东北大学赵亚平教授：非线性方程组的计算机辅助数学方法

作者简介

赵亚平，东北大学机械工程与自动化学院长聘教授，博士生导师，教育部新世纪优秀人才，辽宁省高校优秀人才，沈阳市领军人才。长期从事机械传动啮合理论;新型机械传动装置智能研发、工程微分几何学、非线性方程组的计算机辅助数学方法等领域的研究工作。

在SCI国际期刊发表机械传动领域研究论文近 70篇，曾多次获得省、市、学会的优秀论文奖励、东北大学建龙特聘教授、索通奖教金、校科技新秀等学术荣誉。

曾获得过中国发明协会发明创新二等奖两项、中国商业联合会服务业科技创新二等奖、中国产学研合作创新奖,杰出青年科学家奖(科学中国人年度人物)、国际学术组织 ScienceFather最佳研究者奖等学术奖励。

作者在长期研究机械传动啮合原理过程中，经常需要在齿面上确定某些特征性的点，或者按某些特征性的点在齿面工作范围内出现与否，决定传动副的加工工艺参数和基本技术参数。由于齿面的非线性性质，在解决以上问题时，不可避免地要遇到求解非线性方程组的问题，以及按非线性方程组解的性质，确定它所含参数的问题。这一系列问题的破解，如单独采用既有数值迭代方法，往往不容易收到事半功倍的效果。这些都促使作者不断深入学习、搜集整理散见于不同数学分支中关于非线性方程组的相关知识，并且逐步萌发了撰写相关专门学术著作的愿望。在长期学习、研究的基础上，作者结合自己的研究经验与心得体会著成这本《非线性方程组的计算机辅助数学方法》。本书叙述的各种理论与方法曾被广泛应用于机械传动啮合理论的研究，取得了良好效果。

非线性方程组的求解问题是自然科学与工程技术中经常遇到的数学问题，是定量认识客观世界的体现。在以计算机为代表的现代计算工具广泛普及之前，一般只能求得相对简单的非线性方程组的解析解，相关求解过程往往技巧性较强。在此之后，计算数学获得了突飞猛进的发展，非线性方程组求解成了其分支学科，主流的求解方法为迭代法，此法在一定程度上对求解对象具备普适性，而且强大的计算工具使得计算量已经不再构成迭代法的主要障碍。时至今日，在商业化的数学软件中，如MATLAB，都包含非线性方程组的求解函数，给出适当的迭代初值后，可以获得精度令人满意的非线性方程组数值解。由是观之，起码在实践层面上，非线性方程组的求解问题似乎已经在原则上得到了解决。

然而事情又仿佛并非如此乐观。在具体求解过程中，一些关乎操作性的问题频繁出现在科研工作者面前，譬如，如何给定适当的迭代初值？由于非线性方程组的实数解通常并不唯一，那么如何获得具有实际意义的数值解？如果得到的实数解精度不高，其原因是迭代初值不良，还是方程组在所论求解域中无实解？对于诸如此类的问题如果胸中无数，非线性方程组求解往往难以成功。为了弄清这些问题，有必要审视非线性方程组的求解理论。

迄今为止，介绍非线性方程组求解的书籍，就大的方面而言，可以分为两类：其一专注于介绍非线性方程组求解的数学原理；其二是通过介绍商业化数学软件中的非线性方程组求解函数，说明如何求解非线性方程组，求解非线性方程组的内容占全书篇幅一般不多。在第一类书籍中，主流的是叙述以Newton（牛顿）法为代表的迭代法，同时介绍其他迭代法，这显然是因为迭代法是求解非线性方程组的普遍方法，可以不受非线性方程组类型的限制。此类书籍相对丰富。在这一大类书籍中还有一部分，在论述直接迭代法的基础上，还论述了非线性方程组基于最优化方法的数值迭代解法。由于非线性方程组的求解问题可以转化为最优化问题，一些比较新颖的数值迭代寻优方法也在一定程度上被引入了非线性方程组数值求解领域，例如模拟退火算法、遗传算法、神经网络方法及蚁群算法等。在介绍新型迭代寻优算法的书籍中，非线性方程组求解的内容通常不占很大比重。在介绍非线性方程组求解的书籍中，一小部分是面向非线性方程组中的一类——代数非线性方程组，阐述有针对性的理论与方法。这类书籍中处理非线性代数方程组的主要依据是高等代数中的多项式理论与方法，并且相关知识已经发展成了计算机数学中一门独立的科学——计算机代数的一部分。

上述研究非线性方程组求解原理的书籍，大都属于学术专著或计算数学专业研究生教材。我国大多数普通工程技术人员关于非线性方程组求解的知识主要来自工科研究生阶段的数值分析类课程，其中一般设专门章节讲授非线性方程的求解，附带简介非线性方程组的求解。

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非线性方程组的计算机辅助数学方法购买

赵亚平 著

北京: 科学出版社, 2026.5

ISBN 978-7-03-080763-2

鉴于以上情况，《非线性方程组的计算机辅助数学方法》不再具体阐述非线性方程组的迭代解法，而是倡导根据方程组特点，把非线性方程组划分为代数非线性方程组和超越非线性方程组，分门别类地加以处理。其中超越非线性方程组是包括三角函数、指数函数、对数函数等超越函数的非线性方程组，在一定条件下可以转化为代数非线性方程组，因而代数非线性方程组的研究是非线性方程组研究的基础。全书的着重点也不再仅仅置诸于求得非线性方程组的数值解，而是放在：如何比较实用地判定非线性方程组在设定的求解域中实数解的存在性；如何给定优良的迭代初值；如何按解的性质选定方程组的系数；如何在不求解方程组的前提下，研究其解的性质；等等。

作者按上述原则组织本书内容。绪论部分说明非线性方程组的基本概念，阐述非线性方程组解的特点，介绍非线性方程组求解问题的研究现状，归纳本书特色并叙述本书内容剪裁的原则。第1章面向代数非线性方程展开；第2章面向代数非线性方程组展开；第3、4章面向超越非线性方程组展开，前者阐述以Taylor（泰勒）展开为代表的近似消元法，旨在通过减少未知量的个数，借助绘制图像，研判实数解的存在性，并获取优良迭代初值，后者论述多重网络全局优化法，旨在通过方程组的转化平方和函数在求解域内充分小的全局最小值，达到研判实数解的存在性，并获取优良迭代初值的目的。

本书的特点之一是安排了大量的例题。这些例题，有的放在各章节内，有的集中作为杂例，安排了专门章节，希望通过它们说明所阐述的理论，阐释有关技巧。有的例题还具有水声学、天体力学或最优化理论等背景，反映了非线性方程组求解问题的广泛应用。

归纳起来可以发现，本书既不同于一般的阐述非线性方程组数值解法的专著，也不同于教授MATLAB软件的教程，它把不同数学分支中涉及非线性方程与方程组的知识，经过适当剪裁整合汇集于此，尽显问题导向性质，又不失宽广、坚实的基础理论支撑，在解决问题过程中还能突出计算机辅助的特色。非线性方程组理论对定量认识世界具有较大助益，在自然科学与工程技术等领域都有广泛而深刻的应用，本书希望可以为打通非线性方程组问题从理论到应用的最后一公里贡献一份力量。

本书的相关研究工作得到了国家自然科学基金（50705068、50810105045、51475083、52075083）、教育部新世纪优秀人才支持计划（NCET-13-0116）、湖北省自然科学基金（2007ABA282）、辽宁省高等学校优秀人才支持计划（第二层次）（LJQ2013027）、中央高校基本科研业务费项目（M120503002、N160304012）、教育部重点实验室开放基金（2018B05、MECOF2020B03）等的长期稳定资助，作者在此对资助机构和评审专家深表谢忱。此外，作者感谢辽宁省科学技术协会对本书出版的资助。

据作者所知，严格而言，国内外尚无与本书内容整体一致的同类著作，本书提出的很多理论与方法是首次见诸文献的报道，因而全书的撰写自然带有尝试的性质，加之著者学识所限，书中错谬及不足恐难悉行避免，诚恳希望读者不吝指正。

本文摘编自《非线性方程组的计算机辅助数学方法》（赵亚平著. 北京: 科学出版社, 2026.5）一书“前言”，有删减修改，标题为编者所加。

ISBN 978-7-03-080763-2

责任编辑：姜　红 常友丽

本书是一本关于非线性方程组计算机辅助数学方法的基础性专门学术著作。本书注意力集中于解决在求解非线性方程组领域尚未很好地处理的问题，倡导对方程组进行消元，通过绘制图像判明方程组实数解的存在性，并获取迭代初值，主张对非线性方程组分门别类地加以研究、讨论。本书安排了大量例题，说明所讲述的理论，阐述有关的技巧，在必要处还给出了例题相关的MATLAB程序与数值结果。本书把散见于不同数学分支中涉及非线性方程与方程组的知识，经过适当剪裁整合汇集于此，尽显问题导向性质，又不失宽广、坚实的基础理论支撑，在解决问题过程中还突出了计算机辅助的特色。

本书适合机械、航空航天、土木与建筑等领域有求解非线性方程组需求的工程技术人员阅读。

曲线与曲面的工程微分几何学

赵亚平 著

北京: 科学出版社，2023.4

ISBN 978-7-03-073990-2

（本文编辑：刘四旦）

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