新定义“便利点”，上下两乾坤

新定义“便利点”，上下两乾坤

这是一道比较特别的新定义压轴题，源于某次九年级上学期期中考试，背景材料给得十分接地气，可望文生义，便利点，自然是让人们觉得便利的点。从某种意义上讲，这也属于数学综合与实践的范畴，将新定义纳入到综合与实践版块，非常有新意，值得进一步深入研究。

在我们学习几何图形的性质或函数图象的性质时，研究过不少类似动态图形的问题，当图形位置不同，相应的性质也会有变化，能否准确理解这种变化，取决于对图形概念或函数概念的理解，学会用已有数学概念去解读新定义，运用新定义，正对应新课标中“三会”，对学生的数学素养提出了较高要求。

题目

某郊区公园设计了赏花步道和书画展览，吸引了大量市民和游客争相“打卡”留念。已知赏花步道与公园主干道之间是一片开阔的休闲广场，计划在赏花步道与公园主干道之间设计一条美食街（美食街宽度忽略不计），使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等。为了便于设计，在地图上建立如图平面直角坐标系，赏花步道所在直线为y=4，公园主干道所在直线为y=-8，展览馆坐标为（0，-4），设美食街摊位N（x，y）。

（1）若摊位在格点处，写出符合条件的两个摊位坐标_________________；

（2）求y与x之间的关系式，并在图中画出美食街；

（3）对于休闲广场上的某一点M，记点M到美食街上某点N的距离，与点N到展览馆的距离之和的最小值为l，若8≤l≤10，则称点M为便利点.

为了满足市民游客的露营需求，公园打算设置一片长方形的露营地，记为矩形ABCD，其中点A（a，-4），B（a+4，-4），C（a+4，-6），D（a，-6），当露营地上的任意一点都是便利点时，直接写出a的取值范围.

解析：

01

(1)根据“使得美食街上的每一个摊位到赏花步道与到展览馆的距离相等”的要求，我们用数学语言重新描述，在直线y=4和y=-8之间，找到点N，点N到展览馆(点P)的距离等于它到直线y=4的距离；

然后分别表示出点N到直线y=4的距离，这相对容易，为4-y，然后表示点N到点P的距离，这利用两点距离公式可得，为√x²+(y+4)²，推导如下：

显然这是一条抛物线，摊位在格点处，意味着只要在抛物线上找整数点(横纵坐标均为整数的点)即可，例如(0,0)，(4,-1)；

02

(2)我们在前面的推导中已经得到了y与x之间的关系式，但要注意自变量取值范围，题目来自真实情境，休闲广场是有范围的，因此画抛物线图象的时候，要有边界，如下图：

图中的点P为展览馆，抛物线上的每一个点N到点P的距离都等于点N到直线y=4的距离，这不禁令人想到抛物线的焦点和准线，这是后话，暂且不提；

03

(3)现在整个休闲广场被美食街(函数y=-1/16x²图象)分成了上下两个部分，因此某一点M，自然也要分两种情况探究；

①当点M位于抛物线上方时

我们连接MP之后，在△MPN中，利用两边之和大于第三边，可知MN+PN>MP，当这三点共线时，取最小值，即l=MP；

②当点M位于抛物线下方时

分别过点M、N向直线y=4作垂线，垂足分别为F、E，由前面条件可知PN=EN，因此MN+PN=MN+EN，根据垂线段最短，可知MN+EN

我们可以用更通俗的解读：当点M位于抛物线上方时，距离和l最小值就是线段MP的长度；当点M位于抛物线下方时，距离和l最小值就是垂线段MF的长度；

然后我们作出矩形ABCD，如下图：

我们先考虑其中一种情况，矩形ABCD有一部分在抛物线上方，另一部分在抛物线下方：

在抛物线上方的部分(矩形左边红色区域)，根据前面理解的距离和l的最小值为区域中任意点到点P的距离，我们将距离最远的点D与点P连接，只要DP≤10即可，距离最近的点H坐标可以求出来，H(-8,-4)，它到点P距离恰好等于8；

当DP=10，即DP²=100，则a²+(-6+4)²=100，我们取负值，解得a=-4√6；

在抛物线下方的部分(矩形右边空白部分)，根据前面理解的距离和l的最小值为区域中任意点到直线y=4的距离，区域内点纵坐标最大值-4，最小值-6，因此到直线y=4的距离最大值为10，最小值为8，符合便利点定义，即矩形位于抛物线下方的部分全都是便利点；

因此我们只需要考虑矩形在抛物线上方的部分，并且只需要找到矩形上距离点P最远的顶点即可，所以当矩形ABCD位于抛物线右侧时，同理可证，如下图：

同样我们只用考虑CP≤10即可，

CP²=100，则(a+4)²+(-6+4)²=100，我们取正值，解得a=-4+4√6；

综上，-4√6≤a≤-4+4√6.

解题思考

先借助真实情景构造出抛物线，这段描述本质上是源自于人教版高中数学选择性必修第一册130页，对抛物线的规范定义，如下图：

如果学生在读懂题意之后，用它去理解后面的便利点概念，会轻松许多。

在新定义便利点描述中，距离和最小，让我们想起八年级学习轴对称时著名的“将军饮马”问题，那也是距离和问题，当时我们是将直线同侧的两个点通过轴对称，变成直线异侧两点，因此“两点之间，线段最短”，在本题中，我们同样将两条线段和转化成了某条线段，所利用的依据除前面的公理之外，还有一个“垂线段最短”，这都是学生所熟知的公理；

便利点的新颖之处，就在于以抛物线为界，上下有别，呈现两种完全不同的性质，从而导致距离和的计算方法不同，在矩形运动过程中，当矩形在抛物线下方时，所有点都满足条件8≤l≤10，这是解题关键；

学生在实际解题中，困惑于“露营地上的任意一点都是便利点”，因为便利点本身需要判断一次最值，而任意一点又需要学生从图形通性上去寻找，思维难度较高；而本题对于学霸是十分友好的，前面的推导几乎可以在脑中瞬间完成，外在表现就是秒杀了。