【解题研究】于细微处现素养——八年级填空压轴题

【解题研究】于细微处现素养——八年级填空压轴题

八年级数学命题要求在难度控制的前提下，体现学科素养，通俗点讲，就是不能太难，还要有新意。基于以上要求，在填空压轴题中，科学设置情境问题是关键，以现有知识框架，包容核心素养要求。

题目

现在关于x的三个多项式，从左往后依次为：3x-2，2x+2，x+6；

①存在自然数x使得三个多项式的值恰为一组勾股数；

②记G(x)=a(3x-2)+b(2x+2)+c(x+6)(a、b、c均为正整数)，当x≥1时，G(x)的最小值为25，则满足条件的a、b、c的取值共有6组；

③对任意相邻的两个多项式用左边的减去右边的并把所得的结果放在两者之间称之为“顺差放置”。现对这三个多项式进行第一次“顺差放置”后得到的多项式为：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，再对第一次“顺差放置”后的所有多项式进行第二次“顺差放置”……，按此规律进行下去，第2026次“顺差放置”后得到的多项式的和是4058x-16202.

以上说法正确的是____________.(填序号)

解析：

01

①判断是否勾股数的方法并不难，让其中一个多项式的平方等于另两个多项式的平方和，从而列出一个方程，该方程有正整数根则存在勾股数；

学生遇到的第一处困扰在于，这三个多项式哪个最大？若一个个试，难免浪费时间，由于这三个多项式的值均与x取值有关，所以最合适的视角是一次函数；它们的k值分别是3，2，1，均属于“上升”直线，且增幅依次减少，有可能3x-2的值最大，若学生对图像比较熟悉，如下图：

不妨假设3x-2为斜边，减少试错次数，列方程如下：

(3x-2)²=(2x+2)²+(x+6)²，整理得(x+1)(x-9)=0，当x=9时，这三个多项式的值分别是25，20，15，恰好是一组勾股数，所以存在性满足，①正确；

02

②首先整理G(x)=(3a+2b+c)x-2a+2b+6c，再重点解读“当x≥1时，G(x)的最小值为25”，此时我们应该将G(x)看作一个一次函数，而在x≥1，即平面直角坐标系中，x=1的右侧区域中的函数图象，都在x=1时点的上方，说明它的斜率k必须是正数，即3a+2b+c>0，此时我们将x=1代入，得:

G(x)=a+4b+7c=25

接下来是枚举，这其实也有技巧，系数最大的项是7c，所以c的取值可能为1，2，3，而当c=3时，a+4b=4，这不符合a和b均为正整数的要求，故c只可能是1或2，下面分情况讨论：

当c=1时，a+4b=18，取b=1得a=14；取b=2得a=10；取b=3得a=6；取b=4得a=2，总共4组满足条件的取值：

a=2，b=4，c=1；

a=6，b=3，c=1；

a=10，b=2，c=1；

a=14，b=1，c=1；

当c=2时，a+4b=11，取b=1得a=7；取b=2得a=3，总共2组满足条件的取值：

a=7，b=1，c=2；

a=3，b=2，c=2；

综上，总共有6组满足条件的取值，②正确；

03

③不妨按定义来进行“顺差放置”：

初始：3x-2，2x+2，x+6，和为6x+6

第1次：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，和为8x-2；

第2次：3x-2，2x+2，x-4，-x-6，2x+2，x+6，x-4，-10，x+6，和为10x-10；

通过比较发现，每次“顺差放置”后，和都增加了2x-8，依次类推，第2026次“顺差放置”后，和应该增加了2025个2x-8，得到：

8x-2+2025(2x-8)=4058x-16202，故③正确.

解题思考

这道题涉及到了八年级数学中的勾股数、整式运算、一次函数等知识点，考察学生的运算能力、推理能力、模型观念等素养内涵，具体体现在解题过程中，素养高的学生，多数会采用高效快捷的解题思路，例如①中的勾股数判断，就有学生看到多项式中含减号，下意识认为它是最小的取值，从而浪费了一次机会，而对一次函数图象非常熟悉的学生，会发现当x>4时，增幅最大的那个才可能是斜边；

而在结论②的判断中，把G(x)看作一次函数之后，理解函数增减性了，才明白最小值为25是什么意思，如下图：

只有k>0时，才会出现区域中的最小值；

对于结论③，其实也可以用整体思想，三个多项式分别设为A、B、C，和为A+B+C；第一次“顺差放置”后，A，A-B，B，B-C，C，其和为2A+B，相对增加了A-C；第二次“顺差放置”后，A，B，A-B，A-2B，B，C，B-C，B-2C，C，其和为3A+B-C，相对增加了A-C；

发现每次“顺差放置”后，和都会增加A-C，即2x-8，这样下去的规律就找到了，再去判断就容易得多；

通常情况下的填空压轴题，都会存在一些减轻计算量的技巧，这些所谓的技巧并不是需要记忆的内容，它们无一例外来自于对数学的深入理解，想到这一处了，就简单了，想不到，会浪费很多时间甚至想不出来.