湖北
【解题研究】函数观念下的动点——2026年河北省中考数学第24题
初中阶段的函数概念通常可理解为两个变量之间的关系，这里的关系可以是数量关系及变化规律，在几何动点问题中，由于点的运动包含数量关系和位置关系，它们之间也存在变化规律，所以理论上用函数观念去理解动点间的关系是可行的，只要通过观察发现动点问题中的变量（数学眼光），并用合适的数学语言去描述，这类问题就有了解决方法。
题目
如图15-1和图15-2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，正方形DEFG的顶点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，CA上。当点D从点B出发沿BA向点A移动时，点E，F随之分别在BC，CA上移动（正方形DEFG的大小发生变化），当点F与点C重合时，移动停止。
(1)tan∠ABC=___________；
(2)如图15-1，当∠BED=45°时，求证：BE=CE；
(3)①如图15-2，当BD=20/7时，求BE的长；
②当BE=40/7时，直接写出正方形DEFG的边长。
(4)在移动过程中，每当点G移动1个单位长度时，点E均移动d个单位长度，直接写出d的值。
解析：
0 1
(1)送分题，作△ABC底边上的中线，将其分割成两个直角三角形，每个直角三角形边长都是6，8，10，则tan∠ABC=4/3；
0 2
(2)由∠BED=45°，∠DEF=90°可得∠CEF=45°，再加上∠B=∠C，DE=FE，可证△BED≌△CEF，如下图：
所以BE=CE；
0 3
(3)①由正方形想到分别过点D，F向BC边作垂线，垂足分别是点M和点N，如下图：
对于Rt△BDM，它的三边之比为3:4:5，所以可分别示出DM=16/7，BM=12/7，同样的Rt△CFN三边之比也为3:4:5，所以设FN=4a，则CN=3a；
很容易证明其中的△DEM≌△EFN，所以ME=4a，EN=16/7，根据BC=12列方程12/7+4a+16/7+3a=12，解得a=8/7，则BE=12/7+4a=44/7；
②借助前面的方法，设BD=5b，DM=4b，BM=3b，如下图：
仍然由BC=12得7a+7b=12，再由BE=40/7，得4a+3b=40/7，解这个二元一次方程组得a=4/7，b=8/7，回到Rt△DEM中，利用勾股定理求出DE=16√5/7；
0 4
(4)由于点G和点E均为动点，研究它们之间的运动路程的数量关系，需要确定共同的起点，借助第2小题的特殊位置，不妨取BC中点H，连接AH，当点D从点B朝点A运动时，点E从AH右侧向中间靠拢，点G从AH左侧向中间靠拢，我们关注这两个动点到AH的距离，并尝试用参数a，b来表示：
从上图可知IG=7b，IJ=6，则GJ=6-7b，而BE=4a+3b，前面曾求过7a+7b=12，则a=12/7-b，所以BE=48/7-b，可求出EH=48/7-b-6=6/7-b，我们发现GJ:EH=7:1，于是将GJ和EH看作两个变量，它们始终满足GJ=7EH的关系，所以d=1/7.
解题思考
由对称性可知，当点E在AH左侧时，点G在AH右侧，它们到AH的距离依然满足这个函数关系，当然我们也可以选择当点D与点B重合时作为起点(b=0)，但当点D朝点A运动过程中，点E在作“往复”运动，于是又要分不同运动方向再求解，比较复杂，所以本题选择“中间线”作为参照，以点E和点G到AH的距离作为变量，除特殊情况(第2小题)外，点E和点G始终位于AH两侧，发现这一特征，会极大减轻计算量。
作为教师解题用几何画板或GeoGebra作图是一项基本功，但这道题的图要作出来并不容易，点D是动点，而整个正方形形状确定，三个顶点要求在三边上，这并不好画，所以当我们在AB上画出点D之后，点E在什么位置，是需要先算一下，而在计算的过程中，我们发现第3小题的解法就是作图依据，有兴趣的老师或同学们可以试一试。
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