监测预警基础61-累积和里的 C1、C2、C3到底有啥区别？打两次补丁？

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这是我们一系列原创技术贴，从易到难，每天学习一点。所有内容均为疾控数据分析、科研论文相关，或者说很多和现在的热门监测预警相关，所以我们这个系列就叫“监测预警基础”。

我们这个系列不强求，宁缺毋滥，不为了发推文而发推文，有实用的，好用的内容了我们再发。

今天是对我们很早之前的一节内容，有网友朋友反馈不是很清楚的点再补充说明一下。

我们之前讲过累计和CUSUM，→

会有这篇→

我们下面这张图基本已经把C1/C2/C3的算法以及核心原理都解释的比较清楚了。

但是还是有一些网友留言反馈说搞不清楚C1、C2、C3到底什么区别？

C1 和 C2 的公式几乎一模一样，就差在基线窗口上，这点差别值得单独立一个方法吗？

C3 为什么只是把三天的 C2 加一加，灵敏度就提高了？

教科书说"敏感性 C3>C2>C1"，这个排序的道理在哪？

这篇推文就把三个方法的改进逻辑讲清楚。

先看 C1 和 C2 共用的核心公式：

报警规则：C_t > h 时发出预警（Excel 里就是"C − h > 0 即报警"）。

这个公式我们在之前的推文里详细拆过，这里只快速回顾它的四个零件：

第一是那个分数：指的是今天比基线高出"几个标准差"——标准化偏差；

第二是−k：为什么减去k，其实就是每天的"宽容额度"，高出 k 个标准差以内的部分视为正常波动，不记账（k 是标准差系数，常取 1~2）；

第三是+C_{t-1}：把今天的"净超标"累加到昨天的账本上——"积少成多"的核心；

第四是max{0, ·}：账本不许为负，没超标就清零重来——疫情回落后自动复位。

一句话：每天把超标 kσ 以上的部分记到账本上，攒过 h 就报警，没攒下就清零。那么 C1、C2、C3 的区别在哪？不在骨架，在两个具体设计上：基线怎么取、累积怎么累。

C1是紧挨着的过去 7 天，今天和"最近一周的平均水平"比。

优点是基线离当前最近，能跟上近期水平变化，反应最快。致命弱点是基线会被疫情"拖下水"。

怎么理解这个缺点？

设某病平时每天 10 例左右，疫情从周一开始悄悄抬头：周一发病 14 例，偏高但没攒过阈值，C1 没报警——第一天漏检了；周二算基线时，周一的 14 例已经进了"过去 7 天"的窗口，基线均值被抬高、标准差被拉大，报警门槛随之升高；周二发病 15 例，比昨天还多，可面对的尺子已经变松了——又漏检；周三、周四……疫情数据一天天卷进基线，基线一天天被抬高，越到后面越难报警。

这就是基线污染：暴发的数据混进了"正常水平"的估计里，等于让嫌疑人自己当裁判。C1 第一天没抓住，后面基本就抓不住了。

C2 只改一个地方：基线窗口整体往前挪 2 天。

比如第10天，用的均值和标准差就是第1天-第7天的，第10天和第7天隔了2天，也就是所谓的C2计算公式：当前CUSUM值=MAX,{0，【（日病例数-间隔两天前的7日移动均值）/间隔两天前7日移动标准差】-标准差系数K+上一天CUSUM值}

这空出来的 2 天就是隔离带（guard band），可是大家有没有想过为什么隔 2 天就能保护基线？

再用上面的例子：周一发病升到 14 例，C2 也没报警。但周二不一样了：周二的基线用的是上周日往前数 7 天的数据——周一的 14 例被隔离带挡在窗外，基线还是干净的 10 例。周二发病 15 例，面对的门槛没被抬高，检出机会和周一完全一样。周三同理，周一、周二的数据还"关"在隔离带里，进不了基线。

打个比方：C1 是"边发烧边把发烧的读数记进正常体温范围"；C2 是"最近两天的读数先不算数"。隔离带相当于医学观察期——等数据"过了观察期"，才允许它参与基线估计。

为什么偏偏是 2 天？ 太短挡不住暴发头两天的数据渗入；太长基线又太陈旧、跟不上季节变化。2 天是实战中折中的结果：刚好护住疫情最需要被发现的头 48~72 小时。

代价：基线离当前远了 2 天，时效性略差。正常时期 C2 和 C1 表现几乎一样，C2 的优势全部体现在持续抬升期——第一天漏检后，第二、三天的检出能力不受影响。

至此，C1 → C2 的第一个补丁打完：防基线污染，但还有个遗留问题没解决。

注意 CUSUM 公式里的 max{0, ·}：它保证了"账本不为负"，但也带来一个副作用——累积很容易被清零打断。

想象这种情况：连续几天每天都小幅超标，账本好不容易攒到 1.8（阈值 h=2，就差一点）；中间夹了一天正常偏低，max{0, ·} 一发挥作用，账本直接归零；后面再抬头，又得从头攒。"就差一点"的证据被一天正常波动抹掉了。 对于渐进式、波浪式抬头的疫情（高几天、歇一天、再高几天），这种清零会让 C2 反复"功亏一篑"。

这就是 C3 要打的第二个补丁。

C3 的做法简单到一句话：

当天及之前 2 天，共 3 个 C2 值直接相加，超过阈值 h 就报警。没有新零件、没有新机制——那为什么这样就更灵敏？

关键理解：C3 是"累积的再累积"

注意，这里的 C2 本身已经是累积值了（每天都有 +C_{t-1} 的递推）。C3 把三天的累积值再相加，相当于双重累积：

第一层（C2 内部）：今天的超标 + 昨天以前的存量；

第二层（C3）：今天、昨天、前天三个时点的账本再叠加。

达到的效果是：某一天被清零打断的损失，由前后两天的账本"接力"补上。昨天攒到 1.8 被清零？没关系，前天账本的 1.2 和今天新攒的 0.9 还在，三天相加 1.2+1.8（清零前留下的痕迹通过 C2_{t-2}、C2_{t-1} 保留）……即使某一天归零，只要三天窗口里攒下的总量够，C3 照样过线。

比如下表数据例子，假设h=2

看第 5 天：C2 从头到尾没有一天够着 2 的报警线（第 3 天还被清零打断了一次），但 C3 把三天窗口里的"零零碎碎的嫌疑"全攒起来，第 5 天过了线。

这就是敏感性 C3 > C2 的机理：C2 要求"一条不间断的累积链"攒够 h；C3 只要求"三天窗口内几条断链加起来"够 h——显然后者容易得多。清零机制带来的"漏检缝隙"，被三天窗口的冗余设计填上了。

当然，这也是有代价的：

第一，误报更多：正常时期三天的小波动叠加，也可能凑过阈值；

第二，惯性更大：疫情回落后，C2 一两天就清零复位，C3 因为带着前两天的存量，降下来要慢 2~3 天——报警解除也滞后；

第三，阈值要配套：C3 是三个非负数相加，数值天然比 C2 大，用同一个 h 时 C3 天然更敏感（这正是设计意图），但调参时要意识到这一点。

我们最后再用表格总结比较一下

编辑：普通疾控人 | 审核：诗酒趁年华

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