陶哲轩最新发文：人工智能时代的数学

人工智能（AI）正在进入数学研究的核心环节：提出思路、生成证明、形式化验证，甚至尝试解决此前从未公开发表过的研究级问题。

然而，如果未来的 AI 能够持续完成相当一部分研究级数学任务，数学共同体真正需要面对的问题，可能并不是“AI 能不能证明定理”，而是：数学研究到底追求什么？一份由 AI 生成、形式上完全正确、却没有任何人能够理解的证明，算不算真正完成了数学工作？

日前，菲尔茨奖得主、华裔数学家、加州大学洛杉矶分校教授陶哲轩（Terence Tao）在一篇发表在预印本网站 arXiv 上的论文中探讨了这一问题。

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2608.16753

这篇论文建立在陶哲轩于 2026 年国际数学家大会公开演讲的基础上，从数学基础危机、人工智能能力猜想和数学共同体的目标出发，重新审视了 AI 时代的问题求解流程。

陶哲轩没有试图预测 AI 最终能达到什么水平，而是提出了一个工作假设：假设 AI 在不久的将来能够以合理的成本、成功率和人类监督水平，完成相当一部分研究级数学任务，那么数学共同体应该如何调整自己的目标、评价体系和工作方式？

答案集中在一个被逐步展开的“问题-解决管道”（Problem-Solving Pipeline）中：问题求解并不是从“开放问题”直接通向“解答”的单一步骤，而是包含证明生成、证明验证、证明阐释、共同体接受和理论规范化等多个阶段。

AI时代的价值危机

陶哲轩首先回顾了 20 世纪初的数学基础危机。

几个世纪以来，数学家可以直接讨论集合、数字和无穷，却不必精确定义这些对象究竟是什么。1901 年的罗素悖论，以及 1931 年的哥德尔不完备性定理，迫使数学家重新检查那些长期被默认的基础假设。这场危机最终推动数学建立起更加明确、严谨和标准化的基础框架。数学对象是什么，允许使用哪些推理规则，证明应当满足什么条件，都逐渐变成可以检查、教学和机械化处理的内容。

在陶哲轩看来，数学正在进入另一种类似的动荡时期。只是这一次接受压力测试的，不再是“数学真理凭什么成立”，而是另一套一直没人写下来的东西——数学实践里的价值体系：什么算一项贡献，什么工作值得奖励，什么叫做“理解”了一个结果，一项成果又该记在谁、或者什么的名下。

过去，数学共同体可以把这些问题留给数学史、数学哲学和数学社会学研究者。但如果 AI 能够大规模参与数学研究，这些问题就不能再被视为外围议题。

AI能力猜想

关于 AI 与数学的公共讨论，通常集中在一个问题上：AI 到底能不能解决研究级数学问题。

陶哲轩把它整理成“AI 能力猜想”。宽泛的版本大致是：在不久的将来，某些 AI 工具会以某种成本、在某种人类监督下，在数学的某些领域里，以某种成功率、某种正确性和质量水平，完成某些研究级任务。

这里的“某些”“某种”包含大量自由参数。任务属于哪个数学领域，成功率达到多少，成本是多少，需要多少人类协助，结果的正确性和表达质量如何，都可能对应不同版本的猜想。

如果连这个猜想的弱版本都不成立，那么当前一代 AI 可能不会对数学研究产生长期影响，数学家大体可以继续沿用既有的研究方式。可是，如果最强版本成立，问题就会完全不同了，到那时，数学共同体过去围绕“尽可能多地解决未解决问题”建立的文化和评价体系，可能无法继续正常运转。

他还提到了 First Proof 项目的第二批次评测。该项目向 AI 系统提供真正新颖的研究级数学问题，这些问题的答案此前并未在线公开。在第二批次中，4 个 AI 系统被用于解决十道问题，其中 7 道题至少从一个系统获得了通过评价，每道题的计算成本大约为几十到几百美元。

这些结果并不能直接证明 AI 已经取代数学家，也不能回答 AI 能力猜想的全部细节，但可以说明，数学共同体已经不能只把 AI 视为一种远期想象。

工作假设

陶哲轩在论文中采取了一个有意的策略：不判断能力猜想的真假，直接假定一个较强的版本成立，往下推。他称之为“工作假设”——AI 工具将在相当近的将来，以合理的成功率、质量、监督水平和成本，完成相当一部分研究级数学任务。

这不是预测，也不是对 AI 发展的背书。他并不要求我们相信这一假设，更不要求我们希望它实现。他只是在这一条件下继续分析：如果 AI 的数学能力确实快速增长，那么数学共同体真正需要重新思考的是什么？他的答案是：数学研究的目标与价值。

解答数量不等于数学进步

数学研究的目标从来不止一个。陶哲轩列了一份不完全的清单：解决纯数学和应用数学里的未解决问题；发展新的理论、结构和技术；理解我们周围的世界；建立并维系数学家共同体；培养下一代，并让他们领着学科往前走；往人类共同的、不断累积的知识网络里添砖加瓦；还有——创造经得起时间的、有审美价值的作品。

在传统数学实践中，这些目标通常是相互关联的。解决一个困难问题可能会产生一种新技术；新技术会吸引一批研究者；研究者共同体会培养学生、编写教材；新理论又可能在其他领域找到应用。因此，数学家可以选择其中一两个目标作为代理指标，默认其他目标也会同步推进。

然而，AI 可能打破这种长期存在的相关性。

这与古德哈特定律有关：当一个度量标准变成目标时，它就不再是一个好的度量标准。如果“解决问题数量”成为最重要的指标，AI 就可能专门优化这一指标，而不是优化数学家真正关心的理解、交流、归属和长期影响。生成式 AI 的技术特性进一步放大了这一风险：它擅长生成看起来令人满意的输出，却不必然具备输出所声称代表的底层性质。

因此，在 AI 时代，数学共同体不能再简单地把“解答数量”当作数学进步的充分代理。

“问题-解决”管道

为了具体说明问题，陶哲轩选择了数学研究中的问题求解作为案例，包含以下 5 个阶段：

第一步：证明生成

最初的目标很简单，即“尽可能多地解决尚未解决的问题”。对应的流程可以理解为：开放问题 → 证明生成 → 解答。然而，这个目标即使在 AI 出现之前也已经不够完善。原因也很直接：如果只追求解答数量，就会产生大量错误证明。“公开声称证明黎曼猜想的邮件，几乎所有职业数学家都不陌生。”因此，目标需要增加一个条件。

第二步：证明验证

第二个版本是“尽可能多地解决未解决问题，并验证这些解答是正确的”。因此，流程变成了：开放问题 → 未验证解答 → 证明验证 → 已验证解答。

陶哲轩表示，形式化数学的发展，尤其是 Rocq、HOL 和 Lean 等证明助手的普及，正在加快这一阶段。一个经过形式化验证的证明，其正确性不再依赖作者的声誉或个人细致程度。然而，“正确”仍然不是终点。

第三步：证明阐释

如果 AI 生成了一份很长、完全正确、也通过形式验证的证明，但没有任何人能够理解它，这份结果是否已经完成了数学任务？在陶哲轩看来，数学共同体很快可能会真正面对这种情形。

当前 AI 在证明阐释方面的表现并不稳定。它们通常能够生成拼写、语法和排版近乎完美的文本，却可能在最有趣、最具创新性的论证部分一带而过。与此同时，AI 生成的数学文本也常常缺少文献背景和高层次概览，人们很难据此判断一个结果是否值得深入阅读。

更值得注意的是，过度流畅的表达也可能损害学习。人类数学家撰写证明时，困难部分通常会留下某种“自然摩擦”：更谨慎的引理、记号的突然变化、反复修改过的段落，或者一句说明某处不容易的解释。这些痕迹会提醒我们在什么地方放慢速度，也会传递一个领域中的默会知识。AI 过度润色后的证明，可能同时抹平排版错误和思想上的摩擦，最终形成一种“读起来很容易，却很难从中学习”的文本。

因此，第三个版本的目标是，“尽可能多地解决问题，验证结果正确，并确保结果能够被数学共同体清晰传达和理解”。

第四步：共同体接受

即使一份证明正确且清晰，也不意味着它已经成为数学共同体的一部分。

一个结果要产生真正的领域影响，还需要被其他数学家消化、评价，并纳入自己的研究。作者可以通过讲述研究过程中的洞见、失败尝试和关键转折，帮助其他人理解这个结果为何重要、它解决了什么困难，以及它与既有理论之间有什么关系。因此，问题求解目标进一步扩展为“解决问题，验证正确，清晰传达，并使结果被数学共同体消化和接受”。

共同体接受本质上是一个缓慢的人类过程。编辑和审稿人承担着关键责任，但这类工作通常没有得到与证明生成相匹配的声望和奖励。

AI 评估工具可以帮助期刊筛选验证不足、归属不清或表达混乱的投稿，但自动过滤不能替代人类同行评审。通过机器检查，也不等于获得数学共同体认可。

第五步：理论规范化

一个重要结果最终应当进入该领域的权威教材和参考资料，以适合教学和长期使用的方式被重新表述。所谓规范化，包括把结果改写成它自然的普遍形式；给它配上“对的”证明，而不一定是第一个证明；把它和邻近的理论接起来；让它进标准工具箱。

这是整条流水线上最慢的一段，需要广泛而审慎的共识，也最难交给 AI 优化。在陶哲轩看来，它同时也是全程最有价值的一段。

陶哲轩认为，数学中许多应用，只有在底层理论被充分消化并规范化之后才会出现。更具讽刺意味的是，AI 在数学中的能力本身也依赖这些人类数学家经过数百年积累和整理的规范化理论。AI 的训练数据，从很大程度上说，就是这种规范化过程留下的成果。

至此，最终的问题求解流程就变成了：开放问题 → 证明生成 → 证明验证 → 证明阐释 → 发表与共同体接受 → 理论规范化。

陶哲轩强调，这一流程尽管仍然可能过于简化，但揭示了一个重要事实：表面上简单的目标，往往包含多个长期被忽略的隐含子目标。

走向证明过剩

顺着工作假设往下想，数学将从“证明稀缺”的时代，走进“证明过剩”的时代。

现有的一整套制度，都是按稀缺设计的：期刊靠筛选有限的投稿运转；优先权规则奖励第一个解决问题的人；招聘、晋升、评奖看的是少数代表作；连“研究纲领”这个概念本身，都默认了重要问题的稀少。

但是，AI 可能同时生成大量候选证明。陶哲轩的判断是：如果没有政策和文化上的相应调整，新的瓶颈会沿流水线依次冒头——证明积压在验证前面；验证过的证明，积压在可读的阐述前面；正确且写得漂亮的证明，涌向靠志愿专家支撑的同行评审；最后连已发表的证明，都多到没人顾得上把它们打磨成定本。

这不是简单的“AI 会不会做题”问题，而是整个数学知识生产系统的吞吐量问题。

事实上，在 AI 出现之前，数学界已经开始出现类似压力：文献总量持续增长，重要证明变得越来越长、越来越专业化，同行评审系统也承受着长期负担。AI 可能会显著放大这些原本就存在的结构性问题。

引用莱顿宣言

陶哲轩没有在论文中提出一套完整政策，而是引用了 2026 年发布、得到国际数学联盟认可的《莱顿人工智能与数学宣言》中的四项建议。

1.披露工具使用

论文、审稿和研究报告中，应透明说明是否使用了大型语言模型（LLM）、机器学习系统、证明助手和其他数学软件。重点不只是“是否使用 AI”，还包括使用方式、承担了哪些工作，以及作者如何对最终结果负责。隐瞒 AI 使用，可能会让同行误判工作的来源、验证成本和作者实际承担的责任。

2.支持同行评审

由于 AI 生成的论文可能包含更多需要核查的材料，作者应主动降低同行评审的负担：

• 披露工具使用情况；
• 提供准确、完整的文献引用；
• 在适当情况下提供形式化证明；
• 尽可能说明结果的来源和推导过程。

数学文化也需要减少对“第一个解决问题”的强调，增加对阐释、审稿、发表和理论规范化的重视。

3.确认作者身份属于人类

荣誉与责任仍应归于数学共同体中的人类成员，而不是自动化系统。AI 可能遮蔽一个结果背后的集体人类劳动，但并没有取代这种劳动。谁能够解释结果、承担错误责任、处理归属问题，仍然是作者身份不可分割的一部分。

4.做好思想归属

AI 工具在识别和标注思想来源方面存在局限，因此研究者需要主动寻找并致谢那些使新结果成为可能的来源。如果无法给出令人满意的归属说明，也应当在发表物中明确说明，而不是让读者误以为一个结果完全独立产生。

陶哲轩给出了一条个人建议：如果作者无法就自己的结果作一场清晰、正确、达到专家水平并且归属恰当的报告，那么这项结果就不应发表。也就是说，一份没有任何人类能够恰当解释的证明，即使形式上已经验证正确，也应被视为尚未完成。

数学的核心不只是答案

陶哲轩的这篇论文并没有试图给出一个关于 AI 数学能力的最终判断。它更像是一份面向数学共同体的提醒：当机器开始大规模生成证明时，数学最重要的价值可能不再由“产生了多少答案”来衡量。

真正的数学进步，还包括验证答案、解释答案、追溯思想来源、让共同体理解并接受答案，以及把结果纳入能够继续教学和使用的理论体系。

对 AI 研究者而言，这意味着数学能力评测不能只看最终答案是否正确。对数学家而言，这意味着未来的研究流程需要重新设计，既要利用自动化工具，也要保护理解、归属和共同体判断这些无法被简单压缩成指标的价值。

当证明不再稀缺，真正稀缺的可能是人类的注意力、解释能力和长期整合知识的能力。AI 能够加快数学发现，但数学共同体仍然需要决定“哪些发现值得被理解”，“哪些结果值得被保存”，以及“什么才算真正完成了一项数学工作”。