泛函分析（二）第二讲：凸分析、分离定理与对偶性

导语

集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设。本期课程将在函数空间、Hilbert 空间与对偶空间等基础上，把第一期介绍的泛函分析直观概念，发展为可计算、能证明、有助于阅读和写作人工智能领域论文的研究工具。

作为第二期第二讲，本次课程围绕凸分析、分离定理与对偶性展开。先讲解凸集、凸函数、强凸等概念，阐释凸性赋予优化问题的几何性质，及其对解的存在、唯一与稳定性的作用。介绍 Hahn‑Banach 分离定理，建立其与分类超平面、最大间隔思想的关联。讲解次梯度、凸共轭、强弱对偶，解答最优性证明与问题转换。以核 SVM 为实例串联理论，拓展至 Lasso 等机器学习问题，从几何、分析、算法层面解析凸优化与对偶的核心价值.

分享将于 9 月 22 日（周二）19:30—21:30 进行。

课程简介

现代机器学习中的许多核心问题——从最小二乘、Logistic回归和Lasso，到最大间隔分类与核方法——都可以统一理解为凸优化问题。凸性不仅使目标函数具有清晰的几何结构，还为最优解的存在性、唯一性、稳定性以及算法收敛性提供了理论基础。

本讲以“凸分析、分离定理与对偶性”为主题，围绕三个核心问题展开：什么样的优化问题更容易求解？如何利用线性泛函和超平面区分一个点与一个凸集？如何证明某个解确实是最优解，并把原问题转化为更容易计算的对偶问题？

课程首先介绍凸集、凸函数、上图（epigraph）、严格凸、强凸与指示函数，建立凸优化的几何语言；随后讲解Hahn–Banach分离思想、支撑超平面及弱闭性，说明连续线性泛函如何实现几何分离；在此基础上，引入次梯度、凸共轭、Fenchel–Young不等式、Fenchel–Moreau定理以及强弱对偶，建立非光滑优化与最优性证书的基本框架。

课程最后以核SVM为完整实例，从两类数据凸包的分离出发，依次推导最大间隔模型、拉格朗日对偶、KKT条件、支持向量和核技巧，展示抽象的泛函分析与凸分析如何转化为真正可计算的机器学习算法。相关思想还可以进一步推广到Lasso、支持向量回归、正则化经验风险最小化和一般约束学习问题。

本讲也将说明凸分析的适用边界：深度神经网络的整体训练通常不是凸问题，但凸分析仍广泛用于研究其中的凸子问题、正则化项、最优性条件、局部模型与理论证书。

课程大纲

一、凸集与凸函数

介绍凸集、凸函数与上图，区分普通凸、严格凸与强凸，并通过指示函数说明如何把约束条件写入目标函数。

二、分离定理与支撑超平面

介绍Hahn–Banach分离思想、点与闭凸集的严格分离，以及支撑泛函和支撑超平面，说明线性分类器背后的几何原理。

三、次梯度与凸对偶

利用次梯度处理不可微凸函数，介绍共轭函数、Fenchel–Young不等式、Fenchel–Moreau定理，以及弱对偶与强对偶。

四、核SVM：从理论到算法

从最大间隔原始问题出发，推导拉格朗日对偶与KKT条件，进而说明支持向量和核技巧如何把理论转化为可计算的分类算法。

整节课的主线可以概括为：

凸性：问题结构⟶分离：分类几何⟶对偶：最优证书⟶核方法：可计算算法

主讲老师

贾伊阳，东京都市大学讲师，曾任日本女子大学、成蹊大学助理教授，研究方向涵盖计算复杂性、算法及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》《面向应用的泛函分析》课程讲师。她的讲课风格细致入微、逻辑清晰，声音甜美，是集智社区中备受学员喜爱的人气讲师。

贾伊阳老师近期与耶鲁大学数字伦理中心创始主任、信息哲学家Luciano Floridi展开合作，共同运用范畴论等数学工具，系统探讨人工智能的边界与安全性问题。

双方围绕大语言模型的语义基础、AI系统的形式化建模以及智能体的因果推理等方向，合作发表了多篇学术论文，从数学哲学层面为理解AI的能力边界、幻觉来源与可靠性提供了新的分析框架。

贾老师也将在后续课程中介绍这一系列合作成果，欢迎关注。

面向对象

这门课适合两类人。

一类是从事机器学习、人工智能相关工作的人。你们每天在用的那些模型：正则化、对抗训练、ISTA、Neural ODE、DEQ、Diffusion、FNO、强化学习，背后都站着同一套数学。这门课讲清楚这套数学，学完再看论文里的“紧性”“对偶”“半群”“谱”，就不再是陌生的名词，而是可以拆开、可以计算、可以用到自己的工作里去的工具。

另一类是学数学的人。如果觉得泛函分析是一门由孤立定理构成的基础课，这门课想让你看到它的另一面：这些定理怎样直接解释现代智能系统为什么能收敛、为什么会发散、会在哪里出问题。

建议具备一定的函数、向量与矩阵基础，最好已经接触过第一期的基本框架；如果对机器学习中的常见模型有大致了解，会学得更顺畅。

报名须知

1. 课程形式：线上腾讯会议直播 + 回放2. 课程周期：2026年9月8日起，每周二 19:30-21:30进行，每两周一次课，固定在周二晚 7:30（即隔周二）3. 课程定价：499元

课程链接：https://campus.swarma.org/course/5726?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。

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附赠两副复杂科学知识卡

学员如何获得：

1. 宣传贡献

• 转发活动文案或海报至朋友圈，附上个人推荐语，早鸟价报名集赞满100个、原价报名集赞30个。

• 同一课题组5人组团集体报名。

1. 内容贡献

参与字幕校对或内容整理工作，可使用9900积分兑换相应权益。

历届学员反馈

：贾老师的第一期课程中，为我们介绍了泛函的基本定义，什么是函数空间，介绍了常用的希尔伯特空间，如何用核方法去测量函数（对偶空间）来找到我们需要的原函数，在做泛函的过程中，还讲了很多技术细节，就是怎么测量函数，需要满足哪些要求等等。

通过初步学习和了解，我们理解了物理、机器学习的内部工作原理，理解了诸如无限宽度的神经网络约等于一个核方法，知道了如何从数学思维理解机器学习。

希望在第二期的学习中，更够更加了解到解决前沿高维数学问题的泛函分析思想和方法。

：贾老师讲得很好，从头到尾把一门课讲得这么体系化，非常难得。课程内容扎实，逻辑清晰，听下来收获很大。

如果后续课程深入，我特别期待能听到以下几块内容：变分法与最优化、线性算子理论、三大定理（Hahn-Banach、一致有界性、开映射与闭图像）、谱定理。这些方向非常实用，对我们的研究和应用都会有直接的帮助。

关联课程丨面向应用的泛函分析：空间、算子与结构

第二期默认你熟悉第一期的基本框架——函数空间、范数与完备性、Hilbert 空间的几何、对偶空间。如果你是从机器学习或人工智能直接进入泛函分析，还没有系统地建立这套底子，建议先补上第一期《面向应用的泛函分析：空间、算子与结构》。

第一期回答三个更基本的问题：怎样把形态各异的函数放进同一个框架里谈论；怎样定义“接近”与“收敛”，让逼近和迭代算法有明确的终点；怎样保证求解过程对扰动和噪声始终稳定。它沿着“空间—度量—完备—算子—几何—对偶”这条主线，把最抽象的名词讲成一张可以在科研里导航的地图。第一期已有录播，可在集智学园网站回看。

第二期的每一讲，都站在这些结论上再往前走一步：第一期建立直觉，第二期把这些直觉变成可以写出证明、可以直接用于论文的工具。两期连起来，是从“理解泛函分析”到“用泛函分析做事”的完整路径。