【解题研究】知其所以然——2026年北京中考数学第16题

【解题研究】知其所以然——2026年北京中考数学第16题

曾经在某一次公开课上，我兴致满满地准备了一道压轴题的四种不同思路（解法），只要学生想到某个突破口，都能顺利引导他们完成解题，但事实上这节课我个人认为并不十分成功，虽然大部分学生都完成了这道题，而且方法也各不相同，表面上看通过老师引导，学生用不同思路完成了，课堂效果是拉满了，但有一处细节让我感觉到班上的学生有一种根深蒂固的习惯，就是只要做出来就好了，其余解法关我什么事？

特别是当第一批聪明的孩子完成之后，压根就没心思继续听下去，就急着去完成下一道题目，当然肯定会被卡住，因为原本设计的就是通过第一道题的思想方法来完成第二道，难度提升了，前面如果不吃透，后面就不容易找思路了。

后来的教学中，无数次遇到过类似的场景，并不是说孩子们不聪明，而是太聪明了，也太功利了，只要做出来就好了，搞那么多花样干嘛？

做出一道题，和理解一道题，是完全不同的两件事。

题目

如 图 所 示 ， 公 路 旁 自 西 向 东 依 次 有 ， ，

共6处住宅和一所学校，每个工作日早上，每处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学生需从家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校。

已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5min，校车

在 相 邻 两 处 住 宅 间 的 行 驶 时 间 均 为 ， 校 车 从

处至学校的行驶时间为20min。一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其它因素）。

(1)若车站设在

若 车 站 设 在 ， 则 住 在 处 的 学 生 的 理 想 通 勤 时 间

为____________min；

若 当 车 站 设 在 处 时 这 名 学 生 的 理 想 通 勤 时 间 之 和 最 小

，则k=_________.

解析：
(1)对于住在A6住宅的学生，他需要4×2.5分钟到达车站，然后校车需要4×1+20分钟到学校，所以这位学生的理想通勤时间是34分钟；

(2)可通过列举法求解：

当车站设在A1处住宅时，即k=1，如下图：

除A1处住宅的学生外，其余学生分别需要步行1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5，5×2.5分钟到达车站，然后校车从A1到学校的时间是25分钟，因此这6名学生的理想通勤时间之和是(1+2+3+4+5)×2.5+25×6=187.5分钟；

当车站设在A2处住宅时，即k=2，如下图：

除A2处住宅的学生外，其余学生分别需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5分钟到达车站，然后校车从A2到学校的时间是24分钟，因此这6名学生的理想通勤时间之和是(1+1+2+3+4)×2.5+24×6=171.5分钟；

当车站设在A3处住宅时，即k=3，如下图：

除A3处住宅的学生外，其余学生分别需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，2×2.5，3×2.5分钟到达车站，然后校车从A3到学校的时间是23分钟，因此这6名学生的理想通勤时间之和是(1+2+3+2+1)×2.5+23×6=160.5分钟；

当车站设在A4处住宅时，即k=4，如下图：

除A4处住宅的学生外，其余学生分别需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，2×2.5，3×2.5分钟到达车站，然后校车从A3到学校的时间是22分钟，因此这6名学生的理想通勤时间之和是(1+2+3+2+1)×2.5+22×6=154.5分钟；

当车站设在A5处住宅时，即k=5，如下图：

除A5处住宅的学生外，其余学生分别需要步行1×2.5，1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5分钟到达车站，然后校车从A3到学校的时间是21分钟，因此这6名学生的理想通勤时间之和是(1+2+3+4+1)×2.5+21×6=153.5分钟；

当车站设在A6处住宅时，即k=6，如下图：

除A6处住宅的学生外，其余学生分别需要步行1×2.5，2×2.5，3×2.5，4×2.5，5×2.5分钟到达车站，然后校车从A1到学校的时间是20分钟，因此这6名学生的理想通勤时间之和是(1+2+3+4+5)×2.5+20×6=157.5分钟；

综上所述，理想通勤时间之和最小时，k=5.

但作为一道填空题，耗费如许多的时间去计算，再比较，未免太浪费，有没有相对简单一点的方法，让计算量大幅减少呢？

我们不妨比较这几个算法中，当车站从A1到A6，校车行驶时间是依次减少的，从25分钟到20分钟，请注意在求和的时候，这个时间要乘以6；

另外车站从A1到A6，每个学生步行的时间不同，但也有规律可循，车站在A1和A6处，A2和A5处，以及A3和A4处，学生步行时间相同，为方便观察，我们将这些算式列在下面：

(1+2+3+4+5)×2.5+25×6①

(1+2+3+4+1)×2.5+24×6②

(1+2+3+2+1)×2.5+23×6③

(1+2+3+2+1)×2.5+22×6④

(1+2+3+4+1)×2.5+21×6⑤

(1+2+3+4+5)×2.5+20×6⑥

算式①至⑥中，前半部分是2.5乘以五个数的和，算式③和④最小，后半部分的结果依次递减；显然前后部分相加之后，算式③的值大于算式④的值，所以我们只需要比较算式④和算式⑤即可，从算式④到算式⑤，前半部分增加了2个2.5，即5，而后半部分减少了6，相加之后仍减少了1，所以算式④的值大于算式⑤的值；

同样的我们来比较算式⑤和算式⑥，前半部分增加了10，而后半部分减少了6，相加之后仍增加了4，所以算式⑥的值大于算式⑤的值，最后得到算式⑤的值最小，这并不需要将全部数字计算出来，只需要口算其中的一部分，大大减轻了计算量。

全部数据列表如下：

解题思考：

这道题，用列举法挨个求和计算，无疑会花很多时间，并且k取4和5时，时间和相差极小，稍不留神会失误，在阅读理解题目条件时，可能有学生对“时间和”的理解不到位，没有将校车时间乘以6，要注意这个时间和，是指每个学生的理想通勤时间，既然每个学生都有一段乘坐校车的经历，那么校车时间必须乘以6。

单纯讨论这道题涉及到的知识点，是非常简单的，小学知识也能求解，但它蕴含的数学逻辑却是我们在找规律、列表格统计等活动中经常用到的，前面所列表格中的数字其实是“对称”的，步行时间和若用折线统计图，类似开口向上的抛物线，校车时间若也用折线统计图，类似一次函数图象，总和的变化规律也是先减少，再增加，隐隐有函数味道在里面。

若是这道题在讲解的时候只注重知识点，那么完全可以由小学数学老师来，但若要注重学生的数学素养，必须在初中课堂上注意培养，不是某一节课，是所有的数学课堂。