上海
“泊松复合决策问题再探”
The Poisson Compound Decision Problem Revisited
https://repository.upenn.edu/server/api/core/bitstreams/e0868a39-d015-4e36-b120-c1e71898508e/content
摘要：
对于均值可能各异的独立泊松随机变量向量的复合决策问题，已有半个世纪历史的经典解法。然而，经典解法似乎需要进行平滑调整。本文讨论了三种此类调整。我们还提出了另一种方法，该方法首先将问题转化为正态复合决策问题。模拟研究表明，这些程序在提升性能方面优于经典程序。文中还提供了一个真实数据示例。这些程序依赖于一个平滑参数，该参数可通过一个非标准的交叉验证步骤进行选择，该步骤本身具有独立的研究价值。最后，我们提及了一些渐近结果。
1. 引言
经验贝叶斯（EB）是处理复合决策问题的一种通用方法。它由Robbins提出（参见1951，1955）；综述性论文可参见Copas（1969）和Zhang（2003）。经验贝叶斯方法相较于更经典的方法（例如最大似然估计）所取得的改进，在高维数据推断中尤为显著。因此，近年来经验贝叶斯方法变得尤为重要；例如，可参见Efron（2003）中对经验贝叶斯应用及其重要性的热情倡导。
2. 调整经典泊松经验贝叶斯估计量
2.1. 步骤一
2.3. 步骤三
2.4. 讨论
3. 将数据转换为正态分布
类似正态问题的经验贝叶斯方法也已被研究了很长时间。参见Brown和Greenshtein（2009）以及Wenhua和Zhang（2009）最近的论文及其参考文献。泊松问题及其(4)式的推导更为简单，并且是Robbins在很早的阶段就得到的，当时正态经验贝叶斯程序中所使用的密度估计问题尚未被解决。接下来我们将描述如何将正态方法修改应用于泊松问题。
4. 损失函数
5. 模拟
为了比较，我们注意到朴素程序的风险为1500，而该表设定下的贝叶斯风险约为880。
我们的模拟是使用R（2008）软件完成的；如步骤三所述，通过R中的‘isoreg’程序对所有估计量施加单调性。
调整后的Robbins方法相对于变换后的正态方法的一个明显优势是，它对所选平滑参数 h 的稳定性。这在表1中有所体现，在后续的一些表格中更为明显。
最后，在平滑参数 h h的取值范围内，估计风险的标标准误差在实验1中约为3，在实验2-4中约为1，在实验5中约为2.5。
6. 通过交叉验证选择平滑参数
在本节中，我们提出一种非标准的交叉验证方法，并研究其性能。该方法先在泊松背景下进行说明，然后在正态背景下进行说明。同样的基本思路适用于观测值可以被分解的其他情形，例如无限可分实验。关于实验的分解，参见Greenshtein（1996）及其参考文献。
6.1. 数值研究
注意，在实验1中，交叉验证的模拟风险实际上小于对应六个单个平滑参数的所有风险。这种改进可能是模拟的假象而非真实的，我们的模拟速度太慢，无法做出有把握的结论。然而，这种改进可能是真实的，因为交叉验证方法可能会根据实现情况选择不同的“更合适”的平滑参数。
7. 真实数据示例
8. 非参数最大似然估计（NPMLE）
9. Robbins 估计量的渐近性质
原文链接：https://repository.upenn.edu/server/api/core/bitstreams/e0868a39-d015-4e36-b120-c1e71898508e/content
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