王虹的菲尔兹奖，为什么要从一根针说起？

从1917年的转针游戏，到王虹与Joshua Zahl的三维挂谷证明：体积可以为零，维数却一步也不能少。

先来玩个游戏。

拿一根牙签放在桌上，就算它1厘米长。

那么问题来了：在桌面上画一块区域，让这根牙签可以在区域里自由移动，它既能平移也能旋转，最终把方向反转180度，这块区域的面积，最小能有多大？

大多数人的第一反应是画个圆，让牙签绕中点转。半径等于牙签长度的一半，面积就是 ，大约 0.785 cm²。听着已经够小了。

数学家最初想的也差不多。在1917年，日本数学家挂谷宗一正式提出这个问题，他猜测最优解是一种叫三尖瓣线（deltoid）的曲线围出来的区域，面积 ，大约 0.393 cm²，恰好是圆的一半。

这些都是在形状没有额外限制的情况下找最优。

如果加一个限制呢？在1921年，匈牙利数学家Julius Pál证明：如果要求区域必须是凸的（边界没有凹进去的部分），那最小面积是一个等边三角形，面积 ，大约 0.577 cm²。凸集有这个约束，面积反而比deltoid大。

那如果反过来，把所有限制都拿掉呢？形状可以随便弯折和挖洞。

那答案远远超出所有人的预期，在1928年，Besicovitch证明：

这个面积可以要多小有多小。给任何一个正数，不管多小，Besicovitch都能构造出一块面积比它还小的区域，让针在里面完成180度的连续反转。

面积的下确界是零。

一根有长度的针，转了半圈，扫过的面积居然可以无限接近于零？

Besicovitch的思路是这样，把一个三角形沿底边切成非常多的细窄条，像洗牌一样交错重叠，每一条指向不同的方向，底部再大量互相覆盖。覆盖的越多，总面积越小，而窄条的方向加在一起还是凑够了一个半圈。

后来Oskar Perron把这种构造简化了，数学家管它叫Perron树。

不过，Perron树首先解决的是"把各个方向的线段塞进很小面积"，要让针沿着这些位置真正形成连续运动，还需要额外的连接步骤。

到这里，挂谷当年那道连续转针的问题本身已经被解决了，就是面积没有正的下界。

但是数学家紧接着接着提出了一个更深的问题，而且这个新问题和原来的转针题不完全是一回事。

其实在接触挂谷的连续转针问题之前，Besicovitch早在1919年前后就已经构造过一类更为极端的集合，它们不要求针在里面连续旋转，只要求集合里包含每一个方向上的单位线段就行了。这类集合现在叫做Besicovitch集合，或者叫挂谷集。

没有了连续运动的约束，它们的Lebesgue测度就可以真正等于零。是等于零， 不是无限趋近于零。

面积等于零了，但这种集合到底能有多"厚"？

如果面积是零，那厚度呢？

日常生活里我们习惯用面积、体积来衡量一个东西有多大。就像一张纸有面积，一块砖有体积。但是面积等于零的挂谷集让这把尺子失灵了，用面积去衡量它就像用秤去称一束光，工具就不对了。

不过数学家有另一套更精细的尺子，叫做维数。

一根线是1维的，一张纸是2维的，一块砖是3维的，用我们的直觉就很好理解。但是数学家定义的维数（Hausdorff维数和Minkowski维数）可以不是整数。

比如一些分形曲线，用越来越短的尺子去量它的总长度，尺子越短，量出来的长度反而越大，这样永远都量不完。

这类曲线的维数可以是1.2或1.5这样的非整数。他比线厚一点，但又不能被称之为面。

回到这类零测度的挂谷集。它们的面积虽然是零，但里面包含了每一个方向上的线段。直觉会告诉我们，能装下这么多方向的东西，应该不会太"薄"吧。

挂谷集猜想说的就是这件事：

在n维空间中，任何一个包含所有方向单位线段的集合（挂谷集），它的Hausdorff维数必须等于n。

体积可以是零，但是维数不能降。

二维的情况在1971年就被Roy Davies解决了，二维挂谷集的维数就是2。

那三维呢？

卡在2.5

三维挂谷集猜想，数学家为之困扰了半个多世纪。

挂谷集和调和分析之间的关系，从1971年就有人注意到了。

Charles Fefferman在研究傅里叶乘子问题时用到了挂谷型集合的构造。后来的二十年里，多位数学家继续加深这层联系。

到了1991年，Jean Bourgain系统地发展了挂谷最大函数的估计框架，把维数下界和傅里叶分析中的核心不等式更紧密地连接到了一起。

但是真正把三维下界大幅推进的是在1995年。

Thomas Wolff发明了一种叫hairbrush argument的方法。

名字来自一个情景：

一根主线当手柄，周围的管子像刷毛一样围着它排列。Wolff利用这种排列产生的几何约束，证明了三维挂谷集的维数不可能低于 ，也就是2.5。

但是2.5离3还是差了0.5，但这0.5整个领域都卡壳了。

2000年，Nets Katz、Izabella Łaba和陶哲轩三人合力，在Wolff的 上面啃下来一小块：他们把上Minkowski维数的下界推到了 加上一个正的常数。但这个常数很小，按作者给出的量级，大约在 附近。

Katz和陶哲轩后续也在粘性管族等特殊情形下有过重要进展，Larry Guth引入多项式方法帮助提取管子沿代数曲面附近聚集等结构信息。但在一般情形下，通用维数下界始终还是没有摆脱出2.5附近。

从2000年到2025年，足足二十五年。三维挂谷集猜想是调和分析和几何测度论里公认最难啃的硬骨头之一。

2025年2月，一篇127页的论文出现在arXiv上，作者是两个人分别是Hong Wang和Joshua Zahl。

论文标题：Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions。

核心结论是三维空间中任意挂谷集的Hausdorff维数和Minkowski维数都精确等于3。

从2.5附近一步到位，直接到顶。

Nets Katz对Quanta Magazine的评价后来被广泛引用：a once-in-a-century kind of result，百年一遇的结果。

为什么卡了这么久

在讲证明怎么做到的之前，需要先说清楚三维挂谷集猜想到底难在哪里。

研究这个问题的时候，数学家通常会把它离散化：把每一个方向上的单位线段替换成一根有宽度的细管（宽度δ，δ是一个很小的正数，长度1），管子覆盖所有方向且方向彼此分离，然后看当δ趋近于零的时候，这些管子合在一起占的总体积如何变化。

挂谷集猜想对应的离散版本是：不管这些方向分离的细管怎样排列，它们合在一起都不能按幂律压缩成低于三维的结构。

难点其实就一条，管子在不同尺度上的成束方式会变，以前的方法只能处理其中一种。

那什么叫管子的"成束"？

假设我们手里有一大把吸管，每根指向不同方向。现在用一根更粗的纸筒去套它们。如果细吸管恰好能接近满容量地塞进少数几根粗纸筒里，那这就是"粘性"（sticky）配置，细管在尺度上高效成束。

Katz、 Ł aba和陶哲轩最早注意到了粘性配置的结构特征，Katz和陶哲轩后来提出了一条可能的攻克路线。王虹和Zahl在2023年的论文中把粘性情形真正做掉了：他们证明了粘性挂谷集的维数就是3。

陶哲轩在分析她们的127页证明时特别强调，后面的全部论证都要先调用这个粘性结论。

但是如果细管塞进粗管的效率很低呢？大量细管怎么都没法被少数粗管高效容纳，粗尺度上看不到整齐的束，这就是"非粘性"（non-sticky）配置。这种情况才是过去二十五年一直啃不动的硬骨头。

啃不动的原因不是非粘性更乱所以更好对付。

其实刚好相反是因为粗尺度上看不到整齐的束，不等于管子在中间尺度上就老实了。我们来放大看，管子可能在某个局部区域又挤成了薄棱柱的形状；再放大一级，这种形状又散了，换了一种挤法。尺度一变，聚集方式就跟着变了。

老方法的困难就在这里，它主要能处理管子在某种尺度上高效成束的情况。一旦成束效率低、管子在不同尺度上反复变换聚集方式，单一尺度的估计就不足以终结。

127页

王虹和Zahl的贡献，是找到了一种跨尺度的结构分析方法来处理非粘性情形。

他们证明了一个结构定理。

管子在中间尺度上会形成薄棱柱状的几何结构，论文里叫"grains"。

对这些grains做缩放，尝试按已知的挂谷型估计去处理，如果能处理，就归纳推进。

如果不能，结构定理会把那些无法直接处理的grains进一步组织进更大的凸棱柱。

在这些棱柱内部，grains形成了陶哲轩讲解中所说的"超级挂谷配置"（super-Kakeya configuration）。然后根据棱柱的形状是扁平的"薄"棱柱还是饱满的"厚"棱柱，分别采用不同的估计方法把证明封口。

在每一个尺度上，粘性情形用到王虹和Zahl此前已经证明的结果；

非粘性情形则由结构定理迫使管子显现出更高层的几何组织。这套分类和尺度归纳最终把一般情形归结到已经解决的粘性情形，证明无论管子怎么排列，整个配置的维数都不可能低于3。

陶哲轩在博客上写了一篇长文分析这个证明，评价是 spectacular progress。

2026年1月，Larry Guth加入王虹和Zahl，三人发布了更精简的证明（47页）。据报道截至菲尔兹奖颁发，领域内的主要专家已经消化并确认了证明的核心论证，未发现错误。

三维挂谷集猜想解决了，但这条线上的问题远没有到头。更强的挂谷最大函数猜想还没解决。三维的傅里叶限制猜想、局部光滑猜想也还悬着。

正如陶哲轩指出的，要继续推进这些猜想，可能还需要最大函数版本和更强的变体。王虹和Zahl的工作排除了管子合在一起按幂律挤进低维空间的可能，这是一个必要的几何结果，但要从这里走到那些更强的猜想，中间还是有距离。

针和波

挂谷集的维数，跟物理世界有什么关系？

关系要从调和分析说起。

在现代调和分析里，高频波的传播可以分解成沿着不同方向飞行的"波包"。

每一个波包在短波极限下的行为就像一根细长的管子，有长度、有方向、有宽度。

当这些波包对应方向分离的挂谷型管族时，三维挂谷定理排除了承载它们的管子合在一起按幂律挤进低维空间。其实就是这些管子再怎么摆，占据的空间也不可能压缩到三维以下，它给波叠加问题提供的是一项必要的几何约束。

X射线断层扫描和地震波成像也和挂谷集有关。

像我们在医院做CT、地质队打地震波，本质上都是从各个角度用射线穿透物体，而射线在里面怎么重叠、信息怎么打包，和挂谷问题有一部分共同的数学语言。

不过，挂谷集定理本身是纯数学结论，和这些应用之间的联系还只是间接的。

王虹在获得菲尔兹奖之前，就已经在调和分析和几何测度论中连续啃下了几个硬骨头，包括Falconer距离猜想的突破和波动方程的局部光滑估计。IMU的正式获奖理由也列出了这些贡献。

从沙子镇到费城

2026年7月23日，费城，国际数学家大会。

王虹拿下了菲尔兹奖，才35岁，是历史上第三位女性菲尔兹奖得主。

获奖消息公布以来，我看到的不少广泛传播的讨论里，大家聊的多半是她的国籍归属、北大有没有埋没她、法国是不是"捡漏"了、她和另一位获奖者邓煜谁更厉害。关于三维挂谷猜想本身的技术讨论相对很少。其实想了想深层次的原因，无非就是集合维数的门槛太高了，而给别人贴标签的门槛过低。

我写这篇文章不想去谈这些标签，真的很没有意思。

但是王虹一路走来的经历和故事值得大家来好好了解一下。

她在1991年出生，广西桂林市平乐县沙子镇。父亲教数学，母亲教英语，都是镇上中学的老师。

据平乐县原外宣办主任陶彩忠转述王虹父母的说法，她4岁时右臂被开水严重烫伤，在病床上完成了一年级学业，后来两次跳级，从那以后比同级同学小两三岁。

据《桂林日报》报道，她初中以全校第一名的成绩考入桂林中学。高中班主任唐年华回忆，她入学后一度和同学之间有些磨合，自己曾开导并帮助她融入班级。

高中毕业后，2007年参加高考，进入北京大学地球与空间科学学院。

她从入学起就打算学数学。据她本人接受《中国科学报》采访时的回忆，受学分限制，她大一跨院选修了几何和高等代数两门数院核心课，数学分析只能靠自学。大二通过转系考试，正式进入了数学科学学院。

北大数院是什么地方？全国数学竞赛和国际数学奥林匹克的金牌选手扎堆的地方。

她没有长期、系统的奥赛训练，也没有顶级竞赛履历。高中有每周一小时的课外数学班，参加过一次联赛，但和数院那些经历了多年竞赛训练、部分人已提前学过大学数学的同学相比，起点差距还是很大的，而且他们中很多人比她大两三岁。

据北大数院原院长陈大岳接受媒体采访时的介绍：

2011年毕业的时候，数学科学学院本硕博一共269名毕业生，评出49名优秀毕业生。王虹是其中之一。她以当时的成绩完全具备保研资格，只是因为决定出国才没参加保研。数院的王福正、田青春、王立中等多位老师都给她写了出国推荐信，王立中还指导过她的本科科研。地空学院的雷军老师也帮她写了推荐信。

"成绩垫底""没人肯给她写推荐信""保研失败被迫出国"，这些说法和已公开的事实对不上。

但是一个学生可以客观上很优秀，同时主观上长期觉得自己不够好。在一个IMO金牌扎堆的环境里，即使已经是优秀毕业生，也很可能每天都在比较中觉得自己平庸。

法国、MIT和一根管子

2011年本科毕业后，王虹去了法国。先在巴黎综合理工学院读工程师项目，再在巴黎第十一大学（现在叫巴黎萨克雷大学）拿了纯数学硕士，她在法国待了三年。

据之前的人物报道，她表达她在法国上分析课时发现，分析比代数更顺手。

随后在2014年，她到MIT继续读博，导师是Larry Guth，当代调和分析的一线高手。王虹在接受《中国科学报》采访时回忆， Larry Guth 会通过持续提问帮助她整理和检验自己的想法。在研究方向上，她后来的多尺度分析受到了Pablo Shmerkin工作的启发。

她的博士论文做的就是三维空间中的傅里叶限制估计（ A restriction estimate in R³ ）。

限制估计研究的是不同方向的波怎样叠加，挂谷集猜想研究的是对应管族怎样重叠，两者通过波包分解紧密相连。从博士论文开始，王虹就一直在和这些管子打交道。

博士毕业后，她去了普林斯顿高等研究院做博士后，然后到UCLA当助理教授。这几年里她在Falconer距离猜想、局部光滑猜想等方向上连续拿下了几个硬骨头。奖项也跟着来了，她获得了2022年Maryam Mirzakhani新前沿奖，2025年Salem奖和Ostrowski奖。

2025年9月出任IHES永久教授，2026年4月又受聘为NYU Courant研究所Silver Professor of Mathematics。

挂谷猜想这么大的难题，不是一个人能搞定的。王虹的合作者Joshua Zahl，在加州理工读的本科，UCLA的博士，导师是陶哲轩。博士毕业后在MIT做博士后，然后去了加拿大英属哥伦比亚大学（UBC）当教授。

2025年，Zahl全职入职南开大学陈省身数学研究所，任讲席教授。两人的研究领域高度重叠：几何测度论、调和分析、关联几何。

然后2025年2月，127页的三维挂谷集猜想证明出现了。

2007级

和王虹同时拿下2026年菲尔兹奖的，还有邓煜。37岁，芝加哥大学，他和合作者Zaher Hani、马骁一起，在稀薄气体的硬球动力学模型中，从牛顿力学严格推导出了玻尔兹曼方程。

这个推导有一个条件：只要玻尔兹曼方程的解还存在，推导在任意给定的有限时间内都成立。数学界普遍认为，这项工作是对希尔伯特第六问题中"从微观推导宏观方程"这条路线的重大推进。IMU的获奖理由还列出了他在波动湍流动力学和非线性薛定谔方程方面的工作。

邓煜2007年以IMO金牌保送进入北大数院，王虹同年以高考成绩进入北大地空学院，第二年转入数院。

他们是2007级同届校友，但是邓煜2009年就转学去了MIT。

两个人的数学研究方向上完全不同。邓煜做的是统计物理的数学基础，王虹做的是调和分析与几何测度论，他们在2007年进入同一所大学，各自在不同的研究方向努力，在19年后，同时在费城获奖。

同一所大学、同一届入学，他们两个同时拿下菲尔兹奖。翻一遍菲尔兹奖的历史，这种事没有出现过。

邓煜是IMO金牌、竞赛体系一路上来的，这符合大多数人对顶尖数学家的想象。王虹不是，她没有竞赛背景，通过高考考进来，之后还是从地空学院转过去的。两条完全不同的路径，最终都到了同一个地方。

2007级，两枚菲尔兹奖，这件事值得我们来记住和庆祝。

挂谷宗一1917年问的是一根针旋转半圈需要的最小面积是多少？

Besicovitch在1928年说面积可以任意小。

但从这个答案里引出了一个更深的问题，面积是零，那维数呢？

Davies 1971年证明了二维挂谷集的维数就是2。

Wolff 1995年把三维的下界推到了2.5。

Katz、Łaba和陶哲轩2000年在2.5上面又啃下来一丁点。

此后二十五年，通用下界始终没有摆脱2.5附近。

2025年，王虹和Joshua Zahl证明了三维挂谷集的维数等于3。

体积可以是零，维数却必须是满的。

参考资料来源：

wang-zahl-127p.pdf

guth-wang-zahl-47p.pdf