伊桑戈骨头棒，人类数学的黎明，2001太空漫游的引子

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1. 简介

伊桑戈骨头棒是在伊桑戈（Ishango）发现的一块距今 22000 年的骨头，该地区位于刚果和乌干达交界处，靠近卢旺达。在殖民时期，它从刚果运往比利时。伊桑戈骨头棒是库布里克的电影《2001：太空漫游》中著名开场镜头的隐喻，

2. 历史和数学背景

伊桑戈骨头棒是比利时考古学家Jean de Heinzelin de Braucourt 在刚果一个名叫伊桑戈的村庄附近发现的文物（图 1）。这发生在70多年前，当时刚果民主共和国还是比利时的殖民地。发现者将这块石化骨骼带到了位于布鲁塞尔的比利时皇家自然科学博物馆（RBINS），并一直保存至今[8,9]。

图1：伊桑戈“月亮山”景色（左）和殖民时代的让·德·海因泽林（右）在挖掘现场。

骨头棒上有三列清晰可辨的精细、锋利的雕刻（图2）。一列按以下顺序显示划痕:3、6；4、8；10、5；5、7。这些数字加起来是48。前两对可以提示乘法运算。另外两列分别显示了分组11、21、19、9和11、13、17、19；也就是10 + 1、20 + 1、20 - 1、10 - 1和10到20之间的质数。德·海因泽林在他关于伊桑戈发掘的报告中提出了一个假设，即这根棍子是某种算术游戏的证据，他后来在1962年广为阅读的《科学美国人》文章中重申了这一点。

图2：伊桑戈骨头棒

数年后，美国考古学家亚历山大·马沙克（Alexander Marshack）对最后两列的总和为 60 这一事实给予了更高的评价，他将其解释为两个月的天数[19]。他认为，第一列的总和 48 相当于一个半月。因此，马沙克指出，这根骨头棒应被视为天文历法。尽管这些雕刻背后有着不为人知的神秘逻辑，但不可否认的是，在很长一段时间里，这根骨头棒仍然只是一件来自非洲中心地带的孤立而奇特的工艺品。半个世纪以来，它一直被收藏在博物馆的 19 层，不为博物馆的普通游客所见。

这一疏忽的部分原因是该文物太独特了。此外，考古学家们一直在讨论这根骨头棒的年代。在 20 世纪 50 年代发现这根骨头棒时，没有可靠的火山地区物体碳14测年表。长话短说，这个问题现在已经解决，至少有四种不同的测年方法证实，伊桑戈骨头棒至少有 22 000 年的历史。对于某些人来说，这将把数学的诞生时间至少向后推了 15000 年，而数学的诞生以前被认为是在希腊或埃及。

自 20 世纪 50 年代以来，由于阿舍尔[1]、克罗[7]、格尔德斯[13]、约瑟夫[16]、纳尔逊等人[21]和扎斯拉夫斯基[28]的研究工作，我们对非洲数学的认识有了很大提高。对伊桑戈骨头棒数学性质假设的经典反对意见是棒上没有任何文字，而在某些人看来，文字是"数学"推理所不可或缺的。然而，关于一位非洲计算天才[12]在作为奴隶来到美国之前就已经掌握了计算知识的报道，以及非洲棋盘游戏（如 awari [25]、boa [14]、igisoro [6]、kubuguza [20]或 omweso [23]）甚至在现代仍有人玩的例子，都证明了相反的观点[2]。值得注意的是，这些棋盘游戏确实是很聪明的游戏。最近，诺基亚 3310 手机就采用了这种被称为"bantumi"的游戏。此外，非洲还存在许多不同的数学符号方法，其中包括绳索、木棍和骨头，虽然这些物品很少在博物馆展出[17]，但传教士的报告描述了它们的用途，而且有些物品上确实有与伊桑戈骨头棒上类似的标记。

新兴的 "民族数学 "学科也确定了非洲人在计数系统方面的创造性。例如，"8 "通常表示为 "4-4"，一些非洲人说 "5-12 "而不是 "17"，因为他们使用的是基数 12，而不是 10。当他们用基数 12 计数时，为了表示这个基数的数位，他们会用拇指依次指向同一只手其余四个手指的 12 个指骨。因此，48 = 4×12 和 60 = 5×12 这两个和数可能有纯粹的算术渊源（类似于购买商品时喜欢以一打12为单位）。这些观察结果支持了一种说法，即伊桑戈骨头棒的标记可能表示以不同的基数（如 12）进行计数。在非洲，同样常见的是将数学意义赋予蚀刻线：沙地和衣服上的蚀刻方案显示出大量的结构特征，在一些数学家看来，这意味着使用基本图形或分形结构的抽象图形或几何娱乐。

一个悬而未决的问题是伊桑戈骨头棒上的 "质数 "的意义。非洲有证据表明存在复杂的计算。约鲁巴语的基数为 20 的乘法[10]表明，基数 10 对于进行困难的计算并非不可或缺。同样，"埃塞俄比亚 "乘法系统只使用加倍和减半，这也可以解释伊桑戈骨头棒上出现加倍的原因。遗憾的是，非洲其他地方还没有质数的记录。

有鉴于此，欧洲航天局的研究员 V. Pletser 提出了第三种不那么引人注目的假设，即伊桑戈骨头棒只是一个民族以 6 或 12 为基数计数的见证[24]。他们可能按照数字的发音将线条分组，就像今天西方计数法中常见的按 5 或 2 分组一样。

无论真实的解释是什么，这根骨头棒上的标记背后都有一些不可否认的逻辑。当然，要推断出这根骨头棒可能对埃及和古希腊等地产生过任何影响[18]、[22]、[27]，还是迈出了太大的一步。正如《怀疑论者》（The Skeptical Inquirer）[26]所指出的，科学家们从来不会像广大读者所希望的那样肯定地陈述问题，事实上，在这里应该谦虚一些。然而，另一些人对古代数学文物存在的说法走得更远。他们指出，在南非和斯威士兰交界处的莱邦博山脉洞穴挖掘时，发现了一根狒狒的腓骨[3]。这块 7.7 厘米长的骨头距今已有 3.5 万年历史，上面有 29 处界限分明的雕刻，但没有任何明显的逻辑 "关系"。Francesco d'Errico 认为，在 "Blombos "洞穴中发现的一块鹅卵石证明了几何思维，因为它有七条平行线，因此这个距今 5 万至 7 万年的物体可能是已知最古老的具有 "设计 "的物体 [11]。当然，这些说法并不能反驳伊桑戈骨头棒是迄今发现的最古老的具有数学意义的物体这一假设。恰恰相反，它们使该物品成为非洲"数学意识"的一个不那么奇特的证明，远早于埃及或希腊[4]。

总之，在过去的 50 年里，这根骨头棒的年代得到了确定，有关其用途的数学论证也从几种神秘的解释简化为简单的解释，即这根骨头棒不过是一根简单的混合基数的计数棒，但无疑是最古老的计数棒。就这样，在布鲁塞尔比利时皇家自然科学研究所 19 层的抽屉里尘封了半个世纪之后，2001 年，这根伊桑戈骨头棒来到了相关博物馆的主厅。

然而，伊桑戈本身并没有揭开它的所有秘密。德·海因泽林在临终前写了一篇论文草稿，介绍了他多年前发现的第二根伊桑戈雕刻棒[15]。2007 年，在比利时皇家学院举行的一次会议上，第二根伊桑戈骨头棒亮相。它受到了媒体的极大关注。有关它的新闻登上了受人尊敬的《世界报》的头版头条，从而证明了伊桑戈和数学仍然可以让人们梦想成真。值得一提的是，包括 CNN 在内的所有媒体的关注都有助于说服比利时当局将伊桑戈骨头棒作为布鲁塞尔博物馆永久展览的一部分。毕竟，伊桑戈骨头棒是殖民时期在前比属刚果发现的，而比利时的殖民历史至少可以说并不成功。

3. 艺术概念

伊桑戈骨头棒首次展出的 2001 年也是比利时担任欧洲共同体轮值主席国的一年，因此也是充满 "新期望 "的一年。2001 年还与斯坦利·库布里克的电影《2001 太空漫游》有关 [5]。影片开头的场景众所周知：人类祖先将其首次发现的工具--一根骨头扔向太空，这根骨头在太空中旋转并变成了一艘太空船。库布里克的电影通常被视为具有远见卓识，随着时间的推移，人们逐渐萌生了通过实际携带伊桑戈骨头棒进入太空来实现其远见卓识的想法，以此向《2001 太空漫游》中的隐喻致敬（见图 3）。

图3：《2001太空漫游》剧照

太空中失重漂浮的骨头将进一步体现电影《2001：太空漫游》中广为人知的开场情节，并强化流行文化中对该情节的引用，如《辛普森一家》中出现的著名情节，以及广告中使用的其他情节。与冗长的解释相比，一张图片更有说服力，也更直接。此外，还可以用最低的成本实现这一目标，因为将一个只有 10.2 厘米长、小铅笔大小的物体带入太空就足以实现预期目标。

艺术概念是主观的--"美在欣赏者的眼中"。虽然不是每个人都能欣赏库布里克在《2001》中的开场场景所带来的震撼，因此可能不会同意将其变为现实的想法，但出于某种非同寻常的原因在太空中放置一件艺术品的前景并非没有先例。例如，月球上就有一件名为 "堕落的宇航员 "的艺术品。巧合的是，它也是比利时艺术家保罗·范·赫东克（Paul van Hoeydonck）的作品（见图 4）。原作被阿波罗 15 号带到了月球上，但在比利时奥斯坦德镇的现代艺术博物馆里可以欣赏到它的复制品。

20 世纪 60 年代，美国国家航空航天局（NASA）责成亚历山大·马沙克（Alexander Marshack）向广大读者介绍月球计划的历史和科学背景。他在向行政部门和科学界的权威人士询问进行太空探险的理由时，偶然发现了伊桑戈的故事。后来，他成为哈佛大学的一级考古学家。在他的早期著作之一《文明的根源》（Roots of Civilization）中，他对自己的探险作了如下描述：

在写作和寻找人类和太空计划的意义时，我无法将杰罗姆·威斯纳博士[......]或尤里·加加林和约翰·-格伦[......]与数千年前猎杀猛犸象[......]和在冰河时期的欧洲洞穴中作画的人区分开来。

图 4：比利时的月球艺术品 "倒下的宇航员"。比利时奥斯坦德 PMMK 博物馆。

因此，正如马沙克所表达的那样，将伊桑戈骨头棒带入太空应被理解为一种国际追求，这无疑是许多人的想法。

这一次它将走得足够远，一直到太空（见图5）。

图5：伊桑戈骨头棒能到达太空吗？

参考文献

[1] M. Ascher, Ethnomathematics: a Multicultural View of Mathematical Ideas, CRC Press, Boca Raton, 1994.

[2] R.C. Bell, Discovering Old Board Games, Shire Publications Ltd, Aylesbury, UK, 1973.

[3] J. Bogoshi, K. Naidoo, and J. Webb, The oldest mathematical artefact, Math. Gaz. 71 (1987), p. 458, 294.

[4] F. Buekenhout, Les Polye`dres: de Lucy a` Jacques Tits, 6ieme congres de l’Association des Cercles francophones d’Histoire et d’Archeologie de Belgique, Mons-Bergen, 24–27 Aout, 2000.

[5] A.C. Clarke, 2001: a Space Odyssey, based on the screenplay by Stanley Kubrick and A. C. Clarke, The New American Library, Inc., New York, 1968.

[6] A. Coupez and V. Benda, Terminologie du jeu d’igisoroau Rwanda, Africa Tervuren IX 2 (1963),

pp. 37–41.

[7] D.W. Crowe, The geometry of African art, Part 2. A catalog of Benin patterns, Hist. Math. 2 (1975), pp. 253–271.

[8] J. de Heinzelin de Braucourt, Exploration du Parc National Albert: Les fouilles d’Ishango, Fascicule 2, Institut des Parcs Nationaux du Congo Belge, Vol. 2, Institute of National Parks of the Belgian Congo, Brussels, 1957.

[9] J. de Heinzelin de Braucourt, Ishango, Scientific American, 206-6 (1962), pp. 105–116.

[10] C.I.O. Delano, Conversations in Yoruba and English, Frederick A. Praeger, New York, 1963.

[11] F. Errico, L’origine du stockage de l’information, Pour la Science, October/January (2002), pp. 6–9.

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[13] P. Gerdes, Geometry from Africa, Mathematical and Educational Explorations, The Mathematical Association of America, Washington DC, 2002.

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[15] D. Huylebrouck, ed., Ishango, 22000 and 50 years later: the cradle of mathematics?, Conference proceedings, Royal Flemish Academy of Belgium, Brussels, Belgium, 2008.

[16] G.G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, Penguin Books, London, 1992.

[17] S. Lagercrantz, Counting by means of tally sticks or cuts on the body in Africa, Anthropos 68 (1973), p. 37.

[18] M.R. Lefkowitz, Not Out of Africa, How Afrocentrism Became an Excuse to Teach Myth as History, Basic Books, New York, NY, 1996.

[19] A. Marshack, Roots of Civilisation, The Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation, McGraw-Hill Book Company, New York, 1972.

[20] A.P. Merriam, The game of kubuguza among the Abatutsi of North-East Ruanda, Man 53 (1953), pp. 169–172.

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[22] A. Noguera, How African was Egypt? A Comparative Study of Ancient Egyptian and Black African Cultures, Vantage Press, New York, 1976.

[23] M.B. Nsimbi, Omweso, A Game People Play in Uganda, Occasional Paper, No. 6, African Studies Center, University of California at Los Angeles, 1968.

[24] V. Pletser and D. Huylebrouck, The Ishango artefact: the missing base 12 link, Proceedings of the Katachi U Symmetry Congress KUS2, paper C11, Tsukuba University, Japan, 18 November 1999; Forma 14-4, pp. 339–346.

[25] J.W. Romein and H.E. Bal, Awari is solved. Notes, ICGA Journal September (2002), pp. 162–165.

[26] W.F. Rowe, School daze: A critical review of the ‘African-American baseline essays’ for science and mathematics, The Skeptical Inquirer, September/October (1995), pp. 27–32.

[27] I. Van Sertima, ed., Black Athena Egypt Revisited, 2nd edn, Transactions Publications, London and New Brunswick, 1995.

[28] C. Zaslavsky, Africa Counts, Lawrence Hill Books, New York, 1973.

[29] Dirk Huylebrouck, The ISShango project

青山不改，绿水长流，在下告退。

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