量子纠缠是什么？ | 袁岚峰

向大家推荐一家著名的科普杂志，它叫做《科学世界》，由中国科学院科学出版社主办，制作精美，声誉卓著。他们邀我开了一个专栏，从2025年1月开始。下面来介绍我在《科学世界》2026年2月刊的文章，标题是《量子纠缠是什么？》（）。

请问你觉得，量子力学（quantum mechanics）中最著名而最令人迷惑的概念是什么？答案十有八九会是量子纠缠（quantum entanglement）。现在每当人们想表达两个东西之间具有某种神秘的关联，都很可能会说它们之间具有量子纠缠，这俨然成了当代最流行、最有格调的修辞。但如果真正问量子纠缠是什么意思，绝大多数人就一脑门子浆糊了。

在这当中，许多伪科普“功不可没”。很多人听很多所谓科普讲过这些说法：量子纠缠是一种神秘的超时空感应，量子纠缠推翻了相对论，量子纠缠的原理没有人知道，量子纠缠来自高维空间，量子纠缠说明灵魂存在，量子纠缠让我们对世界的认识崩塌了……如此等等，不一而足。

但实际上，这些说法全都是错的！这些说法全都是一知半解、不懂装懂的人搞出来的，故弄玄虚，以讹传讹。

因此，我经常感到对量子纠缠的科普特别重要，也特别难做。最大的困难在于，许多人的脑子里已经塞满了这些错误的说法。这比一张白纸还糟糕。一张白纸你直接告诉他什么是正确的就行了，而被错误塞满的你得首先帮他清除这些错误，然后才能解释什么是正确的。这难度又高了一大截，而且可能还会有很多民科来抬杠。

下面，我们就来正面解释，什么是量子纠缠。我们在前面说过，量子信息（quantum information）中用到的量子力学原理主要有“三大奥义”，量子纠缠就是其中的第三个奥义。

关于量子纠缠，首先需要强调的一个基本点是，它不是个神秘现象，不是个没有人知道原理的现象。其实它的原理十分明确，就是前面说的三大奥义中的前两个：量子叠加和量子测量。

如果你学过这两个原理，你就肯定能理解量子纠缠。而如果你没学过这两个原理，那你当然不可能理解量子纠缠。许多所谓科普的糟糕之处就在于，不解释量子叠加和量子测量，只是用各种玄而又玄的比喻来描述量子纠缠。更糟糕的是，许多比喻还是错误的。这样的比喻越多，只会让人越糊涂。

下面我们来快速地回顾一下量子叠加和量子测量。最快的方式就是用狄拉克符号（Dirac notation），即尖括号|>，来表示量子力学中的状态。

叠加原理说的是：如果两个状态|0>和|1>是一个体系可以取到的状态，那么这两个状态的任意线性叠加即a|0> + b|1>也是这个体系可以取到的状态，其中a和b是两个数，对它们唯一的限制是|a|2 + |b|2 = 1。像|0>和|1>这样的一组基本状态，就叫做一个基组（basis set）。

测量原理说的是：用|0>和|1>这个基组，对a|0> + b|1>这个状态做测量，结果就会以|a|2的概率得到|0>，|b|2的概率得到|1>。

从这两个原理如何推出量子纠缠呢？这里的关键在于：叠加原理不仅适用于一个粒子，它也适用于多个粒子。当对多粒子体系使用叠加原理时，就很自然地会出现量子纠缠现象。下面，我们来解读一下。

打个比方，我们把一个粒子比喻为一朵玫瑰，它有两个基本状态，分别称为红玫瑰与白玫瑰，红和白就对应我们前面经常举的0和1。然后，扩展到一个由两朵玫瑰组成的体系。请问它的状态该如何表示呢？

在日常熟悉的即经典力学（classical mechanics）的世界中，这很简单，就是分别描述两朵玫瑰处于什么颜色。它总共有四种可能的状态，即两者都红，两者都白，一号红二号白以及一号白二号红。后面，我们把这四个状态简称为红红、白白、红白和白红。

但需要注意，量子力学的做法不是这样。在量子力学中，刚才那四个状态其实只是四个基本状态，它们构成一个基组。而双粒子体系的一般状态，是这四个基本状态的线性叠加！也就是说，一般的状态是

c1|红红> + c2 |白白> + c3 |红白> + c4 |白白>

其中c1、c2、c3、c4是四个数，对它们唯一的限制是它们绝对值的平方和等于1。

一旦你想通了这一点，后面就都是顺理成章的了。我们立刻就可以构造一些特别的双粒子状态，它们具有神奇的性质，而这种性质就叫做量子纠缠。

首先来看这样一个状态，它是|红红>和|白白>的等权重叠加，即

(|红红> + |白白>) / sqrt(2)

对这个态去做测量，我们会得到什么呢？

我们会发现，有一半的概率得到|红红>，一半的概率得到|白白>。对于一号粒子和二号粒子，它们各自的测量值都是不确定的，都是一半红一半白。但真正惊人的是，它们的测量值总是相同的！如果我们测得一号是红玫瑰，那么同时二号也是红玫瑰。如果我们测得一号是白玫瑰，那么同时二号也是白玫瑰。这种关联就叫做量子纠缠。

再来看另一个状态，它是|红白>和|白红>这两个状态的等权重叠加，即

(|红白> + |白红>) / sqrt(2)

对这个态去做测量，就会发现两个粒子的颜色总是相反。如果我们测得一号是红玫瑰，那么同时二号就是白玫瑰。如果我们测得一号是白玫瑰，那么同时二号就是红玫瑰。这种关联同样也叫做量子纠缠。事实上，这两个状态正是量子纠缠的两个非常常见的例子。

了解到这里，就可以解决一个常见的困惑，即量子纠缠究竟意味着相同还是相反。经常有文章说量子纠缠导致两个粒子的状态总是相同，也经常有文章说量子纠缠导致两个粒子的状态总是相反。你也许早就在心里嘀咕：到底是啥？现在你可以明白，其实这两个都是量子纠缠。它们是完全同类型的现象，只是最终表现不同而已。

理解了这些例子，我们就可以对量子纠缠给出一个统一的定义。量子纠缠指的是这样一种现象：在多粒子体系中，单个粒子的测量结果各自都是随机的，但这些随机数之间存在确定的关联。单粒子随机，关联确定，这两个要素缺一不可。具有这样性质的状态，就叫做纠缠态（entangled state）。

根据这个定义，立刻就可以明白，很多体系不存在量子纠缠。例如单粒子体系就没有量子纠缠，因为量子纠缠至少需要两个粒子。（这话其实不是完全正确，因为经过非常精细的考虑，有可能在单个粒子的多个性质之间建立量子纠缠。不过这属于专业人士内部的讨论，在这里就不赘述了。在大部分时候，我们只考虑单个粒子的一个性质，这时量子纠缠自然就需要多个粒子。）

又例如，|红红>、|白白>、|红白>和|白白>这些基本状态也没有量子纠缠，因为它们的单粒子测量结果就是确定的，不满足量子纠缠的第一个条件，即单粒子的测量结果随机。两个确定值之间的关联当然也是确定的，但这就变成一件平凡的事了。

前面这些例子都非常容易理解，不过下面这个例子就有点费思量了。把四个基本状态全都等权重叠加起来，即

(|红红> + |红白> + |白红> + |白白>) /2

请问它有没有量子纠缠？

乍一看，你可能会觉得它也是量子纠缠，因为对它的测量结果是，一号粒子和二号粒子各自都有一半的概率红，一半的概率白。但仔细想想，一号和二号的测量结果之间有关联吗？你会发现答案是没有关联。因为当测得一号是红色时，二号的颜色仍然是一半红一半白；当测得一号是白色时，二号的颜色也仍然是一半红一半白。这两个随机数是完全独立取值的，不满足量子纠缠的第二个条件。所以这个看似最复杂的态其实反而是很简单的，它没有量子纠缠。

通过这些例子，我们就可以对什么叫做关联有更深的理解。完全相同当然是关联，完全相反当然也是关联。中间程度的，比如说以90%的概率相同或者以10%的概率相同（即以90%的概率相反），也是关联。但以50%的概率相同就不是关联，而是没有关联，因为两个取0和1的变量完全独立地取值，就会有一半的概率碰上。所以对于两个这样的变量，测量它们之间的关联，其实就是测量它们相同的概率偏离50%的程度。

到这里为止，你对量子纠缠的了解已经超过了绝大多数人。如果你还想知道更有理论深度的表述，那就是：一个状态是不是纠缠态，其实是一个多元函数能不能分离变量的问题。

什么叫做分离变量？就是把一个多变量函数写成多个单变量函数的乘积。例如把二元函数F(x, y)写成一个关于x的函数f(x)与一个关于y的函数g(y)的乘积，即

F(x, y) = f(x) g(y)

如果存在这样的f(x)和g(y)，我们就说F(x, y)是可以分离变量的。如果不存在，我们就说它不能分离变量。同样的定义可以推广到更多自变量的函数，例如F(x, y, z) 是否可以写成f(x) g(y) u(z)，就是这个三元函数能不能分离变量。

显然，很容易找到一些可分离变量的例子。例如

F(x, y) = xy

一望可知，取f(x) = x和g(y) = y就可以了，——这是道送分题！

稍微复杂一点的，例如

F(x, y) = xy + x + y + 1

仔细看看你就会发现它等于(x + 1) (y + 1)，所以取f(x) = x + 1和g(y) = y + 1即可。

然而，也很容易找到一些不可分离变量的例子。例如

F(x, y) = xy + 1

请问，它能不能表示成f(x)g(y)？仔细想想你就会发现，不能。

对此可以用反证法证明如下。假设我们找到了这样的f(x)和g(y)，使得

F(x, y) = f(x) g(y)

那么，当y取两个值y1和y2时，

F(x, y1) = f(x) g(y1)

F(x, y2) = f(x) g(y2)

这两个式子相除，就会把f(x)消掉，得到

F(x, y1) / F(x, y2) = g(y1) / g(y2)

等式右边的比值g(y1) / g(y2)是一个与x无关的数，因此等式左边的比值F(x, y1) / F(x, y2)也必须是个与x无关的数。可是对于

F(x, y) = xy + 1

取y1 = 0，就得到

F(x, y1) = 1

取y2 = 1，就得到

F(x, y2) = x + 1

两者相除得到

F(x, y1) / F(x, y2) = 1 / (x + 1)

这个比值是跟x有关的。因此初始的假设不成立，不可能存在这样的f(x)和g(y)，也就是说这个二元函数不能分离变量。

前面这些数学讨论，跟量子纠缠有什么关系呢？在量子力学中，体系的状态可以用一个函数来表示，称为“态函数”（前面我们把一个状态理解为一个矢量，这里又把它理解为一个函数，这两者都是成立的，学了线性代数和微积分就明白了）。如果一个多粒子体系的态函数可以分离变量，我们就把它称为直积态（direct product state），即多个单粒子态函数的直接乘积。如果它不能分离变量，我们就把它称为纠缠态。

对于直积态，我们在对一个粒子做测量的时候，不会影响另一个粒子的状态。这时我们对整个体系可以用类似经典力学的语言来描述，说“一号粒子处于某某状态，二号粒子处于某某状态”。这就是分离变量的结果。

但对于纠缠态，我们在对一个粒子做测量的时候，就必然会影响其他粒子的状态。因此我们无法把整个体系描述为各个粒子各自处于某某状态，只能说它整体处于某某状态。这是一种在经典力学中完全不存在的情况，我们失去了对单个粒子定义明确状态的能力。所以我们说这些粒子纠缠在一起，纠缠这个词就是这么来的。

根据这些数学定义，我们很容易更加深入地理解前面举的那些例子。例如|红红>一看就是个直积态，因为它实际的意思就是|红>1|红>2，即一号粒子和二号粒子各自的红态的乘积。

对于乍看起来最复杂的

(|红红> + |红白> + |白红> + |白白>) /2

也很容易发现它其实是直积态，因为它等于

[(|红>1 + |白>1) / sqrt(2)] [(|红>2 + |白>2) / sqrt(2)]

这个例子的有趣之处在于，一号粒子和二号粒子各自都处于一个叠加态，但它们之间没有纠缠。双粒子体系的态函数，就是这两个单粒子态函数的乘积。

再来看我们举的第一个纠缠态的例子，即

(|红红> + |白白>) / sqrt(2)

如何证明它不能分离变量呢？仍然是用反证法。假如它可以分离变量，也就是说，存在四个数a、b、c、d，使得

(|红红> + |白白>) / sqrt(2) = (a|红>1 + b|白>1) (c|红>2 + d|白>2)

我们来观察一下。这个状态中不包含|红白>，所以

ad = 0

这说明a和d中至少有一个等于0。但到底是谁等于0呢？

如果a = 0，|红红>这一项就不会出现。而如果d = 0，|白白>这一项又不会出现。无论如何都自相矛盾，由此可见最初的假设是错的，这个态不能分离变量，也就是说它不是直积态，而是纠缠态。

类似地，对前面举的第二个例子

(|红白> + |白红>) / sqrt(2)

也很容易证明它不是直积态，而是纠缠态。按照这样的思路，我们很容易构造出大量的直积态以及大量的纠缠态。

了解到这个程度，就可以解决一个常见的困惑，即叠加态和纠缠态究竟有什么区别？许多人分不清这两个词，只觉得它们都很神秘，都表示了量子力学的某种模糊性，难道它们是一回事吗？其实完全不是。

一个很明显的区别是，单粒子体系和多粒子体系都可以有叠加态，但只有多粒子体系才能有纠缠态。更有理论深度的区别是，一个态是不是叠加态依赖于基组（换一个基组它就可能不是叠加态了，而是这个基组中的一个基本状态），而一个态是不是纠缠态不依赖于基组（无论取什么基组，都不能改变这个态是否可以分离变量）。

现在，我们对量子纠缠已经获得了相当深入的认识。下面来稍微总结一下。

如果你知道量子纠缠不是个神秘现象，你的知识水平就超过了90%的人。

如果你知道量子纠缠是由量子力学中的叠加和测量这两个原理推出来的，你的知识水平就超过了99%的人。

如果你知道量子纠缠的定义包括两点，对单粒子的测量结果是随机的，在多个随机结果之间的关联是确定的，你的知识水平就超过了99.9%的人。

如果你知道量子纠缠是需要构造的，并不是所有的多粒子状态都具有纠缠，你的知识水平就超过了99.99%的人。

如果你知道量子态分为两类，直积态和纠缠态，它们的区别在于能否分离变量，你的知识水平就超过了99.999%的人。

而如果你还知道量子纠缠在实验上是如何判定的……我们以后再来讲这个故事。这又将是一个波澜壮阔而出人意料的故事，一次人类思维与实践的伟大历险。

■ 作者简介

袁岚峰

中国科学技术大学科技传播系副主任

中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家研究中心副研究员

科技与战略风云学会会长

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