新定义“等边旋转点”——逆向思维破局

新定义“等边旋转点”

逆向思维破局

一般而言，新定义题的解题关键是读懂新定义，这和我们平时数学课堂上概念教学的学习方式是完全相同的，区别在于新定义试题要求在较短时间内完全理解数学概念并运用它解决数学问题。在教学中是否认真对待每一节数学概念课，学生是否真正学会了如何理解数学概念，通过这一类题型，可以较好地进行评价。

同时新定义压轴题也是综合题，多个数学元素结合起来，通过各种代数、几何变换，成为新的合集，多数题目需要学生作图，甚至作图也不能完全描述图形的动态，更需要想象，在数学中我们称之为抽象，即用数学思维去思考。

下面以2025年1月北京海淀区九年级数学期末第28题为例：

题目

28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，对于点P，Q和⊙O的弦AB，给出如下定义：

若弦AB上存在点C，使得点P绕点C逆时针旋转60°后与点Q重合，则称点Q是点P关于弦AB的“等边旋转”.

(1)如图，点P(-2,0)，直线x=1与⊙O交于点A，B.

①点B的坐标为_____________，点B__________(填“是”或“不是”)点P关于弦AB的“等边旋转点”；

②若点P关于弦AB的“等边旋转点”为点Q，则PQ的最小值为_____________，当PQ与⊙O相切时，点Q的坐标为_____________；

(2)已知点D(t,0)，E(-1,0)，若对于线段OE上的每一点M，都存在⊙O的长为2√3的弦GH，使得点M是点D关于弦GH的“等边旋转点”，直接写出t的取值范围.

解析：

01

(1)我们在草稿纸上按题目要求作图，请注意“存在”一词在数学中的含义，如下图：

图中的△CPQ是一个等边三角形，这也是新定义中“等边旋转点”前两个字的字面意思，其中顶点C在弦AB上，对于题目中“逆时针”的含义，有必要多解读下，在一个等边三角形中，以任意一个顶点为旋转中心，另外两个顶点都可以通过旋转相互得到，那这里的逆时针显然是规定了方向，因此我们可以说点P绕点C逆时针旋转60°得到点Q，同样也可以说点Q绕点P逆时针旋转60°得到点C，这两种旋转变换是等价的，这也是为后面的逆向思维埋伏笔；

本小题中，给定了P点坐标和弦AB，如下图：

①我们连接OA，OB，顺便连接PA，PB，观察△OBC，这是一个直角三角形，其中OC=1，OB=2，因此很容易求得BC=√3，所以点B坐标为(1,-√3)，在△OBC中，易知∠OBC=30°，∠BOC=60°，同理在△AOC中，∠AOC=60°，于是∠AOB=120°，它在圆中是圆心角，所以同弧所对的圆周角∠APB=60°，点A和点B本身关于x轴对称，于是PA=PB，再加上∠APB=60°，所以△APB是等边三角形，其中点P绕点A逆时针旋转60°后与B重合，所以点B是点P关于弦AB的“等边旋转点”；

②接上图，弦AB上也存在其余的点，以这些点为旋转中心，找到点P关于弦AB的“等边旋转点”，不妨作其中一个，如下图：

点C为弦AB上一点，点P绕点C逆时针旋转60°后与点Q重合，这三个点又构成一个等边△CPQ，其中边长PC存在一个最小值，即当PC⊥AB时，CP最小值为3，此时PQ的最小值也是3；

当PQ与⊙O相切时，点P为切点，此时PQ作为切线，应该与经过切点的直径垂直，即PQ⊥x轴，如下图：

借助第①小题的图，我们可求得∠OPB=30°，而△CPQ是等边三角形，则∠CPQ=60°，再结合∠OPQ=90°，得∠OPC=30°，于是可判断点C与点B重合；

我们前面已经求过BP=2√3，所以此时PQ=BP=2√3，得到点Q坐标为(-2,-2√3)；

02

(2)能确定的⊙O不变，点E位置已知，点D在x轴上，按照“等边旋转点”的定义，我们需要找到旋转中心C，即某条弦GH上的一个点，对于这条弦GH，仅仅知道它的长度是2√3，是圆内的一条定弦，这样的弦在圆内有无数条，它们有一个共同特征，就是圆心距是定值，不妨作出这样的一条弦来观察，如下图：

仍然由第①小题的图，可求得弦心距OC=1，于是所有这些长度为2√3的弦，在⊙O中可能的位置，便形成一个圆环，图中绿色部分，内圆半径为1，外圆半径为2，我们需要的旋转中心C，就存在于这个圆环内(包括边界)；

我们需要将点D绕点C逆时针旋转60°得到点M，这个点M是线段OE上任意一点，在旋转中心位置未确定的情况下，旋转变换属于无根之水，因此我们需要将上面的描述稍稍调整一下：

我们知道点D、点C和点M是一定可以构成等边三角形的，逆向思考：点M绕点D逆时针旋转60°可得到点C，既然点M是线段OE上任意一点，那不妨将整个线段OE绕点D逆时针旋转60°，得线段O'E'，则O'E'上的点，即可能存在的旋转中心点C，如下图：

结果前面对圆环的解读，只要线段O'E'全部在圆环内即可满足线段OE上任意一点M，都能以线段O'E'上某个点为旋转中心，将点D逆时针旋转60°后得到；

所以现在我们的问题转换成，线段O'E'何时全部在圆环内？

显然，随着点D位置不同，线段O'E'位置也不同，如下图：

形成动态图象之后，我们即可寻找特殊位置，要满足线段O'E'全部在圆环内，当点t增大时，点O'在外圆上时开始，到O'E'与内圆相切时结束，这段范围内的O'E'，全部在圆环内；

先看第一个t值，如下图：

很明显，此时的t=-2；

再来看第二个t值，如下图：

设线段O'E'与内圆相切于点N，在Rt△ODN中，ON=1，则可求得OD=2√3/3，于是此时t=-2√3/3，所以t的第一段范围是-2≤t≤-2√3/3；

当点D来到x轴正半轴时，情况大体类似，如下图：

我们来看第三个t值，如下图：

很显然，此时t=1；

现在看最后一个t值，如下图：

我们过点E作EF⊥x轴，在Rt△DE'F中，DF=1/2(t+1)，于是表示出E'F=√3/2(t+1)，而F为DE中点，因此F(t/2-1/2,0)，得到点E'(t/2-1/2,-√3/2(t+1))，我们知道OE'=2，由两点间距离公式列方程(t/2-1/2)²+[√3/2(t+1)]²=4，整理得t²+t-3=0，解得t=(-1+√13)/2，于是第二段t的范围是1≤t≤(-1+√13)/2.

解题思考

本题的解题思路还可以继续改进，当点D从左向右运动时，相应的线段O'E'自左上向右下运动，这个运动通道与圆环有重合部分，如下图：

当线段O'E'在通道内运动时，上述四种状态也可以很容易找到。

学生在解题过程中，对于“弦AB上存在点C”、“线段OE上的每一点M”理解感到困难，虽然在教学中我们解读“存在”和“每一点”后，学生当时能明白，但若仅仅是听明白，而不是想明白，这两段话在未来依然可能是阅读障碍，所以我们要课堂解题教学中，应该努力帮助学生理解题意，扶着走，最终是为了放手。

第2小题还有一种理解方式，就是仍然按正向思维，以可能存在的点C为旋转中心，将点D绕点C逆时针旋转60°，那所有可能的M点也将是个圆环，如下图：

当圆环全部覆盖线段OE时，即满足题目条件，我们可以得到相同的结果。

无论是正向思维或是逆向思维，本题都可以突破，根据学生实情选择合适的方法。