一文读懂概率论发展简史：从古典概率到测度论框架

从赌局到测度：概率论怎样成为一门数学

人类很早就注意到了随机的现象，掷骰子、抽签、赌博这些都让人意识到：有些结果没法预先确定，却也并非毫无规律。

想要把不确定现象转化为严谨的数学研究对象，并非易事。概率论的出现远晚于几何与代数。赌博等随机现象虽然带来了最初的研究问题，但在相当长一段时间里，人们习惯用命运、天意或是运气解释偶然现象，并未意识到这类现象能够定量计算。

特别需要注意，早期的“概率”一词也不是今天所指的那个概念。

哲学家理查德·杰弗里指出，17 世纪中叶以前，英语词 probable 源于拉丁语 probabilis，主要表示“值得认可”或“可以赞同”。当时，人们说某种观点或行动是 probable，意思并不是“它有多大机会发生”，而是说：一个明智的人在当前处境下，有充分理由持有这种观点，更合理采取某种行动。

法律语境尤其如此。一项命题被认为是 probable，常常是因为证据足够支持它，而不是因为人们计算出了某个发生频率。

后来，赌博问题改变了这种用法。赌徒关心的不是某个判断是否“值得赞同”，而是自己有多大的赢面。要解决这类问题，数学家必须把赌赢的机会拆成明确的可能结果，并比较这些结果的值。

unsetunset卡尔达诺：先把赢面写成比例unsetunset

16 世纪，意大利博物学者吉罗拉莫·卡尔达诺已经提出了有效的处理方式。他把胜率定义为有利结果数与不利结果数之比。

设某个事件有 个有利结果、 个不利结果，那么该事件的胜率为 。如果所有基本结果等可能，人们期望发生事件的概率就是有利结果数占全部可能结果数的比例：

以掷一枚公平骰子为例。掷出偶数为赢，那么有利结果是 ，共有 个；不利结果是 ，也有 个。因此，掷出偶数的胜率为 ，概率为 。

这个想法今天看似简单，却已经抓住了古典概率的基本做法：先列出所有等可能的结果，再计算目标事件所占的份额。

unsetunset费马与帕斯卡：赌局中断后，赌注怎么分unsetunset

概率论作为一门较为明确的数学研究，通常追溯到 1654 年皮埃尔·德·费马与布莱兹·帕斯卡之间的书信往来。

两人讨论的是一个赌博中的分配问题：如果一场比赛尚未结束便被迫中断，赌注应当如何在双方之间公平分配？这个问题不能只看眼下谁领先，还必须考察后续比赛可能出现的各种局面，并据此比较双方各自的获胜机会。

这一步很关键。数学家不再只记录已经发生的结果，而是开始系统分析尚未发生的可能性。

1657 年，克里斯蒂安·惠更斯发表了这一主题已知最早的科学阐述之一。此后，雅各布·伯努利的遗作《猜想术》，以及亚伯拉罕·棣莫弗的《机遇论》，推动概率研究逐步成为数学的一个分支。

unsetunset观测并不一致，误差是否也有规律unsetunset

概率论很快离开赌桌，进入了测量与观测更多的领域。

天文学家多次测量同一颗星的位置，测绘人员反复测定同一段距离，实验者重复读取同一台仪器，通常都会得到略有不同的结果。这些差别就是观测误差。问题是：误差只是无规律的扰动，还是也能用数学描述？

误差理论研究的正是这个问题。它不只关注某一次观测偏离真值多少，还要研究：在大量观测中，不同大小、不同方向的误差分别会以怎样的频率出现。

误差理论的早期线索可以追溯至罗杰·科茨的遗作《杂记》。1755 年，托马斯·辛普森撰写了一篇论文，并于 1756 年印行；这篇论文首次把误差理论用于讨论观测误差。论文在 1757 年重印时，提出了两项基本假设：正误差与负误差出现的概率相等；误差的范围受到某个确定界限的约束。

辛普森还讨论了连续型误差。所谓连续型误差，是指误差可以在某个区间内取任意实数值，而非只能取有限个离散数值。辛普森同时给出了概率曲线的描述。

unsetunset拉普拉斯与误差定律unsetunset

最早提出的两条误差定律都来自皮埃尔-西蒙·拉普拉斯。

1774 年，拉普拉斯提出第一条误差定律：如果不考虑误差的正负号，误差出现的频率可以表示为误差数值大小的指数衰减函数(形如 )。误差越大，出现的频率越低。

1778 年，拉普拉斯提出第二条误差定律：误差出现的频率是误差平方的指数函数。与第一条定律相比，这里决定频率变化的是 ，而不是误差的绝对值 。

第二条误差定律就是后来所谓的正态分布，也称高斯定律。从历史顺序看，把这条定律完全归于高斯并不准确：拉普拉斯在 1778 年已经提出这一形式，而高斯当时只有两岁。高斯虽然以早慧闻名，但显然不可能在两岁之前完成这项发现。

同在 1778 年，丹尼尔·伯努利提出了极大似然的思想：对于一组观测误差，应当使这些误差概率的乘积达到最大。这个原则把误差问题转化为一个优化问题：在若干可能的误差安排中，选择联合概率最大的那一种。

unsetunset最小二乘法与正态曲线unsetunset

1805 年，阿德里安-马里·勒让德提出最小二乘法，并在《确定彗星轨道的新方法》中首次发表。

最小二乘法要求选择一组参数，使预测值与观测值之间各个残差的平方和最小。设残差为 ，最小二乘法所要最小化的量是

平方使正误差和负误差不会相互抵消，也会对较大的偏差施加更大的权重。

1808 年，爱尔兰裔美国学者罗伯特·阿德里安在不知道勒让德成果的情况下，首次推导出误差概率定律：

其中， 表示误差为 时的概率密度； 是取决于观测精度的常数； 是比例因子，用来保证整条曲线下方的面积等于 。

这个公式说明，误差越接近 ，概率密度越大；随着 增大，概率密度按 的指数形式下降。于是，较小误差更常见，较大误差则较少出现。

阿德里安给出了两种证明，其中第二种在本质上与约翰·赫歇尔于 1850 年给出的证明相同。高斯在 1809 年给出了欧洲本土已知的首个证明；如果将阿德里安 1808 年的证明计入，高斯的证明在历史上则是第三个。

此后，拉普拉斯、高斯、贝塞尔以及德·摩根等多位数学家与天文学家相继给出了不同维度的严格证明，进一步巩固了正态分布在误差理论中的核心地位。1856 年，彼得斯（C. A. F. Peters）提出的单次观测或然误差计算公式，也在工程测量中得到了广泛应用。

unsetunset从概率通论到随机过程unsetunset

进入 19 世纪，随着社会学、天文学与物理学的快速发展，在拉普拉斯、阿道夫·凯特莱、理查德·戴德金以及卡尔·皮尔逊等人的研究下，概率论不断完善，逐步成为一套通用的科学分析工具。

奥古斯塔斯·德·摩根与乔治·布尔则进一步完善了概率理论的表述体系。

1906 年，安德烈·马尔可夫提出马尔可夫链。马尔可夫链描述一类随机过程：系统下一时刻的状态只依赖当前状态，而不依赖更早的历史。这一概念后来在随机过程理论及其应用中占据重要位置。

1931 年，安德烈·柯尔莫哥洛夫建立了以测度论为基础的现代概率论体系。测度论提供了一种严格处理大小的方法：长度、面积、体积都可以视为测度。柯尔莫哥洛夫将概率定义为满足相应公理的测度，使离散事件、连续变量以及无限多个随机事件能够纳入同一框架。

从卡尔达诺计算赌局中的胜率，到柯尔莫哥洛夫用测度论建立公理体系，概率论经历的并非只是公式越来越复杂的过程。数学家逐渐学会用精准的数学语言处理不确定性：赌博中的输赢、观测中的误差、连续变量的波动以及随时间演化的随机系统，都能够成为严格研究对象的。

参考资料：维基百科(Probability_History)

来源：遇见数学

编辑：韶音

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