豆瓣8.7，数万人读过，真正的初等数论入门读物！

数论其实就是研究整数性质的数学，被誉为“最纯”的数学领域。在20世纪前，数论还一直叫算术呢。

但是，千万别以为整数就变不出什么花样。正整数按乘法性质划分，可以分成质数、合数、1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等。

也就是说，很多问题虽然形式上十分初等，解决起来却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。很多知名数学家都为数论都发展作出过贡献，包括费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人。

高斯有过这么一个经典比喻：「数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。」

——卡尔·弗里德里希·高斯

《数学女王的邀请》，被读者称为真正的初等数论入门读物，作者远山启从数的由来说起，如搭积木一般，层层递进，揭示出整数宇宙的深刻秩序。

《数学女王的邀请：初等数论入门》

作者：[日]远山启

译者：逸宁

01

小学时期的高斯

通过前文的介绍，想必大家已经了解到，用同余式能给计算带来极大的便利。在简化计算过程和思考方式等方面，可以说同余式是一项伟大的发明。

同余式是由伟大的数学家高斯（1777—1855）发明的。

高斯于1777年4月30日出生在德国的不伦瑞克。当时的德国由多个小国组成，不伦瑞克也是其中之一。

高斯的父亲是一名泥瓦匠，当时高斯的家庭条件比较贫困。高斯在上小学时进入了比特纳老师的班级学习。

有一天，比特纳老师让学生们计算从1到40的所有数的总和。

其实，比特纳老师当时很有可能只是因为感觉到上课有些疲惫，才故意出了一道题让学生们做，自己打算利用这段时间稍作休息。

对于小学生而言，得出从1加到40的结果需要花费很长时间，而比特纳老师或许是想利用这个间隙在教室里散散步。

然而，比特纳老师刚把教鞭放下，高斯就立马站起来兴高采烈地喊道：“我算出来了！”

老师认为这个孩子肯定是哪里搞错了，于是就走过去瞥了一眼高斯的石板。令老师感到震惊的是，高斯的石板上确实写着正确答案820，而且他的计算方式并非像其他孩子那样，将1,2,3,···逐一相加，而是将1和40、2和39、3和38等首尾组合两两相加。这样一来，每组数字相加的结果均为41，一共有20组，所以答案为41×20=820。

比特纳老师对此感到震惊不已，没想到这个孩子竟然独自发现了等差数列的求和公式。他认为，这个孩子将来一定会成为一名颇有成就的数学家。

后来，比特纳老师又从德国的汉堡买来一本数学书送给高斯阅读。高斯对这本书爱不释手，并在书的封皮背面写道：“我很喜欢这本书。”

02

发现“黄金定理”

在比特纳老师的学校里，还有一位叫巴特尔斯的年轻教师，他后来成为了俄国喀山大学的教授。巴特尔斯发现了高斯的数学天赋，1788年，他专程前往高斯所在的中学任教。

高斯的父亲并不指望自己的儿子能学有所成，而是希望高斯能协助自己的泥瓦匠工作。他甚至觉得，年少的高斯在夜里学习简直就是在浪费灯油。

不过，高斯的母亲却很支持高斯，她想方设法要让高斯继续接受教育。在巴特尔斯老师和母亲的努力下，高斯获得了由布伦斯维克公爵资助的学费。高斯在15岁时考入高中，他不仅要学习数学，还开始学习希腊语和拉丁语等古典语言，并取得了惊人的进步。

在3年大学期间，高斯通读了过去众多伟大数学家的著作，最用功学习的是牛顿的《自然哲学的数学原理》。这本不朽的杰作记述了从力学原理到行星运动的方方面面。

另外，在校期间他还致力于数论的研究，并发现了被他称为“黄金定理”的二次互反律。

除此之外，他还发明了前文中用三条横线表示的同余式符号。

高斯在18岁时进入著名的哥根廷大学学习。完成学业后，他在1807年到1855年间一直作为教授留校工作，哥根廷大学也因此成为当时世界范围内的数学研究中心。

不过，高斯在进入大学后也曾为前途感到迷茫，不知自己该成为一名数学家还是一名语言学家。

03

解决正n边形的作图问题

高斯在大学的第二年，也就是1796年的3月30日，终于决定要成为一名数学家。

因为在这一天，他发现了正十七边形的尺规作图法。想必大家都知道，我们只用直尺和圆规就能画出正三边形（等边三角形）。

另外，我们也能利用尺规作图法画出正四边形、正五边形和正六边形。

但是，我们却无论如何也画不出正七边形。古人曾尝试使用各种方法，最终都以失败告终了。

自古以来，有很多人研究过用尺规作图法来画正多边形的问题，但只有高斯真正地解决了这个难题。

就在1796年3月30日，高斯发现了正十七边形的尺规作图法。

他用数论而非几何学的方法解决了这个问题，也对“当n为哪些整数时，可以用直尺和圆规作出正n边形”这一问题做出了完整的解答。

他给出的答案如下：当ϕ(n)=2s且只有满足该条件时，我们才能用直尺和圆规作出正n边形（关于ϕ(n)，请参考本书第5章第2节）

由于这一定理的证明过程超出了本书的范围，所以我在此将其省略。

不过，该定理确实解决了有关正n边形的难题。我们可以试着将一些具体的数值代入n，即可求得下列ϕ(n)：

因此，我们可以通过ϕ(n)的数值判断能否利用尺规作图法画出正n边形。

当n＝17时，ϕ(17)=16=24，所以根据高斯发现的定理可知，可以用直尺和圆规作出正十七边形。

对于高斯而言，1796年3月30日无疑是值得纪念的一天，他也从这一天起开始坚持写日记。

高斯出身贫寒，为了节约纸张，他在写日记时故意把字写得很小、很密。他的这些日记中，记载了大量当时数学领域的重大发现。

04

代数学基本定理

高斯在哥廷根大学的学习生活结束于1798年，这是他在数学领域最活跃、最高产的时期。

其间，他独立完成了以数论为核心的学术巨著《算术研究》。

1798 年，高斯转入黑尔姆施泰特大学，之后提交了自己的学位论文。这篇论文的内容便是现今所谓的“代数学基本定理”。

想必一定有读者学过一元二次方程吧。所谓的一元二次方程，就是指形式为

的方程。该方程的根可以用以下公式表示。

如果根号中的数是正数，那么就是实数。如果根号中的数是负数，那么其结果就是复数而非实数。

也就是说，如果不将数的范围从实数扩展到复数，那么就无法求解一元二次方程。

反言之，只要扩展到复数就能解开任意一元二次方程。

那么，一元三次方程、一元四次方程等高次方程的情况又如何呢？高斯的学位论文给出了这个问题的答案：

也就是说，只要将数的范围扩展至复数，那么就能解开包括一元二次方程在内的一元n次方程。

《算术研究》于1801年出版，当时的高斯只有24岁。这本书可以说是高斯最杰出的著作，它的出版对于数学的发展史而言也是具有划时代意义的重大事件。

此后，高斯在数学的所有领域都取得了惊人的研究成果。可以说，几乎不存在他不曾涉及的数学领域。

此外，高斯的研究还不仅局限于数学，在天文学、物理学、力学和地质测量等领域也都有他活跃的身影。在电磁学中，至今还在使用“高斯”这个单位。

高斯于1855年2月23日逝世，享年78岁。不过，

只要数学仍在，他的名字就永远不会消失。

《数学女王的邀请：初等数论入门》

作者：[日]远山启

译者：逸宁

日本长销数论入门科普读物，日本学校图书馆协议会选定图书。

迷倒高斯、费马、欧拉的“数学女王”，究竟有何魅人魔力？

本书是初等数论入门的通俗科普读本。书中以身边的生活之事为例，由浅入深、生动形象地介绍了数的奇妙性质与规律。作者用直观、易懂的讲解，引领读者去体会数论证明的不可思议与酣畅淋漓，在惊奇与畅快之中提升对数学的理解程度。