湖北
【解题研究】理解“孪生”运动——2026年武汉中考数学第23题
在人教版九年级下册数学第二十七章《相似》中，我们是这样定义相似图形的：形状相同的图形叫做相似图形。随着后期学习的深入，大量篇幅研究了相似三角形判定及其性质，其实回到这个最初的定义，形状相同，其实还有更深层的理解。
若在动点问题中，存在两个动点，它们的运动轨迹也可以看作两个图形，而这两个图形如果是相似图形，则我们称这样的运动为孪生运动，当我们研究其中一个动点的时候遇到困难，不妨研究其孪生动点。
题目
将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE，连接AE交边CD于点F，DG平分∠CDE交AE于点G，连接CG，CE.
(1)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形(温馨提示：若思考有困难，可尝试证明∠DAE=∠DEG=∠DCG)；
(2)如图2，连接BD交AE于点H，求证：AF·AE=2AH·AG；
(3)如图3，点K在线段AE上，AK=1/2CG，连接CK，若AB=4，直接写出CK的最小值.
解析：
01
(1)证明△CGE是等腰三角形是最容易的，稍难一些的是证明它是直角三角形，好在题目温馨提示了，如下图：
由DC=DE，∠CDG=∠EDG，DG=DG可证明△CDG≌△EDG，所以CG=EG，∠DCG=∠DEG，又因为DA=DE，所以∠DEG=∠DAE，所以∠DCG=∠DAE，观察△ADF和△CFG，典型的8字型，所以∠ADF=∠CGF=90°，最后得到等腰Rt△CGE；
02
(2)连接AC，交BD于点O，可知∠AOH=∠AGC=90°，如下图：
显然△AOH∽△AGC，而∠ACF=∠AEC=45°，再得△ACF∽△AEC，利用这两对相似三角形可分别得两个比例式，即
AO:AG=AH:AC，即AG·AH=AO·AC=2AO²；
AC:AE=AF:AC，即AE·AF=AC²=4AO²；
所以AF·AE=2AH·AG；
03
(3)注意∠DAE和∠DCG，AK和CG分别是它们的一条边，所以在另一条边上构造倍数关系的线段，可轻松得到一对相似三角形，如下图：
取AD中点K，连接KM，可得△AMK∽△CDG，并且这一对相似三角形成立的条件与点E位置无关，即无论DE旋转至何处，它们始终相似；
留意点G，它是△CDG中唯一的动点，由前面结论可知∠CGE=90°，则∠DGC+∠DGE=270°，即∠DGC=135°，所以在△CDG中，∠DGC的大小是个定值，回顾我们学过的知识中，一条定长边所对的角是定角(定弦定角)，在圆中曾见过，如下图：
圆O中，HI是定弦，则∠HJI是定角，并且∠HJI和圆心角存在∠HOI=360°-2∠HJI的数量关系；
回到本题图中，点G在某个圆上运动，我们可以找到这个圆心，即对角线BD中点O，如下图：
点O也可以看作是在CD不同于点G的另一侧作等腰直角三角形，直角顶点为点O，此时可将等腰直角三角形和△CDG作为一个整体，由于△AMK∽△CDG，若在AM另一侧也作等腰直角三角形，同样也和△COD相似，如下图：
所以，我们可知点K也在以N为圆心，AN为半径的圆上运动，它和点G属于“孪生”动点；
AM=2，则AN=√2，连接CN，如下图：
构造直角三角形CNQ，可设法求出NQ=3，CQ=5，则由勾股定理求得CN=√34，所以CK最小值就是CN长度减掉圆N半径，即√34-√2.
解题思考
定弦定角作为判断动点轨迹形状的方法，是很有效的，我们在学习圆周角的时候，其实对于这种在圆周上的动点已经有过初步认识，动点问题其实就是这些简单知识的综合，所以能不能在研究过程中想到它们之间的关联，是解题成功的基础。
初中数学几何各章节之间的这种联系，要成功建立，一是在课堂上对本章节内容理解要足够深，二是在不断后续学习中，和前面所学知识进行关联，每一次关联，都是在帮助学生构建知识网络，也就是在课堂上，需要给学生足够留白去进行这种建构。
本题中的“孪生”运动是自创的一个名词，仅代表个人看法，取更好听的名字也不是不行，但那不是重点，学生能够通过观察发现两个动点间的关系，这种能力才是需要培养的。
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