深度长文：那些骗了全世界数学家几十年的几何脑洞，到底有多反常识？

看到"几何"两个字，脑子里蹦出来的多半是啥？

我猜是证明题。

是那种给你一个图形，标上一堆莫名其妙的辅助线，让你证两条边相等、两个角相等，最后还得写一句"证毕"的玩意儿。

再不然就是计算题，给个半径给个角度，让你求阴影部分面积，算到一半还容易漏个什么弓形。

说真的，这些玩意儿把太多人对几何的兴趣给活活掐死了。

但今天我想聊的，是几何里另一脉完全不同的东西。

这一脉不需要你背定理，也不需要你列方程，它甚至不需要你多强的计算能力。它要的就是一件事：你得敢想，敢动手在纸上瞎画，敢拿剪刀剪两刀，敢把一张纸折来折去。

很多时候，答案就藏在你随手瞎试的那两刀里。

更气人的是，这些问题看起来都特别朴素，朴素到你觉得"这还用问？"可你真坐下来想半小时，大概率想不出来。而答案一旦摊开在你眼前，你又会拍大腿：这么简单的事儿我怎么就没想到？

这种感觉，我管它叫"几何式被打脸"。

下面这一堆脑洞，有一些是流传了上百年的老题，有一些是上世纪五六十年代才被人憋出来的，还有一些到今天根本就没解决。

我会尽量按"从简单到离谱"的顺序给你讲，你读的时候手边最好备一张纸一支笔，我讲到哪儿你画到哪儿，不然光靠眼睛看，很多地方你是体会不到那种"还能这样"的快感的。

卧槽

咱们先从最入门的来。

问题一：给你一个等边三角形，能不能把它切成 3 块，三块面积一样大，但形状全都不一样？

你先别急着往下看，自己拿笔在纸上画一个正三角形，琢磨三分钟。

我跟你说，绝大多数人第一反应都是从一个顶点往对边切三条线，把底边三等分。

哎，这一刀下去，三块三角形倒是等面积了，可它们形状也一模一样啊，都是瘦长三角形，完全是复制粘贴出来的，不符合"形状互不相同"这个要求。

那怎么办？

答案其实巧得很。

你先从一个顶点往对边画一条线，这条线与对边的1/3处相交，把整个三角形分成一大一小两块。

然后你盯着那两块里的大块，那块大块本身也是个三角形对吧？

你再从相交点往它自己的对边上切一刀，让这一刀切下去之后，新分出来的那一小块的面积，正好等于整个大三角形的三分之一。

这时候你数数：第一刀分出来的小块是三分之一，第二刀在大块里切出来的又是三分之一，剩下的最后一块也是三分之一。三块面积齐了，可形状呢？一个是小瘦三角，一个是中等三角，最后剩的那块还是个三角形。

形状完全不一样。

就这么简单。

你拿笔算一下就知道，切点的位置是可以精确算出来的，不是瞎切。

但这个思路的关键，根本不是计算，而是你得敢把三角形先切开，再在切开的那一半里继续切。很多人之所以没想到，就是因为默认"三块都得是三角形"，被这个自己脑补出来的条件给卡死了。

你看，几何题里最坑人的，往往不是题目给的条件，而是你自己脑补出来的条件。

好，热身结束，咱们来个稍微带劲一点的。

问题二：一个等腰三角形，能不能一刀切成两个小等腰三角形？

注意，就一刀，切成两块。问你哪种等腰三角形能做到？

你猜答案有几种？

很多人第一反应是那"顶角 90 度"的等腰直角三角形。这个确实行，你从直角那个顶点往斜边切一刀，切成两个小等腰直角三角形，完美。

然后呢？没了？

没了？

错了。数学上一共能找出 4 种这样的等腰三角形。

第二种是顶角 36 度那种。你把它两个底角每个 72 度的角，用其中一个底角的顶点往对边切一刀，切出来一个 36 度的小等腰，剩下的那块也是个等腰三角形，只不过顶角变成 108 度了。你画一下就明白，这就是咱们平时说的"黄金三角形"，五角星里全是它。

第三种更有意思，顶角 108 度。你切一刀之后，出来的两个小等腰，一个顶角 36 度，一个顶角也是 36 度，只不过形状一个胖一个瘦。

第四种最鬼畜，顶角是 180 除以 7 度，也就是大约 25.714 度。你拿计算器按一下，这个数除不尽的。

为什么非得是这个奇奇怪怪的分数？因为你切完之后，三个角之间得凑出一套自洽的等腰关系，列方程解出来就是这个。

当年第一次看见这个答案的时候我愣了半天，合着一个几何切割问题，最后答案居然是个除不尽的分数，这谁猜得到？

所以这个问题真正的教训是："能切"的三角形比你直觉以为的多得多，你的直觉只见过第一种，剩下三种全是在打脸。

接下来这个问题，是我个人最喜欢的一道几何谜题，没有之一。

我第一次读到的时候，整个人是傻掉的。

问题三：给你一个钝角三角形，能不能把它切成若干个小三角形，让每一个小三角形都是锐角三角形？

先解释一下"锐角三角形"，就是三个角全都小于 90 度的三角形。

你可能会说，这有啥难的？我把那个钝角切一刀不就行了？

对，第一步所有人都能想到：你必须从那个钝角顶点往对面切一条线，把钝角劈成两个锐角。不然那个 120 度的钝角还留在那儿，分出来的小三角形里一定还带着它，那就白搭。

好，第一刀切了。然后呢？

绝大多数人切完这一刀，就开始在三角形里面瞎画，画来画去最后都会变成下面这个结局：要么分出一个锐角一个钝角，要么分出两个直角。反正就是没法让所有小三角形全变成锐角。

为什么？

这里有个特别关键、但几乎没人能第一反应意识到的道理：你从钝角顶点引出来的那条线，绝对不能一直画到对面边上就停。

为啥？你想啊，那条线一屁股坐到对面边上，对面边上那个点就被分成两个角。这两个角加起来是 180 度，也就是说它们俩里至少有一个大于等于 90 度。你只要让那条线在边上停住，那个停住的地方就必然带出一个钝角或者直角。

所以这条线不能直接坐到边上，它必须在到达边上之前就"分岔"。

分几岔？

分成两岔行不行？不行。两岔的话，中心点绕一圈才 360 度，你想让这一圈全是锐角，锐角得小于 90 度，四个锐角加起来才够 360 度，所以最少最少得切成四岔。

对，你没听错，那个从钝角引出来的点，必须在三角形内部就掰成四根线，像个奔驰车标那样朝四个方向伸出去。然后你再把那些没连上的点该连的连上，最后就能整出一个全部小三角形都是锐角的分割。

但是！

读到这儿你肯定会说，这不就成了吗？

别急。我前面说的只是一个"思路"，它给你的是一个大概的形状，但那个形状里的每一个小三角形到底是不是真锐角，谁也不敢打包票。这玩意儿跟做菜一个道理，你照着菜谱放了盐，咸不咸你得尝一口才知道。

那有没有一个板上钉钉、能拿尺子量出每个角都小于 90 度的构造？

有。而且这个构造漂亮得不像话。

你先在纸上画一个正五边形。

正五边形每个内角是 108 度，这个你记一下。

然后把正五边形的中心跟五个顶点全连起来，这样正五边形就被分成五个瘦长的等腰三角形，每个的顶角是 72 度，底角是 54 度，全是锐角，没问题。

接下来，把正五边形上面那两条边，朝外面延长，让它们延长之后相交于一点。左右两条边也往外延长，相交于另外一点。这时候你盯着最外面那个大三角形看，它是一个顶角 108 度的等腰钝角三角形。

而它的内部，正好被刚才那个正五边形加五条中心连线，切成了一堆小三角形。你拿角度一算：那些小三角形不是 72 度就是 54 度，要么就是 36 度，没有一个角大于等于 90 度。

搞定了。

一个 108 度的大钝角三角形，就这么被切成了七八个全锐角的小三角形。

这道题最早是 1960 年 3 月刊在美国《数学月刊》上的。

同年 11 月，一个叫 Wallace Manheimer 的中学数学老师给出了一个更狠的证明，他不光证明了"存在这么一个钝角三角形能被切成锐角三角形"，他还证明了任意一个钝角三角形都能这么切，不管那个钝角是 91 度还是 179 度。

任意钝角都行。

我第一次知道这个结论的时候，愣了好一会儿。

因为这玩意儿完全违反直觉：你那个钝角明晃晃地摆在那儿，怎么切切切就全变成锐角了呢？可数学证明就摆在那儿，角度一个一个算给你看，全小于 90 度。

所以这道题真正想告诉你的是：当你怎么切都切不出来的时候，别怀疑题目错了，要怀疑的是你脑补出来的那些"天经地义"的东西。

说完了三角形，咱们来切正方形。

这一段好玩的东西更多。

问题四：一个正方形，能不能切成 9 个小正方形？

这个简单吧？你横竖各画两道，井字切下去，九个一模一样的小正方形。

这谁不会。

但是我要说：给你两种方法。

第一种就是井字切。第

二种你能想出来吗？

大多数人憋半天憋不出来。

其实也简单，你先在大正方形的一个角上，放一个占四分之一面积的小正方形（边长是大的一半），然后把剩下那个 L 形，切成八个大小不一的正方形。

你自己画一下，就明白了。

但这才哪儿到哪儿。有人统计过，正方形切成 9 个小正方形（大小不必相等），一共能有 16 种切法。

16 种。

你第一次听见这个数可能不信，不就切个正方形吗？能有这么多花样？

但你真的去试，就会发现各种奇形怪状的切法层出不穷，有的小正方形东一块西一块，像拼图一样咬在一起，最后还严丝合缝填满大正方形。

好，那我再问一个更狠的问题：

问题五：一个正方形切成 n 个小正方形，n 可以是哪些数？

n = 1 当然行，就是它自己。n = 4 也行，井字切。n = 2 呢？你一刀下去，切成两个长方形，那不是正方形。你斜着切？出来两个三角形。所以 n = 2 不行。

n = 3 呢？你怎么切都不行，自己试试就知道。

n = 5 呢？也不行。

那 n = 6 呢？你先在角上放一个边长一半的正方形，把剩下的 L 形切成五个小正方形——成了。n = 6 可以。

n = 7 呢？可以。n = 8 呢？也可以。n = 9 前面说了，可以。

那 n = 10 呢？n = 11 呢？

这里有个超级聪明的小窍门，我必须跟你讲一下：你随便挑一个小正方形，用一横一竖两条线把它一刀切成 4 个更小的正方形。这一刀下去，总的正方形数发生了什么变化？

原来那个是 1 个，切完变成 4 个，净增加 3 个。

就这一下，把 n = 10、11、12……全解决了。

因为你已经有了 n = 6、7、8 三种基础切法。你在 n = 6 的切法上，随便挑一个小正方形多切一刀，就变成 6 + 3 = 9；再切一刀就是 12；再切一刀就是 15……

同理，n = 7 + 3 = 10、13、16……n = 8 + 3 = 11、14、17……

你看，从 6 开始，所有的整数全被覆盖了。

所以答案是：除了 2、3、5 这三个数，其他所有正整数 n 都能把一个正方形切成 n 个小正方形。

就这么一个"切一刀加 3"的小观察，把整个问题给解决了。数学里很多证明就是这个路数，你以为要枚举无数种情况，其实只要找到一个"步长"，整个序列就全铺开了。

接下来这个问题，名字特别唬人，叫"完美长方形"。

问题六：能不能把一个长方形，切成若干个小正方形，并且这些小正方形的边长全都不一样？

注意，是全都不一样，没有两个正方形是一样大的。

你第一反应可能是：这有啥难的？随便切切不就行了？

你真去切就知道了，这事儿难死个人。

因为那些小正方形咬在一起，它们的边长之间是有严格的数学关系的，相邻正方形的边长差必须严丝合缝，差一毫米都拼不上。

1925 年，一个叫 Zbigniew Moroń 的人，第一次真的拼出来了一个 33 × 32 的长方形，里面塞了 9 个大小完全不同的小正方形。这个结果当时把整个数学界震了一下，原来这玩意儿真存在。

后来人们又证明了一件事：想要小于等于 8 个小正方形就拼出完美长方形，是不可能的。所以 Moroń 找到的这个 9 块的，就是最小的那种。

而且 9 块的还不止一个。除了 33×32 这个，还有一个 69×61 的。到了 10 块的完美长方形，一共有 6 个；11 块的有 22 个；再往上数字就爆炸式增长了。

讲到这儿，有人肯定会问：那正方形呢？能不能把一个正方形切成一堆大小全不同的小正方形？

这个问题在数学界吵了很久，叫"完美正方形"问题。

1938 年，一个叫 Roland Sprague 的人，干了一件特别鸡贼的事儿，他没从零开始拼，而是借用了别人已经拼好的完美长方形，把好几个长方形拼在一起，硬凑出了一个大正方形。这个正方形边长 4205，里面塞了 55 个大小全不同的小正方形。

这是人类历史上第一个完美正方形。

后来人们越拼越厉害，到今天已经证明：完美正方形最少也得 21 块小正方形，不能再少了。而那个唯一的 21 块完美正方形，边长是 112。

你看看，就这么一个"切正方形"的破事儿，前前后后让数学家忙活了快一百年。

聊完正方形，咱们换换口味，切个圆。

问题七：一张圆形的披萨，能不能切成若干块全等的形状，而且其中至少有一块完全不碰到披萨的边？

"全等"就是形状大小一模一样，能完全重合。

你第一反应是切西瓜那种米字切法。每一块都是扇形，每一块都必须顶着圆周，没有一块能躲在中间。

所以这种切法不符合要求。

那怎么办？

答案有点像鱼鳞。

你拿 6 条半径跟披萨一样大的圆弧，在披萨里面画六个"鱼尾"形状的全等图形。然后你再沿着每个鱼尾的对称轴，把每个鱼尾劈成两半。

这一刀下去，整个圆被切成了 12 个全等的小块。你数数看：其中有 6 块是完全待在圆内部的，它们根本不碰圆周，虽然那些形状的顶点会顶到圆心和圆周上的几个点，但严格讲它们内部没有一段圆弧。

满足要求了。

但这个方案有个小瑕疵：那些鱼尾形翻个面才能跟另一半重合，也就是说有些块是"镜像"的。

那能不能所有块都只靠旋转和平移就能重合，不用翻面？

也能。

你把刚才那 12 条鱼尾形，每一个都翻过来摆一下，就得到了一种新的切法。

12 块还是全等的，其中还是有块不碰圆周，但这一次所有块都能在平面上直接滚过去对上，不用翻。

这道题的另一种问法也挺有意思：能不能把圆切成若干等份，让其中有一块连圆心都不包含在它的内部或者边界上？

答案跟刚才一模一样。

因为那个切法本来就是把圆心顶在好几个小块的公共顶点上，所以单看任何一块，它的内部根本不含圆心。

问题八：一个长方形，能不能分成两个形状一样、但大小不一样的多边形？

"形状一样但大小不一样"，数学上叫相似但不全等。

你第一反应是切两个小长方形。这个最简单，一条竖线切下去，两个长方形形状一样，但大小不同。

但题目还有个附加条件：不许切成两个小长方形。

我就知道你会不服。

行不行？

行。而且这道题是 2004 年美国数学奥林匹克的原题。

官方答案是把一个 21 × 10 的长方形，切成两个六边形。小的那个六边形六条边分别是 1、2、4、8、5、10；大的那个对应六条边是 2、4、8、16、10、20。

你看，大的每条边都是小的那条边的两倍。所以这两个六边形形状完全一样，但面积是四倍。拼回去正好填满一个 21×10 的长方形。

这道题真正让人惊掉下巴的，是它的推广结论：对于什么样的正实数 k，你能把一个 1 × k 的长方形切成两个相似但不全等的多边形？

答案是：只要 k 不等于 1，随便什么 k 都行。

也就是说，不管你的长方形是扁是瘦是胖，只要它不是正方形，你都能在里面切出两个形状一样、大小不同的多边形。

只有正方形不行。

因为正方形如果能切成两个相似的多边形，那这两个多边形必然全等，这是数学上严格证明过的。

你看，又是那种"除了某个特殊情况，其他全都行"的结论。

这种结论每次出现我都想笑，数学就是这样，99% 的门都敞开着，只有那一扇写着"正方形"的门死死焊住了。

问题九：两个图形，周长一样，面积也一样，但它们俩长得不一样，这种情况有没有？

有，而且太多了。

比如你先画一个长方形，在它的一条边上鼓出来一个正方形，在对面那条边上凹进去一个同样大小的正方形。

周长没变，面积也没变，但图形已经从一个长方形变成了一个歪歪扭扭的多边形。

这没什么稀奇的。

那如果限定是四边形呢？也有。

这个构造也很多，我就不详细展开更多了。

真正让人惊掉下巴的是三角形。

绝大多数人在初中学全等三角形的时候，老师都会说"周长面积都相等的两个三角形一定全等"。这是错的！错的！错的！重要的事情说三遍。

我给你两个具体的三角形：

三角形 A，三条边是 20、21、29。 三角形 B，三条边是 28、17、25。

先算周长：A 是 20+21+29 = 70。B 是 28+17+25 = 70。周长一样。

再算面积：A 是直角三角形（20²+21²=841=29²），面积是 20×21÷2 = 210。B 也是直角三角形（15²+8²=17²，但 25 是另一个斜边），用海伦公式或者直接拆一下，面积也是 210。

周长都是 70，面积都是 210。

但这两个三角形根本不全等。

我第一次在书上看到这组数的时候，拿计算器按了三遍，不敢相信。你也可以自己拿笔算一遍，这是真的。

所以下次有人跟你说"周长面积都相等的三角形一定全等"，你就把这组数甩他脸上。这就是数学史上著名的"反例"，专治各种想当然。

聊了半天平面几何，咱们抬头看看三维。

三维世界里反常识的东西，一点不比平面少。

问题十：一个边长为 1 的正方体，里面能不能放一个边长大于 1 的正方形？

注意，是正方形，不是正方体。就是一个二维的正方形薄片，斜着塞到这个边长为 1 的正方体内部。

你第一反应是：这还用说？正方体边长才 1，你正方形边长大于 1，斜着放试试看。斜着放，截面是个长方形，最长也就是面对角线 √2 ≈ 1.414，所以理论上能塞。

可你再仔细一想，那个截面是个长方形啊，你要在里面画一个正方形，这个正方形的边长能超过 1 吗？

很多人卡在这里，最后得出结论：不可能，最大也就是 1。

错了。

真实答案是：能塞，而且最大边长能到大约 1.06066……

也就是 √(2 + √2)/2 这个数。

这个正方形不是平行于正方体任何一个面的，它是歪着切出来的，截面形状是个正六边形那样的东西，正方形就内嵌在这个斜截面里。

这个结论已经够离谱了，但更离谱的是它的一个推论：

如果你有两个完全一样的边长为 1 的正方体，你能不能在其中一个正方体上钻一个洞，让另一个正方体整个从这个洞里穿过去？

你没听错。一个边长为 1 的正方体，身上能开一个洞，让另一个边长也是 1 的正方体从洞里嗖一下穿过去。

方法就是刚才说的，你垂直于那个"边长 1.06 的正方形"所在的平面，在第一个正方体上开一个方洞。这个洞虽然边长比 1 大一点点，但它是个斜着的方洞，正好能让另一个正方体整个滑过去。

一个边长 1 的正方体，能钻个洞让另一个同样大小的正方体穿过去。这事儿你跟没见过的人说，人家一定以为你疯了。

问题十一：给你一个球，球面上选 8 个点连成一个多面体。问：正方体是不是体积最大的？

直觉上，球里面塞东西，越对称体积越大。球里面接一个正方体，应该就是体积最大的那个多面体了吧？

错。

正方体确实对称，但它不是体积最大的。

球内接最大体积的 8 顶点多面体，是另一种歪歪扭扭的形状，叫"四方反棱柱"（square antiprism），你可以想象上下两个正方形，错开 45 度，然后侧面用八个三角形连起来。

这个东西的体积比同球内接的正方体还要大。

这事儿是大数学家波利亚（George Pólya）在《数学的发现》里专门拿出来讲的。他想通过这个例子告诉你一件特别重要的事：

几何里那种"越对称越好"的直觉，并不是永远成立的。

在周长相等的平面图形里，圆面积最大；在表面积相等的立体里，球体积最大；在表面积相等的长方体里，正方体体积最大，这些都是对的。但一到球内接多面体这种问题，"最对称"立刻就不灵了。

波利亚还讲过另一个更反直觉的例子：找一个面积最小的图形，不管怎么把它扔进 1×1 的正方形网格里，它总能至少盖住一个网格交叉点。你第一反应是个圆，对吧？面积 π/2 ≈ 1.57。

但后来数学家发现，真正最小的那个图形，是用两条竖线加两条抛物线围出来的，面积只有 4/3 ≈ 1.33。

比圆小了一大截。

所以"对称就是美"、"对称就是最优"，这种话听听就好，别当真。数学里翻脸不认人的例子多了去了。

问题十二：空间里放四面体，最多能放几个让它们两两接触？

注意，"接触"的意思是两个四面体共享一块面，光一个点或者一条棱顶在一起不算数。

平面上这个问题简单，你在纸上画四个三角形，让它们两两相邻，这个是能做到的。

三维空间呢？

首先，4 个四面体两两接触，这是平面上那个构造直接往上抬：你在平面上画四个两两相邻的三角形当底，然后在平面正上方放一个顶点，把这个顶点跟底下每个三角形的三个顶点连起来，就成了四个四面体。这四个四面体显然两两接触。

那 8 个呢？

能。

方法是你做两组完全一样的这种四个四面体的组合，然后把两组的底面贴在一起，稍微错开一点。这时候你去看：同一组里的两个四面体本来就接触；不同组之间的四面体，因为错开了底面，它们也互相接触了。

8 个就这么凑出来了。

那 9 个呢？

这是个狠问题。1991 年，一个叫 Joseph Zaks 的数学家，写了 100 多页论文，终于证明了：9 个两两接触的四面体，不存在。

最多就是 8 个。

而且这个构造还能往上推广，d 维空间里，你能找到 2 的 d 次方个两两接触的 d 维单纯形。二维是 4 个三角形，三维是 8 个四面体，四维是 16 个……但这是不是"最多"？没人知道。数学家们猜应该就是最多了，但证明不出来。

问题十三：给你 7 支香烟，能不能摆成让每两支香烟都互相接触？

香烟就是全等的圆柱体。

注意，光在一个点上接触也算。

这道题最早是马丁·加德纳在《科学美国人》的专栏里讲的。他那本书叫《Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions》，是无数人的数学启蒙书。

摆 6 支香烟两两接触是经典操作，3 支平摆成一圈，另外 3 支斜着压上去，这个很多人都会。

摆 7 支也能做到。

你自己拿七根笔试试：先三根平行摆成三角形截面，然后另外四根分别架在它们的间隙上。

最后拿俯视图一看，七根笔的圆心正好落在一个六边形加中心的位置上，每两根都顶着。

那能不能摆 8 支？能不能摆更多？

这事儿到今天都没解决。

数学上能证明的、能实际摆出来的全等圆柱体两两接触的最大数目，就是 7。

再多行不行？不知道。

你看，数学不是什么都能给答案的。

很多问题就是摆在那儿，几十年上百年没人动得了。

聊完了正经几何，咱们来聊聊拓扑。

拓扑这东西，你就理解成"橡皮膜几何"，一个东西你可以随便拉伸、挤压、弯曲，但不许撕断、不许粘上。在这种规则下，甜甜圈和咖啡杯是同一个东西，因为你可以把甜甜圈的那个洞慢慢地捏成咖啡杯的把手。

下面这些问题，全是拓扑领域里最经典的"魔术"。

问题十四：左边那幅图的绳子，能不能连续变成右边那幅图的绳子？

这种问题在拓扑学里叫"同痕"。

我直接给你答案：能。

很多人第一反应是"这俩绳圈缠的方式不一样啊，怎么可能互相变过去"。

但拓扑的规矩就是不许剪断，可没说不许把绳子从圈里穿过去。

你只要耐心地把绳子一段一段地往那个松垮的环里穿，最后就能把结给解开。

具体怎么操作？你拿一根耳机线自己试试。

很多这种"看起来解不开"的结，只要你找到那个松的环，一段一段抽，最后就开了。

问题十五：一个有三个洞的立体块，能不能连续变形成一个被挖了三条通道的立方体？（其中一个通道在另一个通道上缠绕了一圈）

注意，那个立方体里的三条通道是互相缠绕着的，像打了个结一样。

答案也是能。

这个变形过程描述起来有点绕，我反着跟你说吧：从那个缠了结的立方体出发，你把第一条通道的两头靠到第二条通道上，沿着第二条通道滑，一头滑到底面，另一头滑到顶面。滑完你就发现，原来那个结自己解开了。然后把通道都拉直，把立方体拍扁捏软，最后就成了那个三个洞的立体块。

你拿一根软管自己比划一下就懂了。

问题十六：三个绳圈套在一起，任何一个都取不出来。但如果你把其中任意一个拿走，剩下两个立刻就散开了。

能不能做出四个这样的绳圈？五个？六个？

这种东西有个专门的名字，叫 Borromean 环（博罗梅安环）。三个环套在一起，谁也拆不开，但抽走任何一个，其他俩就散了。这个图案在意大利博罗梅奥家族的徽章上刻了几百年，所以叫这个名。

那能不能做出 4 个？5 个？

数学上的答案让我当时惊了一下：对于任意正整数 n，这种 n 个绳圈的构造都存在。

4 个、10 个、100 个都行。

怎么构造？有两种通用模式，一种是把环像链条一样串起来但故意让它们互相锁死，另一种是用更复杂的编织方法。反正数学家已经把通用构造搞出来了，你要几个我给你做几个。

这个结果有个特别哲学的味道：三个环的那种"一损俱损"的结构，居然能推广到任意多个环。你说这玩意儿是数学还是社会学？

最后再讲一个我特别喜欢的生活里的拓扑题。

问题十七：一幅画，用绳子挂在两颗钉子上。怎么个挂法，才能让两颗钉子只要拔掉任意一颗，画立刻就掉下来？

你平时挂照片，挂两颗钉子是为了保险，一颗掉了另一颗还能撑着。但现在反过来了：我要的是两颗钉子缺一不可，少一颗就掉。

怎么绕这个绳子？

方法其实就是打一个"拓扑结"。

你把绳子先在第一颗钉子上绕一圈，再在第二颗钉子上绕一圈，然后在第一颗钉子上反方向绕回来，最后在第二颗钉子上反方向绕回去。

你拿耳机线在两根手指上试试。这种绕法的妙处在于：只要拔掉任意一颗钉子，整个绕法就瞬间塌掉，绳子直接从另一颗钉子上滑脱，画"啪"就掉地上。

那三颗钉子呢？四颗呢？

跟刚才的绳圈问题一样，答案是：随便多少颗钉子，这种"缺一不可"的挂法都存在。

方法是递归的：三颗钉子的挂法，你先按两颗钉子的方法绕前两颗，然后在第三颗上反方向绕一下，再按前两颗的反方向绕回来，最后在第三颗上正方向绕一下。这样不管拔掉前三颗里的哪一颗，整个结构都散架。

四颗、五颗、六颗……全用这个递归办法往上加。

你看，拓扑学这东西，听着玄乎，其实全是生活里的事儿。挂照片、系鞋带、打绳结，背后全是数学。

最后这一段，咱们聊几个介于几何和组合数学之间的怪题。

问题十八：一副七巧板，能不能拼出内部有三个洞的图形？

七巧板你小时候肯定玩过，一个正方形切成七块：两个大三角形、一个中三角形、两个小三角形、一个正方形、一个平行四边形。

用这七块拼出带洞的图形，本身就够难了。带一个洞还凑合，带两个洞就已经很变态。

马丁·加德纳当年说，能拼出两个洞的人就已经是高手了。

三个洞？

他自己给出了一个漂亮的构造。

具体长什么样我没法在文字里画出来，但我可以告诉你这个构造的精妙之处：七巧板的七块板，被摆成了一个像回字形一样的结构，中间空出三个互相不连通的小区域。这三个洞彼此之间、跟图形外面，都只有点接触，所以严格算"洞"。

七巧板还有一个更著名的问题：用一副七巧板，能拼出多少种不同的凸多边形？

"凸多边形"就是所有角都朝外鼓、没有凹进去的多边形。

这个问题最早是一个日本数学家提出来的。最后在 1942 年，两个中国人——王福纯和向全启——在《美国数学月刊》上发了一篇论文，证明了：总共能拼出 13 种凸多边形。

其中 1 个三角形、6 个四边形、2 个五边形、4 个六边形。就这 13 种，多一种都拼不出来，少一种都能拼出来。

你要是闲得慌，可以自己买副七巧板，试试把这 13 种全拼出来。

这是个能玩一下午的挑战。

问题十九：平面上拼一个大多边形，让里面每一个小多边形，都恰好跟另外5个小多边形接壤。能不能做到？

3个和4个可以做到：

左：每一个小多边形，都有另外3个小多边形与它“接壤”；在右图当中，对于每一个小多边形，都有另外4个小多边形与它“接壤”

"接壤"的意思是共享一条边，光在顶点上点一下不算。

5个冶能，只是比较复杂。

这个构造不复杂，你自己在纸上画就行。

但下一个问题就狠了：能不能让每个小多边形都跟另外 6 个小多边形接壤？

不能。

数学上严格证明过：不管你怎么画，平面上任何一个由小多边形拼成的大多边形里，至少存在一个小多边形，它最多只能跟其他 5 个接壤。

你永远画不出一个"每个小多边形都跟 6 个接壤"的图。

问题二十一：有没有一种图形，你能用同样的图形把它紧密地围起来，但最多只能围有限圈？

这道题有个专门的名字，叫 Heesch 问题，是德国数学家 Heinrich Heesch 在 1968 年提出来的。

我先解释一下什么叫"紧密地围一圈"。

你拿很多个正六边形，围着中间一个正六边形摆一圈，严丝合缝，没有缝隙。

然后你可以再摆一圈，再摆一圈……永远摆下去，无穷无尽。正六边形这种图形，是能被无限圈下去的。

圆呢？你想用同样的圆紧密围住中间那个圆，一圈都围不满，六个圆围着中间一个圆，中间那个圆和周围圆之间全是大缝。

那有没有一种图形，既能被同样的图形紧密围住，但最多只能围有限圈，围完那几圈之后再也围不下去了？

Heesch 问的就是这个。

最早的例子是 1928 年一个叫 Lietzmann 的人发现的，他画了一个水滴形状的图形。

这种图形能围着自己紧密围一圈，但第二圈怎么摆都会留下两个死角，再也填不上。

后来 Erich Friedman 找到了一个更简单的例子：一个 7×5 的长方形，三条边的中间往外鼓一个小正方形，第四条边的中间往里凹一个小正方形。

你想用同样的图形围住它，摆完一圈就会出现四个死角，第二圈根本无从下手。

1991 年，Fontaine 找到了能围 2 圈的图形。2001 年，Casey Mann 把纪录刷到了 5 圈。

那现在最高纪录就是 5 圈。

下一个自然的问题是：是不是对每一个正整数 n，都存在一种图形能围着自己围 n 圈、但围不了 n+1 圈？如果不是，最大的那个 n 是多少？

不知道。这问题到今天还悬着。

你读完上面这些问题，可能会有一个感觉：这些东西有啥用啊？

切个三角形、切个正方形、挂个画、摆个香烟，跟你的生活有半毛钱关系吗？

确实没有直接关系。你不会因为知道"钝角能切成锐角三角形"就多赚一份工资，也不会因为搞懂了"完美正方形"就房价降一点。

但我之所以喜欢给人讲这些破事，是因为它们能治一种病，对"显而易见"的迷信。

我们平时太容易相信"这不明摆着吗"。

明摆着周长面积相等的三角形一定全等，错了。

明摆着球内接正方体体积最大，错了。 明摆着每个区域列 4 种颜色就一定能染色，错了。 明摆着单位正方体里塞不下边长大于 1 的正方形，错了。 明摆着画框挂两颗钉子是为了保险，可数学告诉你能反过来让两颗钉子缺一就掉。

这些"明摆着"，每一个都被数学家认真地、一丝不苟地、用几页纸的证明给推翻了。

这就是几何最迷人的地方。它不要求你多聪明，也不要求你背多少定理。它要求你只做一件事：在你说出"这不可能"之前，先动手画两笔画。

很多时候，你以为的"不可能"，只是你还没找到那个巧妙的切口而已。

而那些已经被找到切口的人，他们的故事被写在论文里、被收在马丁·加德纳的专栏里、被一代一代的数学爱好者剪剪贴贴传到今天。你读这些故事的时候，感觉不是在读数学，是在读一群人跟自己的直觉死磕的历史。

这群人里有中学老师，有二战后刚毕业的年轻人，有在中国发论文的留学生，有在 1938 年凑出第一个完美正方形的瑞士人，有在 1991 年写 100 页论文证明"9 个四面体不存在"的数学家。

他们干的事儿看起来都挺闲的。但就是这群闲人，把人类的直觉边界一点一点往外推。

你今天读到这里，哪怕只是记住了"钝角三角形居然能切成全锐角三角形"这一个冷知识，下次跟朋友吃饭的时候讲出来，让对方愣三秒，这篇文章就算没白写。

剩下的那些问题，你要是手痒，就找张纸拿支笔自己画着玩。画不出来也没关系，这玩意儿本来就不是用来考你的，是用来让你惊讶一下的。

这个世界上，能让你"惊讶一下"的东西，已经不多了。