数学最该教的东西，没人教！

大多数孩子学不好数学，不是笨，不是不努力，而是学校和补习班，都没教给他们最该教的东西。我们天天练计算、刷题型、背公式，却把数学最核心的能力数学思维丢在了一边。

今天就推荐一本数学思维的入门佳作！

先来看看顶尖数学大师们对这本书的评价：

数学家，菲尔兹奖得主陶哲轩说“这本书展现了一段真诚的数学之旅：数学思考是一段充满探索与犯错的过程，并需要逐步纠正错误、提升理解力的精彩旅程。”

数学家，菲尔兹奖得主雨果·杜米尼-科潘评价这本书说“精彩！如果你好奇我们做数学时在想什么，那你就必须读一读这本书。”

《欢乐数学》作者本·奥林说：这是一本能帮助人们提升数学能力的罕见好书。书中充满了俏皮的故事，以及富有创造力的指导性意见，能助你成为更好的“数学人”。

《微积分的力量》作者史蒂夫·斯托加茨赞誉说：我完全被这本书迷住了。无论你爱数学还是误以为自己恨数学，都应该读一读这本书。它讲清楚了数学究竟是什么。我真的无法形容自己有多喜欢这本书。这是我长久以来读过的最精彩的书之一。

期待值直接拉满！

这本书就是毕业于巴黎高等师范学院（ENS）数学专业的戴维·贝西（David Bessis）所著的《数学觉醒：学会更清晰地思考》这本书揭示了数学思维才是高级“软实力”，全书几乎不用任何一个公式做到，深入浅出的语言，进而让人人都能具备清晰思考的能力。

也因此，这本书一上市就成为打动全球数学家和“学霸”的奇书。

今天就让我们一起看看这本书的精彩之处吧！

来源 | 《数学觉醒：学会更清晰地思考》

作者 | [法]戴维·贝西（David Bessis）

译者 | 赵晓蕊

节选自 | 第一章 三个秘密

（点击上图阅读本书）

我创作这本书的目的，就是改变你看待世界的方式。

这场旅行将从我的亲身经历出发，是一段让我改头换面、赋予我“魔力”的漫长冒险。然而，这样的冒险不属于我一个人，而是一场古老而强大的共同冒险，最早可以追溯到史前时代的一小部分人，它至今仍在改变我们的文明、语言和思想。

有多少人能感受到，数学在我们的内心深处蓬勃生长？对此，我无从得知。我只知道，这样的人为数不多，这样的故事也仍然鲜为人知。

人们总以为，数学的冒险只属于天赋异禀的精英，不是谁都可以参与的。但伟大的数学家纷纷提笔，表示事实并非如此。我们会看到，他们声称自己只是用了普通人的方法取得了这般成就。他们有好奇心和想象力，也有怀疑和弱点。

然而，没有人愿意相信他们的说法。这些数学家也许不懂如何用简单的语言讲述自己的故事，又或许，他们低估了被自己质疑的神话的力量，这就是人类最后的伟大神话之一——智力神话。

数学不仅塑造了我们的世界，还是权力与统治的工具。而对于投身其中的人来说，它首先是一种内心的体验，是一种感性和精神的追求。

这种体验与学校教授的知识没有太大关系。从某些方面来看，它是一种洞察力，是一种先见之明。此外，它也可以看作我们在童年时期学习说话这一神秘过程的延伸。

理解数学，就是踏上重拾童年的心理可塑性的秘密之路，学会激活并利用这种可塑性，让它重焕生机。这条智力之路与日常生活如影随形，只是它的入口十分隐蔽，隐藏在我们的习惯、恐惧和抵触背后。我愿助你一臂之力，让你重新找到这条道路。

01

神秘的东西

“我没有特别的天赋，只有强烈的好奇心。”

我在 15 岁时，对爱因斯坦的这句话十分厌恶，它听起来就像“超模”说“内在美最重要”一样虚伪。说实话，谁愿意听这种空话呢？然而，本书的核心观点就是要认真对待爱因斯坦的这句话。

令人惊讶的是，我们往往难以认真对待这句话。爱因斯坦这么说绝非因为昏了头，他也不是个爱说谎的人。如果你在街上随便问一些路人，他们都会告诉你，爱因斯坦的相对论为人类思想做出了巨大贡献。所以，我们应当正视爱因斯坦所说的话。

但爱因斯坦表示，其他人也具有和他一样的创造力，只是他采取的方法和别人略有不同，我们自然认为他只是说说而已。我们会认为，这位可怜的老人也不知道自己说的是什么意思，更糟糕的是：他在假谦虚，这么说只是为了炫耀。

问题在于，如果不认真对待爱因斯坦的这句话，我们就失去了进一步探讨的机会。毕竟，这句话的确值得深入探讨。

客观来看，爱因斯坦的这句话确实耐人寻味，却缺乏实质性的解释。假设这句话是正确的，我们应该怎么理解它？它对我们有什么用？如果没有进一步的详细说明或实际建议，我们就很难知道从中汲取什么经验教训。

可令人惊讶的是，竟然没人有勇气问他：“阿尔伯特，你说的话很有意思，我还想多了解一些。你能给我解释一下吗？我想知道这些秘密的细节，了解你究竟是怎么做到的。不如来喝杯咖啡吧！或者一起去森林里散个步怎么样？我们聊一聊吧，我有很多问题要问你……”

我们首先想问几个最“无聊”的问题。

1. 爱因斯坦的好奇心从何而来？

有的人好奇心旺盛，整天闭门不出，专注于思考理论物理问题——我认识的这类人不多，但仅有的这几个人都声称，他们之所以甘愿待在房间里潜心研究理论物理问题，当然是出于对科学的追求，但更重要的是，他们能从中获得真正的乐趣。

于是这个问题就变成了：爱因斯坦是怎么从物理学中发现乐趣的？

2. 爱因斯坦如何做到不气馁？

拥有旺盛的好奇心，意味着坚定不移、持之以恒地对事物保持兴趣。显然，爱因斯坦找到了一个秘诀，让他能够坚持做别人会放弃的事情。这个秘诀是什么？

我在高等数学的研究中领悟到：如果为了解决难题而闭门不出，最后就只想逃离。

面对真正的困难，挑战智力的极限，陷入困境挣扎数月，感觉自己太笨，无法理解问题，却不知如何脱身，这样的感受实在太可怕了。

爱因斯坦找到了一种克服恐惧、避免逃离的方法。这个方法是什么？

3. 当爱因斯坦被困在房间里，面对一个难题时，会发生什么？

换句话说：爱因斯坦是怎么对待难题的？他从哪里入手？他如何尽其所能来解决问题？

这些问题的表述看起来平平无奇，甚至有些愚蠢，但我们想了解的正是那些有趣的细节，比如爱因斯坦的大脑里实际上在想什么。我们想知道，他究竟是怎么做的。我们还想了解爱因斯坦的技巧——他所向披靡的秘密武器。

人们相信，智力和创造力不仅关乎你付出了多少努力，而且还关乎另一种魔法药水般的神秘之物，它从未在学校被教授过。

古话说得好：“授人以鱼，不如授人以渔。”要是爱因斯坦把做出重大科学发现的方法传授给我们，那他对人类的贡献可要远远超过他在物理学领域的成就了。

然而，这样的对话从未发生过，也永远不会发生了。爱因斯坦于1955 年 4 月 18 日在美国普林斯顿大学医学中心逝世。进行尸检的医生出于好奇，想要发现爱因斯坦的秘密，于是他未经爱因斯坦家人同意，就取出了爱因斯坦的大脑，切成数千片——却没有任何重大发现。

02

方法

这个话题持续了几个世纪，远远超出了讨论爱因斯坦的范围。它关乎我们的信念、对智力和创造力的误解，以及这些信念和误解所造成的局限。

要理解爱因斯坦的成就，主要困难在于理解数学形式。爱因斯坦本人也遇到过这样的问题，他曾对一个向他寻求建议的中学生坦承：“别担心你在数学上遇到的困难，我向你保证，我遇到的困难比你的更大。”

400 年前，当时最伟大的数学家勒内·笛卡儿在他那本日后家喻户晓的书（《谈谈方法》）中回顾了自己的一生。他在前几页中就传达了非常明确的信息，总结如下：“我并不比别人更聪明。我只是很幸运地发现了一个神奇的方法，让我变得比别人更强大。我会告诉你们我是怎么做的。”

我们不愿把爱因斯坦的话放在心上，出于同样的心情，我们也不愿听这位数学家说的话，更不想把这本书放在它本该在的品类里——个人成长。

成为大数学家的办法并不存在，就像不存在每天在家工作两小时就能“暴富”的方法一样，这是人们的共识。即便笛卡儿告诉我们的观点与此恰恰相反，这也不重要。

03

三个误解

我们将在第 14 章再次讨论《谈谈方法》这本书，但要想理解爱因斯坦和笛卡儿的深意，我们就必须先摆脱对数学的以下三个误解。

1.研究数学，就必须进行逻辑思考。

2.有些人天生对数字游刃有余，还有些人生来就有良好的几何直觉。可惜的是，绝大多数人对数学一无所知，无能为力。

3.伟大数学家的大脑结构天生就和我们普通人的不一样。

关于第一条误解，我们不妨明确指出：真正的数学家并不进行大量的逻辑思考。严格来说，“逻辑思考”是根本不可能的。逻辑对于思考毫无帮助，但我们将在后文中讲到，它另有用处。

第二条误解最害人不浅。我们被它禁锢，屈服于命运。它成功地让世界上大部分人相信，数学是一片陌生而危险的疆域。对我们每个人来说，包括最有天赋的人在内，这条误解都设下了一条不可逾越的界限——每个人“天生”具备的数学直觉水平。

第三条误解与前一条本质相同，只是一个简单的变体罢了：想成为爱因斯坦或者笛卡儿，只能生来如此，我们不可能后天成长为他们那样的人。如果爱因斯坦和笛卡儿说事实并非如此，那他们只是在取笑我们。

这些认为我们无法“变成”数学高手的看法是错误的，但它建立在一个本质真理之上：数学的魔力不是逻辑，而是直觉。

04

构建直觉

爱因斯坦经常谈到直觉在他的发现中多么重要。他郑重地说道：“我相信直觉与灵感。”数学家很清楚，有两种不同的数学。我们可以在数学教科书中找到“官方数学”，它的逻辑和结构十分严密，是一种基于晦涩符号的深奥语言。

而“秘密数学”，也就是数学直觉，则存在于数学家的大脑中。它由心理表征和抽象感觉（通常是视觉的）组成，在数学家看来，这些都是显而易见的，他们能从中获得乐趣。但要和他人分享这种不言而喻的感觉时，他们就有些无所适从了。这些东西突然变得没那么显而易见了。

数学家为了记录自己的想法，不得不发明深奥的语言和晦涩的符号，就像音乐家不得不发明复杂的记谱法来记录自己的作品一样。只不过，音乐家具有得天独厚的优势：他们只需演奏音乐，听众用不着破译乐谱，马上就能听出来乐曲是什么样的。

但数学家不能这样，这正是问题所在。在他们的头脑里，想法是明亮、简单、强大的；可一写到纸上，就变得枯燥而乏味。他们受到“诅咒”，只能在自己的脑海中把玩数学。

如果只教孩子们读莫扎特或迈克尔·杰克逊的乐谱，却不给他们听任何音乐，那么音乐也会像数学一样被厌恶。

直觉是数学的灵魂所在。如果没有直觉，数学就毫无意义。但我们不能因此认为，如果对数学一无所知，就没有改变的可能了。我们的数学直觉是不变的既定事实，是不可逾越的极限——这么想是错的。我们对数学对象的直觉不是与生俱来的，也不是一成不变的。只要遵循正确的方法，我们就能建立这种直觉，让它不断发展壮大。

数学家非常清楚，书本中的“官方数学”不能说明全部问题。他们深知，真正的课题是理解书本中的数学，并能够看到它、感受它。

因此，他们每天都在培养自己的直觉，让它更丰富、更清晰、更强大。他们的杰作和终身成就不是出版的著作和正式成果，而是直觉。

去看、去感受、去真正理解那些 99.999 9% 的人认为抽象、无法理解的事物，直到它们在自己眼中不言自明，这是一门非凡的艺术，是数学家的伟大艺术，也是他们的巨大秘密。只有掌握了这门艺术的人，才知道它会把我们引领到哪里去。

但他们是如何做到的？这就是本书的主题。

05

数学家的三个秘密

第一，数学实践是一项体育活动。要理解还未理解的东西，你需要在头脑中进行无声、无形但必不可少的活动，以便增强直觉，培养更深刻、更强大的新的心理表征。这项活动会让我们更强大、更充实。学习数学，就是学习利用自己的身体，就像学习走路、游泳、跳舞或骑自行车一样。这些技能并不是与生俱来的，但我们都有能力来学习它们。

第二，擅长数学，有方法可言。但学校里很少教这种方法。而且，它和学校里教的学习方法几乎没有任何共同之处，它背离了传统教育的原则。这种方法追求把事情简化，而非复杂化。我们可以把它比作攀岩、武术、瑜伽或是冥想。这种方法教我们克服恐惧，战胜面对未知事物想要退缩的本能，在失败中找到乐趣，还可以更新我们的直觉。

因此，它不仅是使人擅长数学的方法，也是让人变聪明的方法。

第三，大数学家的大脑和我们的大脑并无二致。正如各种体育活动的天赋一样，数学天赋在个体间的分布可能并不均衡。但这些生理差异所起的作用，远没有人们预想的那么重要。

由于不同人的数学能力差异极为悬殊，远超生理差异的范围，因此生理差异的假设站不住脚。当然，有些人天生拥有更高效、更快速、更强大的神经元代谢，这能将他们的数学能力提高一倍。但掌握正确的方法、形成正确的思维习惯、采取正确的心态，能让你的数学能力提高无数倍。

对于这种数学能力在人群中分布不公平的荒谬现象，有一个更简单、更可信的解释：没人真正教过我们擅长数学的方法。我们只能听天由命，偶然发现这种方法的零星碎片。但人们通常什么都发现不了，因为这种方法的某些要点令人震惊且颠覆直觉，我们一不小心就会失之交臂。

大数学家的大脑与我们的大脑没什么不同。但他们的个人经历，以及体验世界的方式，使他们从小就有机会熟悉这种方法。也许，他们在偶然之间无意中找到了这种方法，纯靠运气。

06

一个传说

许多数学研究人员都谈到过自己自学成才的感受。这种印象与数学在学校教育中所占的重要地位，是有些矛盾的。

他们确实在学校里学到了不少东西，从这一点来说，他们算不上自学成才。但最重要的东西，他们不是在学校里学到的，从这个意义上来说，他们的确是自学成才。

我也是这些自相矛盾的自学成才者之一。我在学校里学习了“官方数学”的基础知识。同时，在没有人教我的情况下，我发现了“秘密数学”的雏形。

长久以来，我都没有意识到在脑海里看不见的活动、以这种特殊方式发挥想象力的习惯，与我的数学能力之间存在密切关联。

在后文中，我将讲一讲我小时候进行的想象力练习。起初，那只是一个非常简单、天真的游戏。比如，我闭着眼睛在家里走来走去，试着记住家具的位置。这和我在学校学到的东西有什么关系呢？

刚开始的时候，我并不擅长玩这个游戏。我常常会撞到墙上。那时我没有想到，这个游戏与其他难度更高的游戏，会让原本与其他人水平相当的我发展出一种极为强大的几何直觉。这种直觉是我在数学生涯中的秘密武器。我看到了别人从未看到的东西，还能解决别人从未解决的问题。

多年来，我能感受到数学的力量在我的心中尽情生长，我很清楚，我的数学力量不是与生俱来的。我也知道，学校从未教过我这样的思维习惯，并唤醒这种力量。它们是机会和运气的结果。

直到很久以后，经过与其他数学家交谈、阅读著名数学家的自述，我才发现，我的经历绝非独一无二。

除了书本里的官方知识，数学家的秘密也作为传说代代相传，内容不断丰富。没有人敢把这些传说写进书里，因为它们既不严肃，也不够科学，更像是个人成长的主题。

这样的故事应该用简洁易懂的语言来讲述。它与我们所有人有关，无论是否擅长数学，无论年龄大小，也无论你学的是文科还是理科。这个故事会讲到我们的长处和短处、隐藏的才能和可能实现的目标。它还会谈到人类智力、意识与语言。这是我们共享的故事。

数学的冒险是内心的一场冒险，隐秘且无声无息。它也是所有人的冒险，它的真正主题，就是人类。

在四周无人时，数学家终于能说出自己的真实想法了：是的，数学让人害怕，它看上去难以理解，我们觉得自己永远学不会数学。但是，有一种方法让我们能够掌握数学。

《数学觉醒：学会更清晰地思考》

作者：[法]戴维·贝西（David Bessis）

译者：赵晓蕊

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