算了两千年的月亮，今晚不用算了

1714 年7月，英国议会通过《经度法案》公开悬赏：能在远航中把经度定准到半度以内的人，最高可拿两万英镑。这个法案的推出，大概率受到1707年海难的影响，那年英国海军舰队刚结束地中海行动返航，结果在家门口出了事。连续的恶劣天气妨碍了天文观测，海上雾雨迷蒙，舰队没能准确判断自己的位置，在英吉利海峡外接连撞上礁石，四艘军舰沉没，死者众多。

在海上，船位算错了，可能就会把礁石所在的地方当成安全航道。可要算准经度，船员得先解决一个看起来不太相干的问题：知道时间。地球一天转一圈，两地的当地时间每差一小时，经度就差十五度。船员观测太阳，可以确定船上的当地时间；再知道母港此刻几点，两边一比，就能算出自己与港口相差多少经度。

所以，对一艘在雾里找港口的船来说，算准这“半度”至关重要。要知道母港的时间，本来可以带一只在那里对好时的钟，但十八世纪初的摆钟，在颠簸的甲板上一天能差出十几分钟，这十几分钟换算成距离就是两三百公里。船上的钟不准，人们就想到了天上的钟，那台钟叫月亮。

▲月球相位变化的循环动画。视觉上的摆动就是所谓的天平动。来源：wikipedia

月亮在星空中的位置不断变化，它与某颗亮星相隔多远，可以用来判断时间。船员量出月亮到某颗亮星的角距，翻一本提前印好的表反查时间，就得到了经度。这就是月距法。

但是那张表必须提前一两年印好并分发所有即将出海的人。也就是说制表的人，得预知月亮在未来任何一个时刻的位置。因此，《经度法案》激发出了一个纯粹的科学问题：能不能把月亮的轨迹算准。

月亮从来不肯按时到场

月亮运动的计算，天文学家已经研究了一千多年。公元二世纪，古希腊天文学家克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemaeus）发现前人的模型在某些时候能算得不错，换个时候，算出来的位置就与观测对不上了。他在自己的天文学巨著《天文学大成》中继续改进前人的模型，给原有的圆周运动增加新的圆周组合，试图把这部分偏差也算进去。这项变化后来被称为“出差”，对月球位置的影响可以达到一度多。满月在天上看起来也就半度宽，漏掉这一项，就可能把月亮的位置算偏两个多月亮。

直到丹麦天文学家第谷·布拉厄（Tycho Brahe）出现，在当时丹麦国王的资助下，他建造了堪称当时世界上最豪华的天文台，也因此在月亮如何偏差这个问题里走得更远。他发现了一个随月相变化的摆动，叫“二均差”（variation）。在太阳和地球引力的联合作用下，月球运动会产生周期为半个朔望月的周期性偏差。而且，它连“快多少”都跟月相有关，当月球朝向满月运动时，速度加快，向着半月运动时，速度减慢。

第谷之后，开普勒用椭圆轨道解释了火星的运动。月球当然也可以先用椭圆来描述，但这个椭圆的长轴在转，轨道平面的朝向也在变。要把明年的位置算准，这些变化都得考虑。当然开普勒也没用搞定月亮，他最后转过身去，写了人类第一部月球旅行科幻《梦》。

这里有个地方值得停下来想一想。第谷发现的那个二均差的最大值是 39角分，而现代天文学家将托勒密星表与依巴谷卫星（Hipparcos）数据进行比对后，发现托勒密的测量误差在23至27角分1。所以这个偏差其实不是“算不出来”，而是“没被认出来”。诸如此类的科学事件在科学史上多次上演，科学和技术就这么互相扶持着忽前忽后地向前走，得先看得清楚一点，才能发现原来的计算对不上。而找到偏差的规律，也会告诉科学家下一步该去哪儿。

连牛顿也算不平的那笔账

上帝说让牛顿出生，于是一切都充满了光明。但是这个不包括月亮的计算。纵使牛顿发现了万有引力，但据牛顿外甥女婿描述，牛顿说过，他只有在研究月球问题时会头痛，而且一想就痛。

1687 年，牛顿在《自然哲学的数学原理》里给出万有引力。他证明了拉着苹果落地的，和拽着月亮不放的，是同一种东西。但是证明了力的形式是对的，不等于能算出月亮的位置。月球受到地球吸引，地球和月球又同时受到太阳吸引。太阳对两者的作用并不完全相同，会改变月球相对地球的运动；随着三个天体的位置变化，这种扰动也不断改变。三个天体互相拉扯，这个“三体问题”，没有公式能一次给出答案，只能一项一项近似地往外算。

▲《自然哲学的数学原理》拉丁版封面（1687），来源：wikipedia

人们很快又发现，月亮身上还有笔账是歪的。1695 年，英国天文学家爱德蒙·哈雷(Edmond Halley)把托勒密时代记录的月食时刻与自己时代的观测放在一起比，发现月亮似乎一年比一年走得快。这就是“月球的长期加速度”，成为一个悬了近百年的谜。前面说的那个规律，又一次应验了：算不准的地方，藏着下一条规律。

1787 年，法国天文学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon)提出：不是月亮变快了，是地球轨道的偏心率在极缓慢地变化，日地距离长期在变，太阳的摄动也就长期在变。这种缓慢的变化促使月球运动加快。

拉普拉斯的计算一度与观测相符，但到了1853年，亚当斯（John Couch Adams）重新计算，发现漏掉了一部分效应。修正之后，仍有一部分加速度解释不了。后来人们发现，还有一部分来自潮汐摩擦：月亮牵着地球的潮水，潮水摩擦海底，地球自转本身在变慢，也就是一天的时间在变长。以变长“天”为单位看月亮的运动那月亮自然显得越来越快。

为了把月亮算准，人类不得不承认：连“一天有多长”，都是会变的。

此时再来看月亮的轨道，它就有点像“喝醉了”走路：沿着一条椭圆走，椭圆的长轴自己在慢慢转，太阳还在一旁拽它，拽的力道随日地距离变化，轨道平面本身也在摆。你要算它明年的位置，就得把这些摆动一层层摞上去。

把月亮装进航海箱

到了十八世纪中叶，已经有人把月亮这些大大小小的变化，一项项算进了表里。船员只需要带着表出海就行。

制图学家约翰·托比亚斯·迈耶（Tobias Mayer）做出了一份《月球表》。在从事这项工作时，他和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）进行了长达4年的通信。欧拉将太阳、地球和月亮之间的相对运动简化成了一组优雅的数学方程。别看只有1角分，拿它反查时间，就可能差出约2分钟，再换成经度，大约就是半度。在赤道上，这半度相当于30海里，正好卡在《经度法案》最高那一档的门槛。1762年，迈耶病逝，年仅39岁，经度局于三年后向他的遗孀颁发了3000英镑的奖金，欧拉也因为奠定了理论基础而获得了奖金。

马斯基林（Maskelyne，Nevil）后来主持编制《航海年历》，把月亮与选定天体之间的角距提前算好，按格林尼治时间列出来。他们把月亮从一个天文学问题，变成了一本可以印刷、可以卖、可以塞进航海箱的东西。从此，一个普通船员只要会量角距、会查表，就能算出自己的经度。他不需要懂“三体问题”，也不必知道“出差”是什么。不过，表上的数还得有人提前算出来。要算得更准，就得把更多细小的变化加进去，计算也越来越费工夫。

▲在海上以测量月角距的方法查询格林尼治标准时间。月角距是月球和恒星 (或太阳) 之间的角度，以这两个天体的高度来确定和校准时间。来源：wikipedia

天文学家欧内斯特·威廉·布朗（Ernest William Brown），1866 年生于英国，后任耶鲁大学教授。他从 1890 年代开始算月亮，没有电子计算机，只有纸、笔和手摇的机械计算器，一算就是将近三十年。他把几百个周期项一项一项展开成三角级数，一项项去拟合两百多年累积下来的观测数据。算错一个系数就可能三个月白干。1919 年，他的《月球运动表》由耶鲁大学出版社出版。此后六十年间，世界各国的天文年历逐步采用他的表来排月亮的位置。

布朗终身未婚，一直和妹妹住在一起。家里最多的东西，是草稿纸。他没有等到计算机时代。而接管那套级数的，是他自己的学生。

不用手算的话，能算多准？

布朗的《月球运动表》是给人查算用的工具书，理论上，只要照着书中的内容查阅与加减，就能得到月亮在某一天的位置。这么算当然最准，但没有人算得起。所以为了让这张表短到能印出来、让人用得起，布朗牺牲了精度，把基本方程里“可以省”的部分省掉了。

而接管这套方法的人，把布朗被迫放弃的精度，原样保留了下来。华莱士·约翰·埃克特2（Wallace Eckert）是布朗在耶鲁的博士生，后来长期任教于哥伦比亚大学。（他和后来参与建造 ENIAC 计算机的普雷斯珀·埃克特只是同名。）

他要做的事，说起来简单：把表扔掉，直接让机器算布朗留下的式子。为了这件事，他把天文学和机器绑在了一起，先把这些式子变成机器能执行的计算步骤。二战期间，他主持美国海军天文台的航海年历办公室，用穿孔卡机器把历书的生产整个自动化。二战结束后，他回到哥大，创立沃森科学计算实验室。这个实验室先后造出两台当时世界上最快的机器：1948 年的 SSEC(可选序列电子计算器）和 1954 年的 NORC（IBM海军军械研究计算器）。

1954 年，埃克特与人合著的《改进月球历 1952–1959》出版，由美国海军天文台航海年历办公室发行，它后来成了美国登月计划轨道计算的基础之一。1965 年，埃克特从月球轨道那些微小的异常里，反推出月亮表面之下藏着质量异常集中的区域。几年后，绕月飞行的航天器经过这些区域时高度发生抖动，证实了它。今天它们有个名字，叫“质量瘤”（mascon）。算月亮算到最后，人类算出了月亮地底下藏着什么。

1969 年，阿波罗 11 号在月球表面放了一块角反射器阵列。这是由一百个角反射棱镜拼成的面板，不管光从哪个角度射进去，都会沿原路精确反射回来。此后全球各地的天文台持续向它发射激光，测量光往返的时间，就能算出地月距离。后来，月球上又有了其他反射器。人类因此知道：月球正以每年约 3.8 厘米的速度远离我们。

▲1971年2月5日拍摄的激光测距反推反射器（LR3）的特写画面，阿波罗14号宇航员在月球表面舱外活动期间部署该装置。图片来源：NASA

月亮离我们越来越远了。但从托勒密、第谷再到布朗、阿波罗，人类一直在向它靠近。

今晚抬头的时候，我们不再需要计算。月亮自己会圆。祝大家平安，月亮圆圆，事事如愿。中秋节快乐

[1] 原文出自：The star catalogues of Ptolemaios and Ulugh Beg: Machine-readable versions and comparison with the modern Hipparcos Catalogue。