微小扰动下的变与不变：矩阵求逆是连续运算吗？

对一个矩阵施加微小的扰动，它的逆矩阵会怎样变化？对于非奇异矩阵，求逆是连续的；而对于奇异矩阵，通常的逆不再存在，广义逆能否连续变化，要看扰动是否保持矩阵的秩。然而，若将目光从单个解转向整个最小二乘解集，我们又会在“变”中发现新的“不变”。

撰文 | 丁玖（广州南方学院数学与统计学院教授）

从“鸡兔同笼”矩阵的微扰说起

假如你刚刚哄睡怀中的婴儿，准备将他放在床上，你会小心翼翼地放在床中央，还是随手放在床边以便更容易再抱起他？

床中央留有余地，稍稍翻动也还安全；到了床边，同样一点动静就可能让婴儿掉下去。矩阵面对微小扰动，也有类似的“安全地带”和“危险边界”。

9月4日，《返朴》刊登了两位物理学家撰写的有趣文章《一个神话版的鸡兔同笼问题，竟蕴含着深刻的前沿物理》。他们以鸡兔的总腿数和总头数经过二阶矩阵求逆“反演”出它们各自的个数作为引子，用先秦典籍《山海经》中的两个角色——九首蛇身相柳和手持干戚的无头刑天的神话故事做铺垫，向读者科普了非厄米物理中处理奇异矩阵的扰动法的基本思路。这自然引出一个普遍的数学问题：矩阵的求逆运算具有连续性吗？进一步问，如果矩阵的通常逆不存在，那么从矩阵到广义逆矩阵的对应关系是连续的运算吗？

就地取材，我们先看看前述《返朴》文章中与鸡兔相关的那个二阶矩阵

从等比数列求和到巴拿赫引理

关于如上非奇异矩阵特例的结论对任何一个非奇异矩阵都成立吗？我们对此的回答依赖于一个关于单位矩阵被扰动后的矩阵可逆性的著名结果，它是矩阵乃至更一般无穷维连续线性算子的扰动理论的基石，以波兰伟大的数学家巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）的名字命名。而走近这个“巴拿赫引理”的最佳路径是高中生学过的等比数列的求和公式。

这在后面的矩阵或线性方程组的扰动分析中有用。

上述引理中表达逆矩阵的矩阵幂级数也称为诺依曼级数，但这个诺依曼并非指的是二十世纪大名鼎鼎的匈牙利裔美国数学家约翰·冯·诺依曼（John von Neumann，1903-1957），而是十九至二十世纪的德国数学家卡尔·诺依曼（Carl Neumann，1832-1925）。这个比前者老了几辈的诺依曼在研究位势理论和狄利克雷问题时，受到几何级数收敛性的启发，在1877年出版的著作中系统阐述了此种类型的无穷级数展开，用于对积分方程的逼近求解。抽象泛函分析理论的主要源头就是积分方程论，后来的泛函分析开创者们认识到诺依曼的具体级数展开法在更抽象的赋范空间层面上依然适用，于是将引理中的抽象级数以诺依曼的名字命名，给了他应有的荣誉。

巴拿赫是泛函分析这门纯数学分支的集大成者，1932年他在华沙出版了开创性的《线性算子的理论》，这部里程碑式的著作系统地为现代泛函分析奠定了基础。书中对无穷维有界算子给出了上述引理，这里仅对以矩阵面貌出现的有穷维线性算子陈述了它。

非奇异矩阵：求逆运算的连续性

巴拿赫引理怎样用来直接处理一般非奇异矩阵的扰动问题呢？只需用到读者在初等线性代数中

奇异矩阵的微扰与广义逆

危险的“边界”：奇异矩阵之集

之前我们温习了开集的概念，现在需要的是另一个概念——子集的边界点。还是只对矩阵集合

与奇异矩阵——朝某些方向跨一小步便回到非奇异矩阵的良田，沿另一些方向跨一小步则仍陷在奇异矩阵的沼泽地里。所以位处边界是危险之举，无论是在生活中，还是在数学上。

微小扰动不会减小矩阵的秩

到目前为止，我们已经得知：（i）非奇异矩阵的小扰动保持矩阵的非奇异性，并且求逆运算是连续的。（ii）奇异矩阵的任意小扰动或保持奇异性，或转化为非奇异性，但当扰动逐渐消失时，非奇异矩阵的逆矩阵不再有极限。这些现象又引出一个问题：矩阵的秩会怎样随扰动变化？

上述定理3的结论，简而言之就是：任何方阵的微小扰动绝不会减小它的秩。其实，这一断言不仅对方块形的矩阵为真，而且对无论是瘦高型的还是矮胖型的长方形矩阵同样成立，只不过本文依照前述文章的做法只考虑方阵罢了。

线性方程组扰动解的误差界

“小扰动只会保持或增加矩阵之秩”这一性质，可以用于探索一般线性方程组的解的误差界。还是先拿上面用过的二阶奇异矩阵（3）提供思想吧。为叙述方便起见，只在实数范围内讨论。

《一个神话版的鸡兔同笼问题，竟蕴含着深刻的前沿物理》的下半部分也讲到了当扰动趋向于0后，相异特征值相聚于一点、线性无关特征向量走向线性相关。这反映在数学上也是有意思的论题。然而，这里不再对奇异矩阵的扰动导致特征值重数变化和对应特征子空间的维数改变进行数学科普的讨论。

致谢：非常感谢既专业又严谨的周舒义编辑改正了文中几个笔误以及改进了几处数学表述，使得推理过程更加严格。

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