GPT-5.6和Fable联手，解决了一道悬了25年的数学难题

来源：量子位 | 公众号 QbitAI

克雷西 发自 凹非寺

GPT-5.6和Fable 5联手，解决了一道悬置25年的数学难题。

微软研究院首席研究员Dimitris Papailiopoulos，证明了一个多项式时间算法，能让MIMO检测精确命中最大似然阈值。

作者表示，这个过程花了他整整七天。

MIMO检测是无线通信领域的一个经典问题，需要接收端从被噪声搅乱的信号中，把发送端原本发出的信息完整还原。

统计上这种操作已经可以做到，但过去的方法，是穷举搜索，耗费的时间是指数级的。

所以问题就变成，能不能不通过穷举，利用快速算法实现还原。

2001年，Hassibi和Vikalo以为找到了突破口，但2005年这条路又被Jaldén和Ottersten证明走不通。

此后学界又先后试过半正定松弛、比特翻转局部搜索、AMP、统计物理方法，最接近的结果也只能停在比理论门槛高一倍的地方。

25年，一波又一波学者轮番上阵，但谁都没能啃下来。

25年来，只能靠穷举

MIMO检测，是无线通信里的一个基础问题。

发送端把N个比特通过一个N×N的信道发出去，信道会把这些比特混在一起，还会叠加噪声；

接收端手里只有一份被搅乱过的信号，要把发送端最初发出的N个比特，一位不差地找回来。

理论上有一个万无一失的办法，叫最大似然检测，也就是把所有可能的比特组合都算一遍，找出跟接收到的信号最匹配的那一个。

这种方法一定能找到正确答案，前提是你愿意等——N个比特意味着2的N次方种组合，N稍微大一点，穷举就要算到天荒地老。

1989年，Sergio Verdú证明了这类问题在最坏情况下是NP-hard的，也就是不管用什么算法，都存在某些输入让计算量指数级爆炸。

但「最坏情况」说的是数学上刻意构造出来、专门为难算法的信道矩阵。

现实里的无线信道不是谁刻意构造的，它的每一次衰减、每一次噪声都是随机产生的，不会挑那些最难算的情况来为难接收端。

于是学界从2000年代初开始问一个更具体的问题——

如果信道是随机产生的，只要统计上存在恢复原始比特的可能，是不是就一定能找到一个不需要穷举的算法？

后来的研究给出了一条精确的分界线，当信噪比达到2logN，发送的比特能够被完全恢复的概率趋近于1。

低于这条线，连最大似然检测本身都会开始出错，这条分界线因此被称为最大似然阈值。

问题于是变得具体——能不能设计一个跑得快的算法，精确命中最大似然阈值？

2001年，Babak Hassibi和Haris Vikalo以为找到了答案。

他们分析的是一种叫球形译码（sphere decoder）的算法。

这种算法先在接收信号周围划出一个「球」，只在球内的候选里搜索，球外的直接跳过，靠这一步压缩搜索范围。

Hassibi和Vikalo推导出这个算法的期望复杂度公式，结果看起来是多项式时间的。

如果这个结论成立，这道题基本就解决了。

但2005年，Joakim Jaldén和Björn Ottersten把这个结论推翻了。

他们证明，在任意固定的信噪比下，球形译码的期望复杂度其实是指数级的，不是多项式的。

原因是要以不趋于零的概率把发送的信号包进「球」里，球的半径必须跟着问题规模一起变大，球一旦变大，球内要搜索的候选数量也跟着指数级增长。

球形译码这条路走不通之后，学界转向了各种近似方法——半正定松弛、比特翻转局部搜索、AMP（approximate message passing）、统计物理里的方法。

结果，每一种都能给出漂亮的分析，但没有一种被证明能精确匹配2logN这条阈值。

2020年，一种把离散问题放宽成连续优化问题来解的方法，叫box relaxation，拿到了当时最好的严格证明结果，能在信噪比达到4logN时做到精确恢复，但复杂度依然是理论门槛的两倍。

25年过去，统计上「能恢复」和用快算法「能恢复」之间，一直隔着这条鸿沟。

上周，这条鸿沟被填平了。

Dimitris Papailiopoulos和GPT-5.6、Claude Fable 5证明，一个只有两步的简单算法，同样能在信噪比等于2logN时精确恢复全部比特，而且是多项式时间，只需要O(N³)次运算。

而且这篇论文证明的是一个双向结果。

一头证明了这个算法能在信噪比等于2logN时，信号能被精确恢复；另一头则进一步证明，信噪比只要略低于2logN这个最大似然阈值，连「笨办法」最大似然检测也会开始失败。

GPT-5.6和Fable 5联手证明

Dimitris找GPT-5.6和Fable 5来试这道题，两个模型很快分别给出了自己的证明思路，但接下来的打磨过程一波三折。

GPT-5.6的路径用了一种叫AMP的算法，这是Dimitris一直没能吃透分析方法的一类工具。

Fable 5给出的路径不同，用的是「符号LMMSE，加贪心逐位翻转」，一个业内实际在用、却从没被严格证明过的老算法。

两条路径都各自给出了完整的证明，声称能在信噪比2logN精确恢复。

Dimitris最终选择了Fable给出的这条路，让GPT接手检查和修补里面的漏洞。

GPT把漏洞修好了，但修好之后的证明是一堵「符号墙」，变量指着变量，被指着的变量又指着更多变量，而且塞满Dimitris看不懂的矩阵分析工具。

接下来的几天，他反复让两个模型互相简化对方给出的论证，唯一的底线是，不管怎么简化，最后都要保住2logN这个门槛。

除此之外，只要他自己能看懂，怎么改都行。

他还拒绝了用Lean做形式化验证，原因也很抓马，因为……他不懂。

Lean是一种能让计算机自动检查数学证明是否成立的工具，但要用它，得先把证明翻译成Lean能读懂的形式语言。

这道翻译工作本身也可能出错，而Dimitris不懂Lean，也就没法检查翻译对不对。

总之折腾了一周后，他终于拿到了一份可以逐行手算核对的证明。

拆开看，这个算法只有两个核心步骤。

第一步，叫LMMSE取整。

LMMSE（linear minimum mean square error，线性最小均方误差估计）是信号处理里的一种标准估计方法，先给出一个不是整数、连续取值的粗略猜测，再把每个坐标按正负号取整成+1或-1。

这一步不需要精确猜中每一个比特，论文证明的是，取整后的结果和真实发送的比特之间，汉明距离（两个等长比特串之间不同的位数）只有o(N)。

也就是说，随着N变大，猜错的比特数占总数的比例会趋近于零。

第二步，叫贪心逐位翻转。

这步从第一步给出的猜测开始，每一轮检查所有N个比特，找出翻转哪一位能让代价函数（衡量当前猜测和接收信号匹配程度的一个数值，越小越匹配）下降得最多，就翻转那一位，然后重复这个过程。

问题是，这样的贪心搜索凭什么能找到正确答案，而不是在中途卡在一个错误的地方不动？

为了回答这个问题，论文证明了两件事。

第一，在猜测起点周围的一个范围内，每一个还没猜对的点，都至少存在一位翻转能让代价函数严格下降，而且下降的幅度有一个不趋于零的下限，不会随着N变大而消失。

这意味着贪心搜索不会卡死不动，永远能找到继续往下走的一步。

第二，代价函数本身会随着汉明距离（也就是猜错的比特数）增大而增大。

这形成一道天然的护栏——搜索路径就算中途某一步猜错的比特数量暂时变多，代价函数也回不到起点，没法翻越这道护栏跑到猜测范围之外。

把这两件事放在一起看，每一步至少能降低多少代价，除以起点距离最优解总共差多少代价，就得到贪心搜索的算法复杂度，论文算出来的答案是O(NlogN)步。

贪心搜索有一条停止规则，那就是找不到任何能让代价下降的翻转时，就停下来。

前面已经证明，护栏内每一个猜错的点，都还有至少一位翻转能让代价下降。

也就是说，只要还没猜对，算法就一定能找到下一步该翻哪一位，不会停。

等真的猜对了，任何一次翻转都只会让代价变得更差，这时候才没有能改进的翻转可选，算法这才会停下来。

贪心搜索唯一能停下的地方，就是真实发送的那个比特串。

算法最终只会停在真实发送的比特串上，证明也就完成了。Dimitris表示，这一整套论证过程，自己已经从头到尾验证过一遍。

作者简介

Dimitris Papailiopoulos，现在是微软研究院的首席研究员，同时是威斯康星大学麦迪逊分校电子与计算机工程系的副教授。

他早年的研究方向是信息论和编码理论。

2009年，他还是博士一年级学生，写下了第一篇论文，并于次年发表，合作者是导师Alex Dimakis。

那篇论文用一种叫MCMC（马尔可夫链蒙特卡洛，一种靠随机采样逼近答案的计算方法）的方法，尝试解决MIMO检测这道题，但没有成功。

这次被GPT-5.6和Fable 5证明拿下的，正是同一道题。17年前那道让他卡住的题，这次被他自己解开了。

参考链接：
https://x.com/DimitrisPapail/status/2086159964234482144

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