贝叶斯多组函数因子模型与参数扩展累积收缩先验

贝叶斯多组函数因子模型与参数扩展累积收缩先验

Bayesian multi-group functional factor models with parameter-expanded cumulative shrinkage priors

https://link.springer.com/article/10.1007/s10260-026-00861-0

摘要

函数型数据由在连续域（如时间、空间或波长）上观测到的轨迹组成。在此，我们考虑在不同受试者组上观测到的曲线，并提出一个贝叶斯多组函数因子分析框架，该框架通过显式分解为组特定均值函数和潜在成分来联合建模数据，这些潜在成分捕捉各组之间共同和不同的潜在结构。我们将这些函数型成分表示为共同一组 B 样条基的线性组合，从而实现潜在因子的低秩表示。我们进一步对因子载荷施加参数扩展累积收缩过程先验，这诱导递增收缩并自动选择活跃的共享因子和组特定因子的数量。我们通过模拟研究评估模型的性能，并表明该模型在各种情景下能准确恢复潜在因子的数量，并有效区分由共享与组特定复杂结构驱动的函数型观测变异。对于真实数据分析，我们将该模型应用于酒精成瘾者和健康受试者的 EEG 数据，并识别出捕捉 EEG 曲线典型特征成分的共享潜在因子，以及揭示特定神经活动模式的组特定因子。

关键词：函数型数据 · 累积收缩过程先验 · 多组建模 · 贝叶斯潜在因子模型 · 事件相关电位。

1 引言

函数型数据由在连续域（如时间、空间或波长）上观测到的轨迹组成，并且自然地被建模为函数空间中的无限维对象（Ramsay and Silverman 2005）。这类数据出现在广泛的科学领域中，包括神经科学、公共卫生、化学计量学和计量经济学等。在许多现代研究中，函数型数据是在多个相关研究、站点、实验组或条件中收集的。例如，在本文的应用中，我们考虑来自一项神经科学研究的数据，该研究涉及在酒精成瘾者和健康对照者身上测量的脑电图（EEG）数据。

由于函数型数据本质上是无限维的，降维对于有效的建模和分析至关重要。一种广泛使用的方法是函数型主成分分析（fPCA），它将平滑轨迹投影到一组有限的规范正交特征函数上，从而产生函数型主成分（fPC）得分，作为数据的简约表示。早期的理论发展集中在完全观测的函数型数据上（Dauxois et al. 1982），并扩展到密集和稀疏观测的轨迹（Castro et al. 1986; Shi et al. 1996）。在经典设定之外，fPCA 已被推广到更复杂的数据结构，包括用于分层函数型数据中受试者内和受试者间变异的多层方法（Di et al. 2009）、用于多个时间点的纵向分析（Greven et al. 2011）、用于具有空间和时间依赖性的数据的时空 fPCA（Krzyśko et al. 2024），以及用于多组函数型数据的滤波共同 fPCA，以分离共享和组特定变异（Jiao et al. 2024）。贝叶斯方法通过容纳分层结构、先验设定和直接的不确定性量化，提供了一种扩展这些模型的自然方式（Crainiceanu and Goldsmith 2010）。Suarez and Ghosal (2017) 提出了一种贝叶斯 fPCA，它通过近似谱分解对协方差函数进行建模。每个特征函数被表示为有限一组基函数的线性组合，其中成分数量和基函数数量被联合选择以保证可解释性。Shamshoian et al. (2022) 进一步扩展了该框架以处理纵向和多维函数型数据，而 Margaritella et al. (2021) 引入了一种贝叶斯非参数模型，用于对 fPC 得分进行聚类以捕捉时空大脑模式。

贝叶斯 fPCA 可以自然地表述为潜在因子模型，并在因子成分上使用贝叶斯非参数先验。这种表述允许计算上方便的估计以及对模型成分的直接推断。Montagna et al. (2012) 提出了一种用于函数型数据的贝叶斯潜在因子回归模型，其中每个受试者的曲线被表示为基函数的线性组合，并且对基展开的系数施加潜在因子模型。作者在因子载荷上采用了 Bhattacharya and Dunson (2011) 的乘法伽马过程（MGP）先验。这种收缩先验允许许多载荷接近零，从而诱导有效的基选择。Kowal and Canale (2023) 提出了一种半参数函数型因子模型，结合了一种用于秩选择的替代先验构造。具体而言，他们扩展了 Legramanti et al. (2020) 的累积收缩过程（CUSP）先验，该先验对因子载荷矩阵的连续列施加递增收缩以消除冗余因子。Boland et al. (2023) 也将贝叶斯 fPCA 框架视为具有 B 样条基展开的潜在因子模型，并在因子载荷矩阵的方差成分上施加了修改的 MGP 先验，建立在 Montagna et al. (2012); Suarez and Ghosal (2017) 和 Shamshoian et al. (2022) 的方法之上。尽管 MGP 先验被广泛采用，但它们对超参数选择敏感，并且如 Durante (2017) 所示，递增收缩只能在特定的超参数设定下实现。

虽然函数型潜在因子模型对单组数据有效，但它们并非为多组设定而设计，多组设定通常涉及跨组共享的共同模式和组特定变异。用于独立（即非函数型）数据的多研究潜在因子模型，将变异联合分解为共享和研究特定的潜在因子，已由 De Vito et al. (2019) 和 De Vito et al. (2021) 提出。该框架启发了若干旨在增强灵活性和可识别性的扩展。例如，Grabski et al. (2023) 开发了一个框架，使潜在因子能够在任意研究子集之间部分共享，而 Chandra et al. (2025) 提出了子空间因子分析，以减轻共享成分和研究特定成分之间的信息切换。此外，Bortolato and Canale (2026) 研究了用于潜在因子的收缩先验，这些先验能够灵活地捕捉复杂结构，从不存在研究特定因子到在子组内或研究子集之间共享的因子。最近，Mauri et al. (2025) 通过使用谱分解来估计共享和研究特定的残差结构，改进了这些模型的可识别性问题。然而，这些模型不能直接应用于在密集、有序网格上记录的函数型数据。

在本文中，我们将 Boland et al. (2023) 的潜在因子贝叶斯回归模型表述扩展到多组函数型数据。通过将 De Vito et al. (2021) 的潜在因子框架适配到函数型数据，我们通过具有共享和组特定结构的低秩潜在因子分解来建模潜在的函数型轨迹，并以组特定均值函数为中心。共享结构预期捕捉所有组共有的变异，而组特定结构预期揭示组特定的偏差。我们将这些函数型轨迹表示为共同一组三次 B 样条基函数的线性组合，并通过在因子载荷上放置参数扩展累积收缩过程先验来促进模型简约性。这种先验构造对更高索引的成分施加递增收缩，有效地修剪冗余维度。后验推断通过吉布斯采样器进行，并结合一种后处理策略，该策略通过首先在参数空间中对齐后验抽样，然后在协方差空间中识别可解释的载荷结构，来解决可识别性问题。我们通过在各种潜在结构下的模拟研究评估模型的性能，并证明该模型能准确恢复潜在因子的数量，并有效区分共享与组特定变异。我们进一步通过应用于酒精成瘾者和健康受试者的 EEG 数据来展示我们提出的模型的性能，在该应用中，我们识别出捕捉两组受试者共有的 EEG 曲线典型特征成分的共享潜在因子，以及揭示组特定神经活动模式的组特定因子。

本文的其余部分组织如下。第 2 节介绍模型、先验构造以及对后验推断的讨论。第 3 节包含模拟研究和敏感性分析，第 4 节展示我们提出的方法在真实 EEG 数据集上的应用。最后，第 5 节总结全文。

2 方法

以下各节详细介绍了所提出的贝叶斯多组函数因子模型（BMGFFM）的结构。在整篇论文中，我们使用大写字母表示矩阵，使用粗体小写字母表示向量。

2.1 贝叶斯多组函数因子模型

2.2 用于共享和组特定因子载荷的累积收缩过程先验

对于共享因子载荷矩阵 Λ 和组特定因子载荷矩阵 Φ s ，我们建立在 Scheipl et al. (2012) 的参数扩展策略之上，定义了一个累积收缩过程先验 CUSP（Legramanti et al., 2020），该先验鼓励自适应收缩，并允许模型自动选择活跃因子的数量。通过引入辅助参数，所提出的参数扩展累积收缩过程先验更好地处理了后验依赖性，并改善了 MCMC 采样器的混合和收敛。Kowal and Canale (2023) 采用了类似的扩展方法，尽管是在单群体设定中且作为因子的先验，使得收缩正则化了受试者得分的分布，而不是定义函数型结构的潜在轨迹的分布。

2.3 马尔可夫链蒙特卡洛算法

我们采用马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法来从模型参数的后验分布中抽取样本。算法的示意性描述作为算法 1 提供，而完整细节在补充材料中给出。

2.4 后验推断

潜在因子模型的后验推断因众所周知的不确定性（非可识别性）问题而变得复杂，包括对正交旋转、符号切换和因子载荷置换的不变性。此外，在目前的多组设定中，将潜在协方差分解为共享和组特定成分在载荷矩阵层面上并非唯一可识别，因为共享和组特定载荷的不同参数化可以诱导相同的协方差结构（De Vito et al. 2021）。为了解决这些问题，我们采用一种后处理策略，将 (i) 参数空间中的后验抽样对齐与 (ii) 协方差空间中可解释载荷结构的识别分离开来。该过程通过在协方差空间中操作，而不是直接对因子载荷操作，从而产生共享和组特定载荷结构的可识别且可解释的估计。

最后，受 De Vito et al. (2021) 的启发，我们不是直接解释载荷矩阵，而是通过它们诱导的协方差算子来总结共享和组特定结构。具体而言，我们计算共享和组特定成分的后验均值协方差算子为

3 模拟研究

我们进行了一项模拟研究，以评估所提出模型的性能，并将其与替代方法进行比较。

3.1 数据生成

3.4 比较研究

我们将我们的方法 BMGFFM 与 Kowal and Canale (2023) 的半参数函数因子模型（SFFM）、Boland et al. (2023) 的贝叶斯函数 PCA（BFPCA）方法、使用 R 中 fda包（Ramsay et al. 2022）实现的标准 fPCA，以及 Jiao et al. (2024) 的滤波共同主成分分析方法（filt-fPCA）进行比较。最小的 MSE 值以粗体显示。

最后，我们展示了每个情景下，在 100 个复制数据集中，估计和真实解释协方差矩阵之间的 RV 系数。估计值的箱线图报告在图 7 中。同样，在不同情景中，相对性能取决于潜在的潜在结构。在情景 A (3, 2, 2)、A (3, 2, 0) 和 B (3, 0, 0) 中，BMGFFM 和 BFPCA 通常为两组获得最高的 RV 系数，尽管 BMGFFM 存在一些明显的异常值。在这些情景中，filt-fPCA 和 fPCA 通常产生略低的 RV 系数，而 SFFM 往往产生更低的值。然而，在情景 C (0, 2, 2) 中，BFPCA 往往获得最高的 RV 系数。由于在此设定中不存在共享潜在结构，在每个组内单独应用 BFPCA 与数据生成机制更紧密地对齐。

3.5 敏感性分析

4 应用于事件相关电位

对于真实数据分析，我们考虑酒精成瘾者和健康对照者的 EEG 数据，这些数据最初作为 COGA（酒精中毒遗传学合作研究）项目的一部分收集，并可从 UCI 机器学习库获取（Bache and Lichman 2013）。

4.1 EEG 数据

关于实验研究的细节和背景信息可以在 Zhang et al. (1995) 和 Ingber (1997) 中找到。完整数据集包括来自 77 名酒精成瘾者和 45 名对照受试者的 EEG 测量值，然而，受试者 c o 2 a 0000425 和 c o 2 c 0000391 的数据因数据量小而被排除，如 Helwig and Ma (2016) 所指出的。每个受试者暴露于三种不同的实验条件，涉及一个或两个视觉刺激，图像选自 Snodgrass and Vanderwart (1980) 的图片集。EEG 记录从放置在受试者头皮标准位置的 64 个电极获得，采样率为 256 Hz（3.9 毫秒周期），持续 1 秒。如 Qazi et al. (2021) 所指出的，19 个电极与酒精中毒检测和医学诊断特别相关：7 个额叶（FP1, FP2, F8, AF7, AF8, F4, F3），5 个中央区（FC6, FC5, FC2, C3, C4），2 个顶叶（CP2, PZ），2 个枕叶（PO2, PO1），以及 3 个颞叶（T8, CP6, P7）。在我们的分析中，对于每个受试者，我们聚焦于单一刺激的实验条件，并对 19 个电极和可用试验的 EEG 测量值进行平均，以获得平滑的事件相关电位（ERP）信号。我们下面报告的结果是通过考虑从 47ms 到 349ms 的时间窗口获得的，该窗口包含 78 个共同网格点，捕捉了与认知和感知处理相关的关键 ERP 成分。具体而言，该时间窗口包括 N100 和 P200 成分，这些成分在与注意分配和感知相关的 EEG 研究中常被研究（Proverbio et al. 2022; Qazi et al. 2021）。受试者别的 ERP 曲线显示在图 11 的顶部面板中，针对两个受试者组。

5 结论

在本文中，我们提出了一种用于多组函数型数据的贝叶斯因子模型，该模型将数据显式分解为组特定均值函数和捕捉各组之间共同和不同潜在结构的潜在成分。我们的方法使用共同一组三次 B 样条基函数来实现潜在因子函数的低秩表示。通过在因子载荷上放置参数扩展累积收缩过程先验来促进稀疏性，该先验诱导递增收缩，同时允许对活跃的共享和组特定因子的数量进行推断。我们通过吉布斯采样器进行后验推断，并结合一种后处理策略来解决可识别性问题。使用模拟数据，我们证明了所提出的模型在各种情景下准确恢复潜在的潜在因子结构，优于竞争方法。在应用于 EEG 数据时，我们的模型识别出与已知事件相关电位相关的共享大脑响应，以及区分酒精成瘾者和对照受试者的组特定神经动态。

在我们当前的实现中，组特定潜在成分是针对每个组分别建模的，除了共享成分之外，没有在组之间施加额外的依赖结构。除了共享结构之外，组之间没有额外依赖的假设与我们真实的 EEG 应用一致，其中两组对应于酒精成瘾者和对照受试者，观测值来自每组中不同的个体。如果组特定成分之间存在依赖性，估计可能会变得更具挑战性，因为仅部分组共有的变异可能更难与全局共享结构区分开来。未来的工作可以扩展该模型，以容纳在组子集之间共享的因子，如 Grabski et al. (2023) 和 Bortolato and Canale (2026) 中那样。

原文链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s10260-026-00861-0