最令人着迷的数论问题之一—素数间隙，探究素数分布的本质规律

在数论中，研究短区间内素数的数量是一个重要且复杂的问题。它关注于给定一个小的区间，比如说x，x+h，其中h相对于x很小，这个区间内有多少素数。这个问题的研究揭示了素数分布的局部性质，特别是随着x的增大，素数在数轴上的分布模式。

高斯的预测讲的是“绕着x的各处”的素数的数目，所以，考虑在绕着x的短区间里面的素数的数目也许更有意义。如果我们相信高斯的话，我们就会期望在x和x+y之间素数的个数大约是y/logx。就是说，如果用素数计数函数π(x)来表示，我们就会期望，对于|y|≤x/2，

然而，对于y的范围需要小心一点。例如，如果y=1/2logx，则（1）式右边变成1/2，而在区间[x，x+y]中将有大约“半个”素,，这当然是我们不希望看到的。显然我们需要让y足够大，这样(1)式才有意义；事实上，高斯-克拉默模型建议，(1)式应该在|y|稍大于(logx)²时成立。

如果我们想用证明素数定理的同样方法来证明(1)式，则在p次幂的差的估计上，就会得到

如果设ζ(s)的零点的密度远大于1/2，已经可以证明(1)式当y略大于

时成立。但是，这个方法没有什么希望能够在长度为√x或更小时证明(1)式，哪怕是假设黎曼假设成立也不行。

1949年，塞尔贝格在假设黎曼假设成立的条件下，证明了当y略大于(logx)²时，(1)式“几乎”对所有x成立。这里出现了“几乎”，其意义就是使(1)成立的x的密度当x→∞时趋近1，而不是对所有的x都成立，从而可能有无穷多的反例，虽然在那时看起来，这件事很不像是真的。所以，当1984年Maier证明了对于任意固定的A，对于无穷多个x以及y=(logx)^A，(1)式都不成立，那确实是很惊人的。他的聪明的证明是基于他证明了，在那个区间里，小素数的倍数并不如人们想象的那么多。

令p₁=2

的大小。因为直到x为止的素数数目大约是x/logx，所以相继素数的差平均应该是logx，而我们可以问相继素数的差大约是平均值的频繁程度如何？这些差是否可以很小？这些差又是否可以很大？高斯-克拉默模型暗示那些使得相继素数的间隙大于其平均值的λ倍的x，就是使得

的x所占的比例约为e^(-λ)。而类似地，其中恰好包含k个素数的区间{x，x+λlogx}在这一类区间中所占的比例大约为

由这样一个暗示，我们将会看到，还得到了从其他方面的考虑的支持。克拉默分析了这个分布，而且提出了一个猜测：

我们所掌握的证据似乎也支持这个猜测

高斯-克拉默模型有一个重大的缺点：它“完全不懂数论”。特别是如早前已经指出的那样，它不能预测小素数的可整除性。这个缺点的一个表现就在于它会预测，间隙为1的素数对和间隙为2的素数对是一样多。然而，只有一个间隙为1的素数对，因为如果两个素数间隙为1，则其中必有一个是偶数，[就是2，而另一个只能是3]，但是有许多间隙为2的素数对的例子，而且据信有无穷多这样的例子，就是下面将要讨论的“孪生素数”。一个模型要能够对于素数对做出正确的预测，就必须考虑出现在这个模型中的小素数的可整除性，而这就会使得模型复杂得多。比较简单的模型中既然有这种刺目的错误，我们在对待克拉默关于相继素数的最大间隙的猜想时，就必须带着一点怀疑。而事实上，如果对这个模型作了修正，使得能够考虑小素数的可整除性，就会得到以下的猜测：

寻找素数间的大间隙，就相当于找出合数的很长的序列。显式地去做这件事又如何？例如，我们知道，n!+j对于2≤j≤n都是合数，因为它可以用j去整除。

这样，在相继的素数之间就有一个长至少为n的间隙，而前一个素数是小于或等于n!+1的最大素数。但是这一点观察并不特别有帮助，因为在n!附近的相继素数的平均的间隙是log(n!)，而它大概等于nlogn，而我们要找的是大于平均值的间隙。然而，可以推广这里的论据来证明存在这样的相继整数的长序列，使这些整数都有小素数为因子。

在1930年代，Paul Erdős把这个问题重新陈述如下：

固定一个正整数z，而对每一个素数p≤z都选一个整数a_p，使得不管整数y有多大，每一个正整数n≤p都满足至少一个同余式n=ap(modp)。

现在令X为直到z为止的素数的乘积（由素数定理，这就意味着logX大约就是z），而令x为X和2X之间的整数，使对每一个p≤z都有x=-a_p(mod p)（由中国剩余定理，这个x是存在的）。如果m是在x+1和x+y间的整数，则m-x是小于y的正整数，所以一定有某个素数p≤z在，使得m-x=a_p(mod p)。因为x=-a_p(mod p)，所以m可以被p整除。这样，从x+1到x+y的所有整数都是合数。利用这个基本思想，可以证明有无穷多素数p_n，使得

它当然比平均值大得多，但是还远未达到克拉默的猜测。

素数间小于平均值的间隙

我们刚才看见了如何证明有无穷多对相继素数，它们的差远大于这种差的平均值，即有

现在也要证明，有无穷多对相继素数，它们的差远小于这种差的平均值，即有

当然，人们相信有无穷多对素数相差为2，但是目前，这个问题仍是很难对付的。

在2000年以前，这方面的最佳结构就是有无穷多个间隙小于平均值的四分之一。Goldston，Pintz和Yildirim的方法对于小间隙的素数加上了简单的权重，证明了

甚至证明了有无穷多对相继的素数，其差不会大于大约

惊人的是，它们的证明是基于对于算术数列中的素数的估计的。此外，它们还得到了一个附加了条件的如下类型的结果：如果下式

对直到略大于√x的几乎所有的q成立，则必存在整数B，使得对于无穷多个素数p都有

素数间的很小的间隙

有许多对素数相差为2，例如3与5，5与7，…，这种素数对称为孪生素数，虽然谁也没有证明确有无穷多对孪生素数存在。事实上，甚至对于每一个偶数2k，也有许多对素数相差为2k，同样也没有人能够证明这样的素数对有无穷多个。这个问题是这个学科的突出问题之一。

1760年代的哥德巴赫猜想也是属于同样风格的问题：是否每一个大于2的偶数都是两个素数之和？这至今仍是未解决的问题。我们知道，对于绝大多数整数，这个结果是真的。这个问题上最著名的结果是陈景润1966年的结果。他证明了每一个偶数都是一个素数和另一个整数之和，而且后者又只含有最多两个素数因子

就是说，是一个素数和一个“几乎素数”之和，也就是现在国内通称的1+2。

事实上，哥德巴赫并不是这样提出他的猜想的。他在1760年代致信欧拉，问是否每一个大于1的整数都可以写为三个素数之和，从这里可以得到我们现在说的“哥德巴赫猜想”。1920年代，维诺格拉多夫证明了每一个充分大的奇数都可以写为3个素数之和（从而每一个充分大的偶数都可以写为4个素数之和）。其实我们相信每一个大于5的奇数都可以写为三个素数之和，但是现有的证明却只在涉及的数充分大时有效。在这个情况下，我们要把“充分大”说明白——现在的证明需要它们大于

但是有传说，这个界限很快就会得到本质的减小，甚至减小到7。

2013年5月留美的中国数学家张益唐在孪生素数问题上有一个里程碑式的突破：他证明了存在一个常数d≤7×10^7，而有无穷多对相继的素数差为d。

要想猜测在q≤x的范围内，q和q+2都是素数的素数对的准确数目，我们是这样做的。如果不考虑小素数的可整除性，则高斯-克拉默模型建议，到x为止，随机地取一个整数，取到素数的概率是1/logx，所以我们期望到x为止有x/(logx)²个q，q+2这样形状的素数对。但是如同前面的q，q+1的例子所说明的那样，我们确实需要考虑到2的可整除性。一个随机的整数对都是奇数的比例是1/4，而一个随机的q使得q和q+2都是奇数的比例则是1/2。这样就需要对x/(logx)²这个猜测加上一个因子

类似地，随机的整数对都不能被3（或被任意素数p）整除的比例是

对每一个素数p都对我们的公式加以调整，最终就会得到下面的猜测：

此式称为渐近孪生素数猜测。虽然看起来这个猜测很像是对的，但是怎样把它从似然为真变成严格的证明，目前还没有什么实际的想法。现在已经得到的一个好的不附加条件的结果是：小于或等于x的孪生素数对的数目决不会大于我们的猜测的四倍。我们可以把

代以

而得到更精确的预测，而且希望上式双方之差不大于某个c√x，c>0是一个常数。这个猜测得到了许多计算证据的支持。

用类似的方法可以预测具有任意多项式模式的素数的个数。令

为不同的既约的次数大于或等于1的首项系数为正的多项式组，定义ω(p)为这样的整数n(mod p)的个数，使p能够整除

在上面的孪生素数问题中，有

而对所有奇素数p，ω(p)=2)。如果ω(p)=p，则p至少能够整除一个多项式值，所以只有有限多个情况使得它们同时为素数，这种情况的一个例子是

这时，ω(2)=2。

除此以外，将会有多项式的可容许集合，对于它们，我们预测，小于x而使得

都是素数的整数n的个数大约是

这里需要设x充分大。可以用一个类似的启发性的思考来在哥德巴赫猜想中作预测，就是预测使得p+q=2N的素数对p，q的个数。这些预测又一次与计算的证据很好地匹配。

预测(2)在少数几个情况下已经得到了证明。对于素数定理的证明做一些修正就能对可容许多项式qt+a的情况给出结果（就是对算术数列中的素数得出结果），也对于可容许的

对于某些类型的n变量n次多项式（即可容许的“范数形式”）也得到了结果。

在整个20世纪，这个情况基本上没有改进，一直到非常近的时候，Friedlander和Iwaniec用了很不相同的方法打破了僵局，对于多项式t²+u⁴证明了这样的结果，然后Heath-Brown对任意的两变量三次可容许齐次多项式做了这件事。

陶哲轩在2004年得到了非同寻常的突破，他的结果是：对任意整数k，都可以找到由素数构成的长度为k项的算术数列，即有一对整数a，d使得a，a+d，a+2d，…，a+(k-1)d都是素数。