【解题研究】穿过参数“迷雾”——2026年武汉中考数学第24题

【解题研究】穿过参数“迷雾”——2026年武汉中考数学第24题

历年武汉市中考数学函数压轴题，都有一个共同特点，就是参数比较多，学生需要通过探索这些含参函数、方程，获得相应的结论例如数量关系、位置关系等，这对学生代数抽象思维提出了较高的要求，面对全是参数的解析式、等式，需要明确题目究竟需要什么，哪些参数是必要的，哪些又是可以消掉的，在目标明确的前提下，利用合适的消参方式，即可完成相应的探索。

对于初中生来讲，参数较多的函数题一直是难点，但对于即将进入高中学习的学生来讲，代数式恒等变换又是学习基础，武汉卷将这种题型作为压轴题，是符合初高衔接需求的。

题目

抛物线C1:y=-x²+2x+3与x轴相交于A，B两点(点A在点B左侧).

(1)求A，B两点的坐标；

(2)如图1，直线y=-d(d<0)交抛物线C1于C，D两点，△BCD的外心E在边CD上，求d的值；

(3)如图2，抛物线C2:y=x²+px+q与抛物线C1交于M，N两点，连接MN，T是线段MN上一点，过点T作y轴的平行线分别交抛物线C1，C2于P，Q两点，连接PM，PN，QM，QN，求证：△PMN与△QMN的面积相等.

解析:

01

(1)送分题，A(-1,0)，B(3,0)；

02

(2)条件“△BCD的外心E在边CD上”解读：外心是三角形外接圆的圆心，圆心E在CD上可推导出CD是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可判断出△BCD是直角三角形，且CD是斜边；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知CD=2BE；

对于点E而言，它是线段CD的中点，同时抛物线的对称轴也经过点E，这是抛物线对称性决定的，所以点E坐标为(1,d)，由两点距离公式得BE²=4+d²；

由d=-x²+2x+3得方程x²-2x+d-3=0

故两根和x1+x2=2，x1·x2=d-3

而CD²=(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1·x2=4-4(d-3)=16-4d

根据CD=2BE得CD²=4BE²，可列方程

16-4d=4(4+d²)，且d<0，解得d=-1

03

(3)解题之前，要明确这道题究竟需要我们做什么，然后再看题目条件提供了什么，最后才开始寻找思路。

图中的△PMN和△QMN共边，因此它们面积相等，则这条共边上的高必须也相等，如下图：

不妨作这两条高PC和QD，我们只要证明了PC=QD，问题自然解决，这条路好不好走，取决于我们进一步的思考；

根据上图我们容易得到，要证明PC=QD，只需要证明PT=QT，这就回到了熟悉的赛道，在函数背景下证明线段相等，将面积相等转化成了线段相等；

我们需要表示出图中这些相关线段的坐标，当然是用参数，首先是点M和N，可分别设M(m,y1)和N(n,y2)，点T在直线MN上，且横坐标为t，可设T(t,y3)，点P和点Q横坐标均为t，纵坐标可用相应的函数解析式表示，P(t,-t²+2t+3)和Q(t,t²+pt+q)，如果现在就用参数来表示PT和QT的话，比较麻烦，PT=-t²+2t+3-y3，QT=y3-t²-pt-q，无法在含有如此多参数的情况下进行比较，所以需要消参，将PT和QT表达式中的参数消减到可以比较的程度；或者利用中点公式，只要证明P，Q两点纵坐标和的一半即(p/2+1)t+q/2+3/2等于点T的纵坐标即可，这也是我们的目标；

题目条件中给出的参数是p和q，所以我们想办法用含p和q的代数式来表示PT和QT的长；

第一步，M，N由何而来？它们是两条抛物线的交点，所以联立解析式得方程-x²+2x+3=x²+px+q，参数m和n是这个方程的两个根，显然我们并不需要解，也解不出来，利用韦达定理表示出m+n=(2-p)/2，mn=(q-3)/2；

第二步，T由何而来？它在直线MN上，不妨设直线MN为y=kx+b，它与抛物线y=-x²+2x+3的交点横坐标为m，n；为什么不选择抛物线y=x²+px+q？因为它参数多，麻烦，所以选择不含参数的抛物线，联立方程kx+b=-x²+2x+3，仍然由韦达定理得m+n=2-k，mn=b-3；

第三步，寻找k，b与p，q的关联，将前两步得到的结果整理可得(2-p)/2=2-k，(q-3)/2=b-3，于是得到k=p/2+1，b=q/2+3/2，则直线MN解析式为y=(p/2+1)x+q/2+3/2；

第四步，表示T坐标，T(t,(p/2+1)t+q/2+3/2)，发现它的纵坐标恰好等于P，Q两点纵坐标和的一半，说明点T是线段PQ的中点，即PT=QT；

综上，可得△PMN和△QMN的面积相等.

解题思考

先不聊参数多寡的问题，这并不是本题考查重点，让我们回到《怎样解题》(波利亚)中的基本步骤上来，先理解题目，再拟定方案，执行方案，最后回顾反思。

最难的第3小题，我们需要证明的是两个三角形面积相等，围绕这个问题，我们其实可以有很多种方式解决，但最基础的，是转化，我们知道面积是两条线段的乘积，在小学的时候我们先学习了长方形的面积，进一步学习三角形面积，所以底乘高除以2是所有学生非常熟悉的，以此为突破口非常符合学生的认知，这也是本题厚道的地方，就从学生容易想到的突破口开始，不偏不怪。理解了题目意图，转化是很自然的思路，沿着这条路走下去，发现证明线段中点确实是最优解，而在坐标系中，这种题目我们见得很多。

在执行解题方案的过程中，我们会遇到新增的参数，例如本题中的m，n，k，b，y1，y2，y3等，这些都属于辅助性的参数，真正留到最后的只有参数t，p，q，这是题目给出的，所以消参的目标也是明确的，即用含t，p，q的代数式来表示m，n，k，b，y1，y2，y3，在不能解含参方程的情况下，韦达定理的作用就体现出来了，它帮助我们建立两根间数量关系，而这些关系式，恰恰就是用来消参的。

只要最终目标，用含参数t，p，q的式子来表示所需线段、坐标能实现，路其实可以更多。