成 x² + y² = 1；
• 极复杂的：比如在证明费马大定理时，安德鲁·怀尔斯正是借助“谷山-志村猜想”，打通了椭圆曲线与数论之间的等价关系，才最终完成了世纪证明。

在代数几何这个重要领域里，数学家对多项式（x^2, y^3 等通过有限次加减乘除构成的方程）对应的几何问题已经处理得非常成熟。因为哪怕叠加再多运算，多项式始终是有限的，代数结构清晰且易于理解。

然而，一旦遇到超越函数（如 eˣ, sin x ），麻烦就来了。它们写出来看似简单，但如果按照多项式展开，本质上却是无限项多项式相加：

事情一旦涉及到“无穷”，就会引入无穷大、极限等超越人类直觉的概念，即便是顶尖数学家处理起来也必须小心翼翼。专门处理这些超越函数对应的几何问题的学科，叫做分析几何。而 o-极小方法，就是分析几何中极其关键的“秘密武器”。

o-极小：数学家划出的“安全警戒线”

o-极小，相当于是数学家们找到的一条“安全警戒线”。

凡是符合 o-极小结构的函数，即便是超越函数，也是可以被安全处理的；而凡是不符合 o-极小的函数，就会产生无限震荡、无限断点等病态结构，属于数学方法无法驾驭的危险区域。

o-极小的公理定义非常直观：不论一个函数在多维空间里多么复杂，只要看它们在一维轴上的投影，如果这个投影只能是有限个孤立点、或者有限个区间的并集，它就被称为 o-极小结构。这意味着这个函数被剥夺了产生病态无穷的能力，是可以被安全处理的。

比如方程 sin x = 0，在整个实数轴上有无穷多个解（0, π, 2π, 3π ...），在全局上看属于必须被淘汰的病态情况。但如果我们给它设定一个有界定义域，比如

那么解就只剩下有限的 {0, π, 2π}。这样一来，它就成功跨过了安全线，转化为了可以处理的 o-极小情况。

从甜甜圈的“周期”到“周期域”

这个公理看起来非常简单，如果只是直接这么用，它能处理的问题相当有限。数学家是如何把它用到复杂的几何图景里的呢？

我们可以想象一个甜甜圈（椭圆曲线）：

在甜甜圈上有两种最基础的绕圈方式——沿着腰围绕一圈γ₁，以及沿着肠道绕一圈γ₂。只要甜甜圈的拓扑结构不破裂，这两个圈就与拓扑死死绑定。任何闭合路径Γ，都可以写成这两者的线性组合：

如果甜甜圈发生拉伸或变形（在复代数方程 y²= x³ - ax - b 中表现为参数 a, b 的变化），拓扑结构虽然没变，但沿着这两条路径积分出来的复数值ω₁和ω₂会发生改变。而数学家关系的其实是沿这两个圈积分出来的复数值比例发生的改变。

为什么数学家偏偏要去算这两个积分值的比例呢？

因为直接看单独的积分值ω₁和ω₂，它们不仅包含了甜甜圈的形状，还包含了整体放大、缩小或旋转的冗余信息。取比值τ，刚好把这些缩放干扰全给消掉了，只纯粹地留下了甜甜圈最核心的“形状几何密码”。

这样一来，每一个不同形状的甜甜圈，就唯一对应着复平面上的一个点τ。所有可能形状的甜甜圈组合在一起，就在复空间里铺成了一张地图——这就是所谓的“周期域”。

描述这个甜甜圈变形过程的映射（周期映射），本质上是由超越积分定义的。按理说，超越函数很容易在无限空间里无限重复、产生乱七八糟的病态缠绕。但数学家发现，由于对称性的存在，我们只需要把目光锁定在地图中一块封闭有界的“核心基本域”里。

这就如同给 sin x 限制定义域一样，一旦把这个超越映射限制在这个有界基本域内，原本无法处理的超越映射，就成功跨过了安全警戒线，变为了可被安全处理的 o-极小结构。

齐默曼的划时代贡献：推向高维与极端复杂

这个方法在简单甜甜圈上很管用，但对于现实中更复杂的几何体，传统的 o-极小方法就无能为力了。

而齐默曼（Jacob Tsimerman）真正的划时代贡献，在于他把这个方法“推向了极高维度与极其复杂的几何体”：

攻克高维阿贝尔簇（安德烈-奥尔特猜想）：

对于比甜甜圈复杂成千上万倍的高维几何体（高维阿贝尔簇 A_g），其对应的超越积分不再是一个比值，而是一个庞大的复数矩阵。齐默曼证明了，即使在这种极其恐怖的高维模空间里，只要限制在著名的“西格尔基本域”内，这个庞大的超越映射依然严格落在了 o-极小结构的安全保护罩之内！

解决半世纪悬案（格里菲斯猜想）：

对于一般复代数簇（如 Calabi-Yau 流形）在霍奇理论中的“周期映射”，传统复分析根本无法确定其轨迹是否会产生无限乱缠绕。齐默曼与合作者证明了这个映射在基本域上也是严格 o-极小的。进而利用 o-极小几何特有的“驯服性”，强行证明了这些轨迹在周期域里绝对不会产生病态乱纹，必须退化为由简单多项式定义的干净“代数簇”。

齐默曼正是通过极大地拓宽了 o-极小方法的适用边界，为整个现代数学界打造了一把驯服超越病态的“终极利刃”。

2026 年的菲尔兹奖已然落幕，这四位获奖者用各自的方式，向我们展示了同一件事：数学从不凭空创造新世界，它只是日复一日地，把人类认知的边界往前推一点点。

对于这次的获奖名单，你有什么想说的，欢迎在评论区聊聊。