局部对称的多层伊斯兰几何设计

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替代拼块的特点是递归生成过程，有助于多层拼块设计。受传统伊斯兰几何多层拼块设计的启发，本文提出了基于增强替代规则的多层设计技术。伊斯兰几何图案作为装饰被结合在多层替换中，以建立在基层替换拼块的递归结构上。使用这种技术的变体突出了两个非周期性替代拼块中的局部对称性。

图1：装饰有zellij图案的非周期性Ammann-Beenker拼块。较大的玫瑰花结以这种替代拼块的递归层次中不同层次的局部对称性为中心。

具有不同程度自相似性的多级设计可见于许多传统伊斯兰几何拼块的例子【4】【16】。我将这一设计理念应用于两种著名的替代拼块的多层结构：阿曼·本克尔拼块和二进制拼块。用伊斯兰几何图案装饰替代拼块多年来一直是一个丰富的探索领域【1】【2】【5】【9】【11】【12】【13】【14】，作品太多了，无法在此完全引用。一种常用的技术是用伊斯兰几何图案装饰给定替代拼块的菱形原型拼块集。对称的伊斯兰几何图案可以整合到菱形顶点处的拼块中，如【9】所示，并在许多示例中进行了演示【1】【5】【9】【11】【13】【14】。在本文中，重点将是在递归替换层次中将装饰性替换过程扩展到更高的级别。

在图1中，多级设计是通过装饰Ammann-Beenker拼块实现的，这是一种非周期性替代拼块，其特点是无处不在的八边形对称拼块片[8]，常见的摩洛哥zellij图案模块化地应用于替代层级中尺寸不断增加的局部对称拼块片[10]。一片拼块被定义为一个拼块中有限的一组拼块，其并集是一个拓扑圆盘[8]。Zellij是一种拼块马赛克，由传统的伊斯兰几何手工切割的小拼块制成。摩洛哥zellij设计的全面展示在[5]中给出，包括大型多瓣玫瑰花结的建造，它与[3]一起可以将这里显示的设计扩展到更高的水平。

替代拼块有一个膨胀—细分规则，用表示，对有限的一组原始拼块类型进行操作。替换规则用定义的原型拼块面板替换每个原型拼块。为了视觉呈现的清晰，应当理解，充气步骤并不总是在图像中进行。有或没有通货膨胀的替代规则将由表示。Ammann-Beenker拼块[8]的替换规则如图2所示，其中菱形(橙色)和半方形(蓝色)原型拼块的右侧有两个细分步骤，左侧有一个装饰性替换。术语超级拼块指的是通过重复应用替换规则从集合中的原拼块中得到的任何拼块片。原型拼块是第0层，并且替换规则的每个操作将超级拼块的层提高一层。任何级别的超级拼块都将继续用它们所源自的原拼块来标识。在图2中，Ammann-Beenker原型拼块的右边分别是1级和2级超级拼块。每个原型的左边是一个装饰步骤的结果，K0.

图2：Ammann-Beenker替换规则和原始拼块装饰。

如果替换规则是自相似的，即如果每个超级拼块都与原拼块相似，则称其为完美规则。否则，如果不产生自相似的超级拼块，则替换是不完美的。更多的技术定义和阐述出现在【6】中。在图2中，半方形原拼块的使用确保了阿曼·本克尔拼块的替换规则是完美的。相比之下，在本文的第二部分中，我对二进制拼块使用了不完全菱形替换规则。在下面的两个例子中，自相似超级拼块次构造的存在与否对多层设计方法的选择起着重要作用。一些替换拼块（包括这里的例子）共享的另一个有用的属性是局部同构。该属性的另一个术语是重复。这一性质表明，拼块的任何有限部分都可以在拼块中某个有限半径内的任何地方找到【15】。实际上，对于设计而言，当拼块具有这种特性时，这意味着可以从替换过程的任何地方开始，并在替换规则的有限次迭代后到达任何期望的有限部分。特别是，它足以生成任何一个足够高的级别来覆盖感兴趣的区域。

在相同对称性不能具有全局范围的非周期性替换拼块中，可能存在对称的拼块片。在【14】中讨论了与彭罗斯拼块相关的局部对称性。局部点对称在这里被定义为平面中的点对称，（循环的或二面体的），由非周期2D置换拼块中的一片拼块（必然是有限的）遵守。此外，我将把这种对称性描述为几何对称性，如果拼块片仅在拼块上的标记被忽略时才遵循这种对称性，例如在阿曼·本克尔拼块的情况下，其局部d8对称性适用于原拼块形状的局部排列（图3（a））。如果局部点对称包含完整的 − 1级超级拼块，并且不包含完整的或更高级的超级拼块，则称之为级局部点对称。在局部对称性已经确定并且含义明确的情况下，我将放宽术语并将其称为“重”，其中确定了旋转对称的程度，无论是循环还是二面角。

Ammann-Beenker拼块：局部8重对称的Zellij装饰

Ammann-Beenker拼块内的局部对称性始于图3（a）中的局部几何8重对称拼块。如上所述，阿曼·本克尔原型拼块上的标记破坏了对称性，但拼块形状的排列具有d8对称性。Ammann-Beenker拼块的递归结构意味着图3（a）的局部对称拼块可以由拼块中每一层的超面组成。图3（b）和3（c）显示了接下来的两层，分别由第一层和第二层超级拼块组成，用半透明的白色覆盖物直观显示。从图3（d）中的第二层超级拼块开始，可以看到关于超级拼块的八重对称补片的可预测外观。这些2级超级拼块被着色以显示哪些原拼块参与了局部1级8重对称。图3（a）的1级8倍中不涉及白色原型拼块。应该注意的是，有了这些标记，阿曼·本克尔原型拼块组合由菱形和半方形以及它们的镜像组成。在超级拼块也是如此。从2级超级拼块每个顶点附近的原型拼块排列可以看出，这些顶点中的每一个都将位于某种排列的中心，这种排列在几何上与图3（a）的1级局部8重对称相同。顶点星是给定拼块的原型拼块标记所允许的在中心顶点相遇的拼块排列。第二层超级拼块的顶点星显示了第二层超级拼块顶点交汇处的第一层8重的生成过程（图3（e）-（g））。外推至更高的超级拼块，-18层将在超级拼块的顶点交汇处形成。每个超级拼块的可预测结构允许通过下述迭代过程进行超级拼块设计。

图 3：阿曼·贝克尔拼块中的局部 8重对称性。(a) 第1层8重对称。(b) 第2层8重对称。(c) 第3层8重对称。(d) 第2层超级拼块着色，以显示原点参与第1层8 重形状。(e)-(g)第 1 层8重体位于第2层超级特异性顶点星内。

Ammann-Beenker拼块：局部8重对称的Zellij装饰

Ammann-Beenker拼块内的局部对称性始于图3（a）中的局部几何8重对称拼块。如上所述，阿曼·本克尔原型拼块上的标记破坏了对称性，但拼块形状的排列具有d8对称性。Ammann Beenker拼块的递归结构意味着图3（a）的局部对称拼块可以由拼块中每一层的超级拼块组成。图3（b）和3（c）显示了接下来的两层，分别由第一层和第二层超级拼块组成，用半透明的白色覆盖物直观显示。

从图3（d）中的第二层超级拼块开始，可以看到关于超级拼块的八重对称面板的可预测外观。这些2级超级拼块被着色以显示哪些原拼块参与了局部1级8重对称。图3（a）的1级8倍中不涉及白色原型拼块。应该注意的是，有了这些标记，阿曼·本克尔原型拼块组合由菱形和半方形以及它们的镜像组成。在超级拼块也是如此。从2级超级拼块每个顶点附近的原型拼块排列可以看出，这些顶点中的每一个都将位于某种排列的中心，这种排列在几何上与图3（a）的1级局部8重对称相同。顶点星是给定拼块的原型拼块标记所允许的在中心顶点相遇的拼块排列。第二层超级拼块的顶点星显示了第二层超级拼块顶点交汇处的第一层8折的生成过程（图3（e）-（g））。外推至更高的超级拼块，第N- 1层8重对称将在第N层超顶点交汇处形成。每个超级拼块的可预测结构允许通过下述迭代过程进行超级拼块设计。

模块化的8重对称zellij图案以中心玫瑰花结花瓣数量不断增加的玫瑰花结为中心，用于表示局部8重对称程度的增加（图1和图4）。图4（a）-（c）显示了第1层至第3层8重对称的中心部分，以及它们是如何被zelij图案装饰的，zelij图案具有花瓣数量递增的中心玫瑰形图案。这些图案由模块组成，包括图4（d）中所示的可替换图4（a）和（b）中所示拼块面板的元素，以及图4（d）中所示的可替换小八角形图案下方的两个模块替换物。

图4：

用于装饰8重局部对称的模块化zellij。（a）1级8重中央面板和相应的zellij装饰。（b）2级8重中央面板及其相应的zellij装饰。（c）3级8重中央面板及其相应的zellij装饰。（d）2级和3级8重装饰组合中的模块化zellij元素。

多层设计过程从在原型拼块层添加zellij装饰开始（图2和图5），由K0表示。专为N超级拼块设计的装饰用KN表示这里的装饰方案是根据模块化zellij元素添加的，从原型拼块装饰开始，并添加到第2层到第5层的超级拼块（图5和图6）。一旦知道了装饰方案，装饰操作KN本身可以直接应用于任何级别的N超级拼块，而无需通过先前的级别（图5（c））。图4（c）的模块被重新着色，以用作图6中4级8重的装饰。

图 5：Ammann-Beenker 超级拼块装饰。(a) 第2层菱形叠层的装饰。(b) 第2层半四边形的装饰。(c) 第3层菱形装饰。

图6：阿曼·比克5级菱形超级拼块的多层zellij装饰。

如果被装饰的拼块带有原始原型拼块的隐藏标记，那么就有可能将任何被装饰的超级拼块正确地分解成原始原型拼块及其超级拼块（如果这在原始拼块中是可能的）。这样，KN就可以对任何N级或更高级别的超级拼块进行操作，将其分解为N级的超级拼块（图 5）。置换操作N既可以在超级拼块上进行，也可以在原生拼块上进行。如果在装饰过的N级超整数上进行，KN装饰就可以同时应用到所有N级超级拼块上，构成N+ 1级超级拼块。

装饰可以改变原始拼块的局部对称性。这里的目的不是用装饰来表示精确的对称，而是放置一个指示真实对称元素的位置的元素，尽管有额外的修饰。通过这种方式，底层的拼块充当了装饰的脚手架，持续存在于装饰之下(图6)。

二元拼块：颜色的局部五重对称

二进制拼块是由图7[6][7][15] 所示的不完全替换规则生成的。它由相同的厚和薄菱形原拼块形状组成，以与彭罗斯拼块相同的相对频率出现，但具有不同的标记。二元替换规则具有弱混合特性，这使其比彭罗斯拼块[6]具有更高的无序度。尽管如此，局部五重旋转对称大量存在。在这种情况下，如果超级拼块不是自相似的，则可以方便地用颜色突出局部5重对称，稍后添加伊斯兰几何装饰（图8和9）。

图7：二元菱形拼块原型的替换（右箭头）和装饰（左箭头）。

图8：相邻叠面边缘产生的5重对称性。（a）第5层厚菱形超级拼块。(b) 第5层薄菱形超级拼块。(c) 第6层薄菱形超级拼块。(d) 5 重对称局部区域的厚菱形叠加色。

图9：五重对称的原色装饰。

(a) 装饰着色方案。(b) 接近1级5重对称性的原生拼块装饰的直接结果。(c)十边形图案的统一着色。

预测二进制拼块中超级拼块内对称区域的位置并不像预测Ammann-Beenker拼块那样简单。当新的五重对称拼块在下一层超级拼块相邻时，它们的中心位于沿超级拼块共享边缘的位置（图8）。5级超级拼块（图8（a）和（b））和6级薄菱形超级拼块（图8（c））通过颜色变化突出显示局部5层。这些超级拼块的组成用下一层超级拼块之间的黄线表示。如果尚未出现在复合超级拼块中，则在下一层超级拼块中的边界处会出现5重对称 。第1层5重对称来自于厚的菱形原生拼块。可以观察到，较高层次的5重对称是由较高层次的厚菱形超级拼块构成的。因此，为了按层次对5层进行着色，当发现它们涉及局部5层对称性时，根据它们的层次用厚菱体超级拼块替代交替着色就足够了。图8（d）显示了从浅到深渐变的颜色使用，分别突出显示了1级5重对称中的0级粗菱面体原拼块，2级5重对称中的1级粗菱面体原拼块和第3层5重对称中的2级粗菱面体原拼块。使用颜色渐变可以轻松延续到更高的级别（图9（a））。

与阿曼·本克尔拼块一样，艺术家可以选择在二元拼块的任何给定有限区域内突出显示局部对称的级别。根据局部同构特性，将有一个足够高的级别的超级拼块来包含整个面板。较高的局部对称性总是存在于拼块的较大区域中。艺术家可以选择仅突出显示最高的局部对称性，该对称性可以在给定的有限图像的上下文中容易地识别。由于局部对称性出现在超级拼块的边缘中心，从超级拼块裁剪的感兴趣的片不应比r更靠近超级拼块的任何边缘，其中r是要突出显示的最大局部5重的半径。在生成感兴趣的面板并用颜色突出显示局部5重对称性之后，可以根据它们的颜色来装饰原型拼块。图9（a）显示了菱形原型拼块的Nodir Devon装饰方案【12】，该方案将局部5重对称至第5层。菱形原型装饰方案在Nodir Devon装饰的十边形图案中留下了一个缺乏美感的多色形状（图9（b））。这很容易通过为着色方案选择一个层次并用根据该层次的单一颜色替换整个十边形元素来纠正（图9（c））。与本文的其他技术相比，这可以被认为是一个艺术干预步骤。这里，层次结构从级别1的5重对称开始，下降到级别5的5重对称，非对称着色位于最低级别。

经过多级超级拼块生成后，二进制拼块中出现两个主要的视觉特征(图8和图10)。第一个是细菱形的弯曲线的出现，所有的线在它们的边缘接触。我将把这些细长菱形的弯曲线称为“蠕虫”第二个特征是在不同水平上出现局部5重对称，沿着蠕虫的交替侧呈规则排列。在未修饰的二元拼块的视觉无序中，很难区分局部5重旋转对称的区域。通过颜色突出显示它们以及它们沿着蠕虫的排列，创建多尺度设计。

图10：装饰二进制拼块。颜色突出了1至5级的局部5重对称以及由连接的线性排列中的薄菱形生成的“蠕虫”。

总结和结论

这两个例子探讨了在替换拼块递归结构中，基于替换规则的增强来创建多层次设计的技术。多层次的超级对称装饰直观地揭示了这些非周期性替换方格中局部对称的缩放特性和递归结构。

参考文献

[1] R. Ajlouni. “The Forbidden Symmetries.” Proceedings of the 32nd Annual Conference of the Association for Computer Aided Design in Architecture (ACADIA). San Francisco, Oct. 18-21, 2012, pp. 391-400. https://doi.org/10.52842/conf.acadia.2012.391

[2] J. Bartholomew. Scaling Girih Tilings. 2010. http://joebartholomew.blogspot.com/2010/11/self-similar-girihtiles.html

[3] J. Berglund and C. Kaplan. “Beyond the Great 96.” Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 1-3, 2021, pp. 31-38. https://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-31.html

[4] J. Bonner. “Three Traditions of Self-Similarity in Fourteenth and Fifteenth Century Islamic Geometric Ornament.” Bridges Conference Proceedings, Grenada, Spain, Jul. 23-25, 2003, pp. 1-12. https://archive.bridgesmathart.org/2003/bridges2003-1.html

[5] J. M. Casterá. Arabesques: Decorative Art in Morocco. Art Creation Realization, 1999.

[6] N. P. Frank. “A Primer of Substitution Tilings of the Euclidean Plane.” Expositiones Mathematicae, vol. 26, no. 4, 2008, pp. 295–326.

[7] C. Godreche and F. Lançon. “A Simple Example of a Non-Pisot Tiling with Five-Fold Symmetry.” Journal de Physique I, vol. 2, no. 2, 1992, pp. 207–220.

[8] B. Grünbaum and G. C. Shephard. Tilings and Patterns. Courier Dover Publications, 1987.

[9] C. S. Kaplan. Computer Graphics and Geometric Ornamental Design. Doctoral dissertation, University of Washington, 2002.

[10] C. S. Kaplan. “Generative Zellij.” Bridges Conference Proceedings, Helsinki and Espoo, Finland, Aug. 1-5, 2022, pp. 285–288. https://archive.bridgesmathart.org/2022/bridges2022-285.html

[11] S. Moradzadeh and A. N. Ebrahimi. “3D Aperiodic Girih Tiles.” Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 1-5, 2020, pp. 35-40. https://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-35.html

[12] J. E. Padilla. “Penrose Tiling Arrangements of Traditional Islamic Decagonal Motifs.” Bridges Conference Proceedings, Helsinki and Espoo, Finland, Aug. 1-5, 2022, pp. 143–150.

https://archive.bridgesmathart.org/2022/bridges2022-143.html

[13] M. Pelletier and J. Bonner. “A 7-Fold System for Creating Islamic Geometric Patterns Part 2: Contemporary Expression.” Bridges Conference Proceedings, Towson, Maryland, USA, Jul. 25-29, 2012, pp. 149-156. https://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-149.html

[14] J. Rigby. “Creating Penrose-type Islamic Interlacing Patterns.” Bridges Conference Proceedings, London, UK, Aug. 4-9, 2006, pp. 41-48. https://archive.bridgesmathart.org/2006/bridges2006-41.html

[15] M. Senechal. Quasicrystals and Geometry. Cambridge University Press, 1995.

[16] P. Webster. “Fractal Islamic Geometric Patterns Based on Arrangements of {⁄2} Stars.” Bridges Conference Proceedings, Enschede, the Netherlands, Jul. 27-31, 2013, pp. 87-94.

https://archive.bridgesmathart.org/2013/bridges2013-87.html

[17] Jennifer E. Padilla. Multilevel Islamic Geometric Design for Local Symmetry in Substitution Tilings

青山不改，绿水长流，在下告退。

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