监测预警基础41-这次学透 ARIMA之第2讲：平稳性与差分

系列简介

这是我们一系列原创技术贴，从易到难，每天学习一点。所有内容均为疾控数据分析、科研论文相关，或者说很多和现在的热门监测预警相关，所以我们这个系列就叫“监测预警基础”。

今天是第41节，从今天开始连续大概11讲的内容，我们细化，短篇化，彻底把ARIMA模型搞懂。

今天是学透ARIMA内容11讲的第2讲的内容，学习平稳性与差分——ARIMA 的入门门槛。

上一篇我们讲了疾控人学 ARIMA 的 3 个核心场景，很多同行反馈终于知道这个模型能用到自己的哪些工作里了。

但真正上手建模，第一道门槛往往不是复杂的代码，而是绕不开的「平稳性」和「差分」：

好好的原始发病数据，为什么不能直接建模？非要把数据弄 “平稳”，到底是图什么？差分来差分去，到底在做什么操作？

这一篇我们就彻底搞定这个 ARIMA 入门的第一道坎，全程用传染病监测数据举例，看完就能懂。

其实在这个系列第一讲，我们讲的就是时间序列数据，中间经过这么多内容，我们终于又讲到这，→
ARIMA 是专门给时间序列数据建模的工具，而我们疾控日常工作里，绝大多数监测数据都是标准的时间序列，比如每日报告的传染病报告发病数。
它和我们平时做横断面研究的普通数据最核心的区别是：时间顺序不能乱，前后期的数值存在天然关联—— 本周的流感病例数，一定和上周的病例数有关系，这也是我们能用过去预测未来的基础。
我们都只知道ARIMA的中文全称叫：差分整合自回归移动平均模型，其中这个“自”，不是自动的意思，是自己的意思！

很多教材会直接给定义：“平稳序列的均值和方差均为常数，没有明显趋势和周期性”，这句话看着简单，新手就是摸不着头脑。

换成大白话讲，平稳就是数据的波动规律长期稳定，不会随时间发生本质变化，满足两个核心特征：

均值恒定：数据长期围绕一个固定的水平线上下波动，不会持续上涨、也不会持续下跌，没有明显的上升 / 下降趋势；

方差恒定：数据波动的幅度基本稳定，不会一段时间只在小范围波动，一段时间突然暴涨暴跌。

我们用最常见的两类传染病数据，一眼就能区分：

平稳序列例子：散发期的手足口病周病例数。长期在 30-50 例之间小幅波动，没有持续上升的趋势，也没有固定的大起大落，规律稳定。

非平稳序列例子：年度流感 ILI 监测数据。每年冬天会出现明显的流行高峰、夏天处于低谷（有强季节性），同时整体发病水平可能逐年上升或下降（有长期趋势），波动规律一直在变。

但是拓展一下，平稳也有严平稳和宽平稳这样两个概念区分。

简单说，两者都是用来形容「时间序列的统计规律会不会随着时间推移而变化」，区别只是要求的严格程度天差地别。我们 ARIMA 建模里说的 “平稳”，100% 指的是宽平稳，严平稳是纯理论概念，日常工作基本碰不到。

第一，严平稳（严格平稳）：要求 100% 分毫不差的稳定。这是最极致的平稳，要求所有统计特性全不随时间变化—— 不管是均值、方差，还是分布形状、极端值出现的概率，甚至更高阶的统计规律，只要把时间整体平移（比如把 2022 年的数据整体挪到 2023 年），所有统计性质完全一模一样。

现实里几乎不存在这种完美数据，所以它只是统计学理论研究用，实际建模基本不用。

第二，宽平稳（弱平稳）：只要求核心特性稳定。放宽了要求，只约束 3 个最核心的统计特性，其他细节不做要求：首先是均值恒定，整个序列的平均水平不变，不会一直涨或者一直跌（比如病例数不会持续上升，整体围绕一个固定水平波动）。其次是方差恒定，波动幅度稳定，不会一段时间暴涨暴跌、一段时间又风平浪静。最后是自相关性只和间隔有关，两个时间点的相关性，只跟它们之间隔了多久（滞后阶数）有关，跟具体在哪一年哪一周没关系。比如间隔 2 周的病例相关性，2022 年的第 1-3 周，和 2024 年的第 10-12 周，相关性是一样的。

记住，ARIMA 建模全程只需要关心宽平稳，我们后面要学的 ADF 检验、差分平稳、模型前提假设，全都是针对「宽平稳」；严平稳是纯理论概念，不用花精力纠结，疾控日常工作完全用不到。

这是 90% 的初学者都会卡住的问题：我直接用原始数据建模不行吗？非要差分来差分去，把数据改得面目全非？

核心逻辑非常简单：ARIMA 本质是用「过去的稳定规律」预测「未来」，只有规律不变，预测才靠谱。

举个最直观的例子：流感流行季从 10 月到 12 月，病例数一直呈直线上升趋势，这是典型的非平稳序列。如果你只用 10-11 月的上升规律去建模，去预测 1 月的发病情况，结果一定会严重偏高 —— 因为 1 月流感已经进入下降期，规律已经变了，相当于刻舟求剑。

而平稳化的过程，就是把数据里 “变化的部分”（长期趋势、季节性周期）先剥离掉，剩下稳定波动的核心部分，我们对这部分找规律建模，最后预测的时候再把趋势和周期还原回去。这样既保证了建模用的规律是稳定的，又不会丢失原始数据的信息，最终的预测结果依然对应真实的发病数（软件会自动完成还原，不需要我们手动计算）。

这是我们今天要讲的核心内容，也是要学透ARIMA必须要掌握的一个概念。

差分是 ARIMA 里最常用的平稳化方法，操作非常简单：用两期数据的差值，代替原始数据，从而把趋势、周期这些不稳定的因素 “消掉”。

疾控场景里我们常用三类差分，分别对应不同的数据特征：

1. 一阶差分（d=1）：消除线性趋势
一阶差分就是本期数值减去上一期数值，对应 ARIMA 里的参数 d=1，它最擅长消除「匀速上升 / 下降的线性趋势」。
举个例子：假设某传染病流行前期，病例数每周固定增加 200 例，也就是完美的线性上升趋势：第 1 周 100 例，第 2 周 300 例，第 3 周 500 例，第 4 周 700 例……做一阶差分后，所有差值都是 200，变成了一个恒定的常数，自然就平稳了。

在实际工作中，只要数据有持续的直线上升 / 下降趋势，优先做一阶差分，绝大多数情况下都能解决趋势问题。

2. 二阶差分（d=2）：消除曲线趋势
二阶差分就是对一阶差分后的结果，再做一次差分，对应 ARIMA 里的参数 d=2。它用来处理「增长 / 下降速度越来越快」的曲线（抛物线）趋势。
比如传染病暴发初期，病例数指数级增长，一阶差分后差值还是在上升，这时候再做一次二阶差分，基本就能平稳。
这里给大家一个疾控建模的实用经验：绝大多数传染病监测数据，1 阶差分就足够平稳，最多用到 2 阶。差分次数不是越多越好，过度差分会丢失数据本身的有效信息，反而会降低模型预测精度。
3. 季节差分（k 步差分）：消除周期性波动
这是疾控场景里最常用的差分类型。我们遇到的流感、手足口、诺如等传染病，几乎都有固定的年度流行周期，这种周期性靠普通的一阶、二阶差分消不掉，就要用季节差分：本期数值 - 上一个周期的同期数值。
比如月度数据，周期是 12 个月，就做 12 步季节差分：今年 12 月病例 - 去年 12 月病例；比如周度数据，周期是 52 周，就做 52 步季节差分：本周病例 - 去年同一周的病例。补充小提示：后面我们要讲的季节性 SARIMA 模型里，参数 D 就是季节差分的阶数，绝大多数场景下 D=1 就足够。

做完季节差分后，数据的年度季节性高峰低谷就会被消掉，剩下的就是剔除了周期的波动部分，再配合普通差分处理趋势，就能得到平稳序列。

1. 肉眼判断法：先画时序图
拿到数据的第一步，永远是先画原始数据的时序图。
有没有上升 / 下降趋势、有没有固定的季节性周期，肉眼基本就能判断个大概。这一步也能帮我们核对数据是否符合业务认知，比如流感数据是不是冬季高峰，避免数据导入错误。
新手最容易犯的错误，就是上来直接做统计检验，跳过看图的步骤，最后模型出了问题都不知道根源在哪。
2. ADF 单位根检验：客观金标准
肉眼判断有主观性，最终确认平稳性，我们需用ADF 单位根检验
你不需要搞懂 “单位根” 是什么统计学概念，也不用记检验公式，只需要记住结果解读规则：
若检验的P值 ≤ 0.05：拒绝 “序列不平稳” 的原假设，认为序列平稳，不需要再差分；若检验的P值 > 0.05：不能拒绝原假设，认为序列不平稳，需要继续做差分，差分后再重新检验。

后续实操篇里，我们会教大家用 R 里的adfTest()函数一键完成检验，只需要看 P 值就行。

第一，宁少勿多，避免过度差分。普通差分优先试 1 阶，最多 2 阶；季节差分优先试 1 阶。差分不是任务，平稳才是目的，过度差分会让数据的有效信息大量流失，反而让模型预测失准。

第二，先消季节，再消趋势。对于既有季节性又有趋势的传染病数据，优先做季节差分消除周期，再看剩下的序列有没有趋势，决定要不要做普通差分，更符合传染病数据的特征。

第三，结果要贴合业务认知。差分后的结果要符合传染病流行规律，比如做完差分后完全看不出任何流行波动的痕迹，大概率是差分过度了，不要只盯着检验 P 值硬套。

搞定了平稳性和差分，我们就迈过了 ARIMA 的第一道门槛。

下一篇我们来讲 ARIMA 定阶的核心钥匙：自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）。

很多人觉得这两个概念绕，其实只要搞懂它们的区别，就能自己判断 AR 和 MA 的阶数，不用全靠自动函数 “盲跑” 模型。

我们下一篇见。

参考：

《时间序列分析-基于R》. [M] .王燕.中国人民大学出版社出版

传染病预测预警技术及实践案例分析. [M]. 杨鹏, 王小莉. 人民卫生出版社

编辑：普通疾控人 | 审核：诗酒趁年华

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