金观涛：自然数重新定义认知世界的基石｜双体实验室

大家好，我是船长！

在科学与哲学的交界处，一个根本问题始终悬而未决：何为真实？是客观存在的物质世界，还是人类经验的可重复验证？当量子力学颠覆“客观实在为真”的经典信念，当人工智能追问“数据可靠性”的本质，我们亟需重新审视科学真实性的根基。

金观涛老师以数学公理为钥匙，通过自然数的符号系统与受控实验的普遍可重复同构，打开理解科学真实性的全新维度。金老师提出，皮亚诺公理定义的“自然数”并非抽象的数学游戏，而是科学真实性的结构投射。皮亚诺公理的五个条件——起始元素、后继唯一性、归纳法有效性等本质上刻画了科学验证的底层逻辑。这种对应揭示了一个颠覆性结论：科学真实性不依赖于“客观实在”，而取决于“受控观察能否普遍重复”。

金老师还进一步区分了“受控观察”与“受控实验”的认知层级：受控观察（如验证单只渡鸦的颜色）依赖主体对条件的控制，其真实性止步于单称陈述；受控实验（如制造人造渡鸦并验证其颜色）则通过将观察对象转化为可控变量，实现全称陈述的验证。这种区分直指逻辑经验主义的软肋，即传统“客观实在”仅能确证孤立的单称命题，而现代科学依赖的全称命题必须通过可迭代的受控实验构建。

自然数重新定义认知世界的基石

文/金观涛

皮亚诺公理和科学真实的结构

虽然从逻辑推出自然数以失败告终，但自然数确实可以定义为具有某种特定结构的符号系统，它和来源于客观事物及其性质的经验无关。我在《消失的真实》第二、第三编指出，意大利数学家皮亚诺第一次给出自然数（非经验）的严格定义。自然数是这样的集合：其中任何一个元素都可规定一个后继元素，它和已经给出的元素不同；而且数学归纳法有效，即如果一命题对其中某一元素成立可以推至对其后继元素亦成立，那么该命题对所有元素成立。下面用严格的论述来表达皮亚诺公理，集合N只要满足如下5个条件，其元素就是自然数（我们用a*表示a的后继元素）。

1．1属于N。

2．当a属于N时，有唯一的a*属于N。

3．当a*属于N时，a*不是1。

4．对任何a、b属于N，若a*和b*相同，a和b相同。

5．若M属于N，且1属于M，对于任意a属于M，有a*属于M，则M等于N。

皮亚诺公理是什么意思？我们可以把该结构投射到经验对象，看看它代表着什么。当这组公理不是描述符号系统，而是人做受控实验（受控观察）时，我们会发现皮亚诺公理的背后正是受控实验（受控观察）的普遍可重复性。当一个元素代表某一次受控实验（受控观察）时，所谓后继关系，是做一次受控实验（受控观察）后，还可以做下一次同样的受控实验（受控观察），或某人做某一受控实验（受控观察）后，另一个人可以做同样的受控实验（受控观察）。

此外，皮亚诺第五公理保证了数学归纳法的成立，因此又被称作归纳公理。这一公理对应着如下原则：某人做某一次（个）受控实验（受控观察），能得到某个结果。只要下一次控制同样条件，下一次（或另一个人做同样的）受控实验（受控观察）亦能得到同一结果。这样一来，只要控制某一组条件，在任何情况下（或任何人）必定能得到同一结果。我在《消失的真实》中将其称为受控实验（受控观察）的普遍可重复，它是科学经验真实性的最终标准。

我在导论中指出，量子力学在今天已经证明“客观实在为真”并非永远正确的。因为当对象依赖主体时，和主体可重复控制无关的客观对象有时并不存在。这时，只能用受控实验（受控观察）能不能普遍可重复来判别实验对象和相应的性质是否为真。换言之，“普遍可重复的受控实验（受控观察）为真”，已经成为科学界判定科学真实的金科玉律。它是比“客观实在为真”更为基本的真实性基础，而表达自然数的符号结构居然和判定科学真实的受控实验结构相同。这表明自然数的定义虽不能用逻辑推出，但正好描述了科学真实的结构。

我认为，自然数的皮亚诺公理具有重要的认识论意义，因为它第一次用符号表达了科学真实的结构。换言之，真实性本质上是一种结构，它可以是经验的，亦可以是符号的。它在代表符号时，可以和经验没有关系。表面上看，皮亚诺公理5个条件中条件1有“1”，“1”是来自经验的，是数“数”时定义的单位。其实这里“1”只是一个起始符号，可以和测量单位无关。我们亦可以用“0”作为起始符号，这时得到了包含“0”的自然数集，这是自然数的另一种等价的定义。读者或许会感到奇怪：如果没有测量单位“1”，仅仅从符号的后继关系以及它们互不等同，就能定义自然数吗？当然不能！如我们给出序列a1、a2、a3、a4、a5、a6……，它们也满足“对该集合任何一个元素都可规定一个后继元素，使它和已经给出的元素不同”，这一序列和自然数也一一对应，但它并不是自然数集。为什么？因为皮亚诺第五公理不成立，故上述序列不是自然数，而只能是自然数的子集合，或和自然数集合一一对应的另一个集合。

这里至关重要的是，定义自然数需要数学归纳法即皮亚诺第五公理成立。条件5的妙处在于：它不仅用数学归纳法成立来代替数“数”单位，还指出所谓满足一个命题P的所有集合只能由数学归纳法有效地给出。也就是说，数学归纳法成立可以转化为两个等价的法则。第一，如果一个命题P对其中某一元素成立，可以推至对其后继元素亦成立，那么该命题对该集合所有元素成立。第二，只有数学归纳法才能有效地给出具有P的所有对象（元素），形成一个有关对象（元素）的全称命题。

图：苏格兰大卫休谟像

早在18世纪，休谟就感到数学归纳法与经验世界似乎没有必然的联系。事实上，皮亚诺公理及其包含的数学归纳法，讨论的不是客观存在的经验世界，而是具备自由意志的主体如何给出符号系统，以及如何从控制（或相应的符号）来定义具有某种规定性的“所有”对象。让我们分析皮亚诺前4条公理，在客观世界，经验上给出有限个不同对象（包括主体）后，并不一定存在和已知对象不同的下一个对象。然而，对主体实行控制而言，主体做过有限次的控制后，一定还可以做另一次控制。

也就是说，皮亚诺前4条公理是在描述主体的自由，而第五公理归纳公理则给出了“所有”具有某种规定性的对象。什么是“所有”？具有某种规定性（性质）的所有对象涉及对象的全称，其可能有无穷个。这是一个以前无法讲清楚的概念，只有数学归纳法提供了给出无穷个对象的有效方法，它可以证明有关对象的全称陈述为真，这一点对真实性哲学特别是定义科学真实至关重要。

如果把皮亚诺公理中的元素视为主体，某一元素的后继元素为不同于某一主体的另一个主体，归纳公理正对应着如下原则：如果某一对象对某一主体成立，能得到对另一个主体也成立，则该对象对所有主体成立。如果皮亚诺公理中的元素是用某一种方法定义的一个对象，某一元素的后继元素为不同于某一对象的另一个对象，归纳公理则指出：如果某一对象是真的，能得到对下一个对象也是真的，则用某种方法规定的所有对象都是真的，“有关对象为真”的全称陈述成立。

这一切又有什么意义呢？我在《消失的真实》导论中指出，所谓真实性是对象和主体的一种关系，这种关系构成主体对对象之评价，以及其与评价对象互动的前提。但我在《消失的真实》中并没有论述这种关系是什么。在本书导论中我指出，真实性作为主体X和对象Y的关系，必须通过控制手段M来界定。也就是说，真实性是主体X、对象Y及M三者之间的关系，并指出X和Y的真实性取决于M的可重复性。而M的可重复性是指做过一次后还能再做一次，当可重复性满足数学归纳法时，则得到真实性作为一种关系的普遍成立。由此可见，数学归纳法对判别真实性是否普遍成立具有关键性意义。

现在，我们得出一个令人吃惊的结论：自然数作为某种特定结构的符号系统，居然代表了所有悬置在对象之外的主体和对象的关系，定义了科学真实必须满足的前提。当这种符号系统不存在时，上述关系就不存在，这时说“某一对象为真”将不再有意义。

客观实在和普遍可重复的受控实验

上面的结论有点不可思议，难道自然数不存在（即它不是真的），就不能凭“客观实在”来判别经验世界对象的真实性吗？其实，只要我们将分析严密化，就会发现确实如此！

图：洞穴理论

人如何知晓对象是客观实在的？所谓客观实在，是指该对象必须有如下两个性质。第一，主体对其观察不会改变该对象；第二，该对象对所有主体（观察者）为真。“所有主体（观察者）”是主体（观察者）的全称，它包含了无穷多个主体（观察者）。定义所有主体（观察者）需要如下程序：控制某一组条件，其可以让某一主体（人）通过相应的操作确定观察到对象存在，只要仍控制这一组条件，下一次另一个主体（人）仍可以通过相应的操作确定观察到对象存在，这样该对象对所有主体（观察者）均存在。

这正是利用数学归纳法定义了所有主体（观察者），它也是确认该对象为真所必不可少的前提。我们将满足上述程序的观察称为一个普遍可重复的受控观察。受控观察普遍可重复之符号表达就是自然数。

简而言之，实在论哲学认为客观性就是真实性，客观实在为真似乎是不需要证明的。但实际上，确证对象为客观实在，必须依靠一个普遍可重复的受控观察。只有在受控观察普遍可重复之时，对象的客观实在才能得到证明，也就是为真。普遍可重复的受控观察和自然数存在一一对应关系。由此可以推知，如果自然数不存在，相应的观察不可以和一个自然数集一一对应，这就意味着此对象的真假无法通过一个普遍可重复的受控观察加以确认，即使该对象被当作“客观实在”，它亦可能不是真的。

让我们暂且回到《消失的真实》第三编举过的例子。“这里存在渡鸦”和“尼斯湖有湖怪”分别为两个表达客观实在的陈述。表面上，渡鸦是客观实在，它保证了第一个陈述的真实性。某人在某时看到过尼斯湖怪，尼斯湖怪似乎也是客观实在，但客观实在不能保证第二个陈述的真实性。上面两个陈述的差别在哪里呢？对于第一个陈述，我们能控制一组条件（如把渡鸦关在笼子里或走近渡鸦），对任何一个想确证该陈述的主体（人），我们可以一次又一次地重复这组控制条件（把笼中渡鸦给人看或看到停在树上的渡鸦），从而证明相应陈述为真。对于“尼斯湖有湖怪”这一陈述，则并不存在这样一组条件，即找不到相应的受控观察。除非某一天真的抓到了尼斯湖怪，该陈述才和一个普遍可重复的受控观察相对应。

现在我们终于发现逻辑经验主义和分析哲学真实观的破绽了。表面上看，陈述“这一只渡鸦是黑的”为真的条件是客观实在的真实性，因为黑渡鸦客观实在，由符号“这一只渡鸦”和“黑的”用“从属关系”（逻辑）组成的符号串“这一只渡鸦是黑的”才是真的。但实际上，上述符号串只是主体表达有关对象的信息，并不能保证有关对象信息为真。要确认陈述的真实性，除了符号正确地指涉对象外，还需要一个普遍可重复的受控观察：无论谁对上述陈述为真有怀疑，我们都可以把该渡鸦给他看一看。

由此可见，任何客观实在为真的符号表达实际上都是由两个不可分割的部分组成的，一是符号正确地指涉对象，二是指涉对象的符号串必须和一个表达真实性的符号结构——自然数相联系。两个部分缺一不可。简而言之，正因为主体（人）是用符号把握对象的，符号系统正确地指涉对象只是主体获得对象的信息并用符号串表达了该信息，这无法保证对象本身的真实性。保证经验世界的真实性还需要主体具有处理经验信息的某种正确方法。

该方法可以用特定的符号结构表达，这就是自然数（的真实性）。如果表达经验的符号串不对应着结构上具有真实性的符号系统，仅仅靠符号正确地指涉对象，是无法保证任何一个符合逻辑之陈述是真实的，正如获得信息并不能保证信息可靠一样。

经验论哲学认为存在着真实的外部世界，人对外部世界的感知就是认识的基础。现在我们以主体获得外部世界的信息和掌握判断信息的可靠方法取代经验论的出发点，并将其和经验符号表达相联系，这等于是重建了经验论的哲学基础。这就带来一个问题：只要科学以客观实在的事物为研究对象，自然数作为一个代表受控观察普遍可重复的符号集的存在，并与对象是客观实在完全等价，我们为什么不可以用客观实在来代表受控观察的普遍可重复呢？只要两者真的完全相同，逻辑经验主义和分析哲学的主张仍然正确，我们并不需要一种取代它的新哲学。

事实上，上述观点是错误的。为什么？根据客观实在为真的原则，确证的永远是单称陈述。正因如此，20世纪笼罩在逻辑经验论和分析哲学阴影下的科学哲学都认为全称陈述只能证伪。我在《消失的真实》第三编中以合成生物学中想象人造渡鸦为例，证明当可以通过一个普遍可重复的受控实验制造出渡鸦，并发现其为黑时，“一切渡鸦为黑”不再是一个猜测。人造渡鸦一旦被制造出来，它亦可以被认为是某种客观实在，但是其对应的全称陈述可以被确证。在实验室合成渡鸦和在自然界发现渡鸦有什么不同呢？

关键是某些客观实在可以是人造的。人造渡鸦对应着普遍可重复的受控实验，我在后文将指出，在很多情况下受控观察只是受控实验退化的结果。

总之，受控观察普遍可重复不可以由客观实在来取代。更何况人类的认识论除了必须涵盖人造物在内的形形色色的客观实在外，还要面对非客观实在的真实性。由此可见，逻辑经验论和分析哲学的真实观必须被更广泛的真实观取代。为了理解这种新的真实观，首先要去分析人造客观实在和自然界被观察到的客观实在之差别。如前所述，当人造渡鸦仅仅是被观察的对象时，我们不能说一切人造渡鸦为黑是真的；只有其被一个普遍可重复的受控实验制造出来之后，一切人造渡鸦为黑才是真的。在这一切的背后正是受控实验和受控观察的差别。换言之，我们必须去问：什么是受控观察？在什么前提下一个普遍可重复的受控观察可以转化为一个普遍可重复的受控实验？

受控实验及其结构

20世纪科学理论对人类认识论最大的贡献是严格定义了什么是观察。在此之前，观察仅仅被视为人对客观实在的感知，实际上它是主体获得对象的信息。伴随这一观点的流行，信息论作为一门全新学科崛起了。为了确保对象的信息是可靠的，主体必须可以控制获得对象的通道，即它是一个受控观察。所谓受控观察指的是，通过控制某一组条件，可以让某一主体（人）通过相应的操作确定观察到对象。

何为“控制某一组条件”？何为“观察到”？控制某一组条件是指主体可以进行一系列自由选择，如选择自己的空间位置去面对某一对象，或选择某些东西做成一个装置（如笼子或望远镜）。“观察到”是主体得到对象的信息。换言之，控制某一组条件实为主体X选择可控制变量C，而所谓观察到对象存在，是指X控制C后，存在一个通道L，使得对象O的信息可以通过L到达X。整个过程可以表达为下图。

图：受控观察

受控观察和一般观察不同，其强调观察过程的完全可控，完全可控的目的是保证信息的可靠。正因为观察实为主体通过控制条件获得对象的信息，观察条件完全可控意味着它具有控制过程的普遍可重复性，据此可以得出一个结论：为了保证信息的可靠，要求获得对象信息的过程（观察）是可以任意重复的。

因“受控观察可重复”和“获得信息为真”等价，故必须严格定义受控观察可重复。受控观察可重复包括两种情况。第一，受控观察对某一主体Xn可重复，即Xn实行第一次控制C并观察到O后，能实行下一次控制C并也观察到O。这时，O对Xn是真的。第二，受控观察对所有主体可重复，即不仅第一种情况成立，且当O对主体Xn为真时，对Xn+1亦为真。也就是说，在控制变量C和通道L不变的前提下，将某一个观察主体Xn变为另一个观察主体Xn+1，受控观察结果仍然可重复。这时，O对所有主体X均为真。我们将满足上面两个前提的受控观察称为一个普遍可重复的受控观察。

一个普遍可重复的受控观察包含了所有的主体，但它只能形成一个有关O的单称陈述。为什么？定义所有主体需要数学归纳法，所有主体由“当O对主体Xn为真时对Xn+1亦为真”得出。这里，变换主体亦是一个受控过程。由于受控过程规定的全称只包含观察者，不包含O，这样被确证的有关O之陈述只能是单称陈述。在什么前提下，有关O的全称陈述可以被某种受控过程确证呢？根据前面的分析，O必须如同控制条件和主体那样一次又一次可重复，且满足数学归纳法。也就是说，O属于主体可以控制的变量。也就是说，L的存在不仅使主体可以获得对象的信息，还包括X通过选择C和L对O实行控制。这样，O从可观察变量转化为可控制变量Y，即主体和对象之间存在如下图所示的结构。

图：受控观察

该结构最大的特点是Y不仅是可观察变量，还是可控制变量。我们称这一结构为受控实验。与受控观察普遍可重复的定义类似，当某一个受控实验不仅对某一主体可重复而且对任何主体均可重复时，我们称其为一个普遍可重复的受控实验。

当受控实验普遍可重复时，数学归纳法证明所有Y对所有主体均是真的。这里，所有的Y可以形成一个全称陈述。也就是说，受控实验普遍可重复对应着Y的全称陈述为真。正因如此，现代科学理论大多是用全称陈述表达的，我们把受控实验作为现代科学的基础。

综上所述，普遍可重复的受控实验和普遍可重复的受控观察之间的差别在于，Y不仅是可观察变量（主体可以获得其信息的对象O），还是可控制变量。所谓可控制变量，是指它和C集合中的元素一样，是主体X可以进行自由选择的。当然，X对Y的选择，需要通过选择它掌握的可控制变量集C和通道L。正因为Y也是新的可控制变量，可以将其加入主体掌握的可控制变量集C中，从而扩大主体可控制变量的范围。这时，受控实验中Y和C可被视为同一类，即可以建立一个将Y并入C的反馈。

也就是说，受控实验存在着两种类型。一类是Y加入C后，会形成一个和以前不同的新受控实验，我们称之为可迭代的受控实验。另一类是Y加入C后，并不足以形成一个和以前不同的新受控实验，或加入C只能形成一个新的受控观察。对后一种情况，受控实验是不可以自我迭代的。

总之，我们得出如下结论：科学经验的真实性建立在普遍可重复的受控观察和受控实验之上，其符号表达均为自然数。受控实验分为可自我迭代与不可自我迭代。对可自我迭代的受控实验而言，迭代形成一个新的受控实验，其出现意味着受控实验的扩张。对不可自我迭代的受控实验而言，将可控制变量Y加入C虽不能形成一个新的受控实验，但有可能建立一个新的受控观察，它是受控观察扩张之前提。

当我们用符号串来表达科学经验真实时，普遍可重复的受控观察对应着被确证的单称陈述（符号串），普遍可重复的受控实验则对应着被确证的全称陈述（符号串）。科学真实的符号表达是被证明为真的单称和全称陈述（符号串）所组成的。

对于一个彻底的经验论者，当客观实在不能作为真实性的最终基础时，只能接受普遍可重复的受控实验和受控观察作为科学真实的基础。“普遍可重复”实为某种结构，这种结构本身既可以是经验的，也可以是符号的，其符号表达就是自然数。如此一来，我们不得不接受自然数不指涉经验对象时，它本身也是真实的。前面在讨论定义自然数的皮亚诺公理时，我指出这还是一种规定所有相关对象的符号结构。换句话说，只要把一个符号对应一种受控实验，自然数的结构就给出了所有受控实验。这样一来，我们也就可以研究受控实验通过组织和自我迭代扩张与一般受控实验的关系了。

本文系摘选自《真实与虚拟》一书第一章三至五节，为便于阅读，部分段落做了拆分和删减，推文标题为编者所拟，学术讨论请以原文为准。文中部分配图来源于网络，无特定指向，如有侵权请联系公众号后台删除。

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内容编校：恩慧

内容编排：婧婷

编发 审定：船长

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