“永远”的备选方案——面积法

“永远”的备选方案——面积法家长会

初中数学的面积法其实是个概述，并没有统一的规定，只要是利用图形面积关系的方法，皆可称面积法，正由于这个模糊不定的界定，它不如某些大名鼎鼎的方法那样容易被想到，一般会屈居幕后，耐心等待学生遍历其余方法，实在走投无路，才会想到它。

但是考场上时间有限，不允许学生遍历所有可能用到的方法，一旦初次选择有误，不能首发命中，极大概率是在复杂的计算中迷失，从而导致时间上的浪费。解决这种“想不到”的难题，一般也没什么灵丹妙药，老老实实积累解题经验就好。作为教师能做的事情，就是帮助学生在尽可能减轻负担的前提下，积累足够多的经验。

例1

已知:AB是⊙O的直径,OC⊥AB交⊙O于点C,点D是OB的中点,OB=4,点P是劣弧CB上的一个动点,点Q是线段CB上的一个动点,连接PC,PB,PQ,当△PCB面积最大时，求PQ+√10/10CQ的最小值.

解析

典型的线段和最值问题，脱胎于“将军饮马”问题，基本思路是将它们转化到一条线段上；

虽然题目中有两个动点P和Q，但“当△PCB面积最大时”，点P已经确定，因此真正的动点其实只有一个；

对于△PCB而言，底边BC固定，所以在弧BC上找到一个点，使其到弦BC距离最远即可，我们可以较容易找到这个点就是弧BC中点P；

结论PQ+√10/10CQ中，PQ比较好办，哪条线段长是√10/10CQ，需要多观察图形，我们过点D作DE⊥BC，如下图：

由OC=OB=4，得OD=2，且∠DBE=45°，所以DE=√2=BE，CD=2√5，在Rt△CDE中，CE=3√2

，于是CD=√10DE，我们找到了符合要求的一组线段；

只要形状与△CDE相同，那么斜边一定是较短直角边的√10倍，就利用这个特征，我们来构造新的直角三角形，如下图：

过点Q作DG⊥CD，我们在新构造出的Rt△CDG中，可同样得到CQ=√10QG，即QG=√10/10CQ；

这样我们完成了前面的任务，找到了一条线段QG符合要求，现在可以完成转换了，我们只需要求出线段PG的最小值即可；

显然当PG⊥CD时，PG最小；

学生遇到的困难在于，如何求PG的长？

PG是一条垂线段，所以它的另一个身份，是某个三角形的高，我们连接PD、OP，如下图：

由此出发，考虑△CDP的面积，是从四边形ODPC中减掉△COD得到，而四边形ODPC的面积又可以由△COP和△ODP相加得到，如下图：

我们可证得OP是∠BOC角平分线，因此点P到边OB和OC的距离相等，且这两个距离分别是△ODP和△OCP的高，分别是2√2，而OD=2，OC=4，所以△ODP的面积是2√2，△OCP的面积是4√2，因此四边形ODPC的面积是6√2，而△COD的面积是4，所以△CDP的面积是6√2-4，我们可求得CD=2√5，最后得到PG=(6√10-4√5)/5.

例2

已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点.

(4)如图4，已知BC=4，若点P从点B出发向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为a，线段CF的长度为b，试求出点P在运动的过程中，a+b的最大值.

解析

前面的探究中，我们已经得到了△ABE≌△CAF，所以BE=AF=a，AE=CF=b；

我们将BE看作是△ABP的高，CF看作是△ACP的高，如下图：

△ABC的面积为4，故△ABP与△ACP面积之和为4，可得AP×(a+b)=8，即a+b=8/AP；

当AP最小时，a+b最大，显然当AP与AD重合时，依据垂线段最短，此时AP最小值为2，因此a+b最大值为4.

解题思考

这两道例题中，学生解题过程中遇到了困难，也尝试了不同方法，例1中有学生建系，试图用解析法，虽然理论上所有几何问题都可以通过建系转化为函数图象问题，但是本题转换后计算量较大，并不容易求解；例2中，面对a+b最大值，有学生观察到了a²+b²=8，尝试用不等式最值，同样也遇到了困难。

所以学生解题中遇到的困难，反映出学生对面积法运用仍然不够，对于垂线段同时也是高，没有足够认识。由此反思我们的教学中，是否对面积法足够重视，还是在讲完其它方法之后，问学生“还有别的方法吗？”，再展示面积法，如果是这样的课堂，那注定面积法永远是备胎。

课堂教学中，对于多种解法的处理非常关键，教师很难做到自已讲解时没有偏好，事实上讲题时不经意的态度也流露出该方法在教师心目中的地位，同时也会传递给学生，因此，究竟是学生没有重视面积法，还是教师自已没有重视面积法，是个值得思考的问题。

如果是教师自已经过尝试之后，不得不选择面积法，那应该将尝试的经历通过某种方式告诉学生，帮助他们避坑；如果教师首先就想到了面积法，那应该将自已如何想到的经验传递下去，让学生也能积累方法选择的经验。

这又绕回到最初的教学问题，如何帮助学生积累数学经验，课堂上创设尽可能丰富的情景，让学生的思维更加开放，同时正确评价每一种解题思路，把方法的选择权交还给学生，在这个时候，不要老师觉得简单，而要让学生觉得简单；不要学生觉得老师觉得简单，而要学生自已觉得简单。