散落的点怎样连成一条平滑曲线

平面上散落着一些点。每个点有一个横向位置和一个纵向位置。要找一条平滑的曲线，让它从这些点附近穿过，而不是把点用折线生硬地连起来。

平滑指的是曲线的走向慢慢变，不在两个点之间突然拐一个尖角。可以把曲线想成由若干小段拼成，每一小段内部用简单的弯曲来描述，小段相接的地方方向一致。方向一致，看起来才是一条，而不是多条折线搭在一起。

点不会正好落在曲线上。每个点到曲线的纵向差距先平方再相加，得到总偏差。曲线的弯曲程度也要算一份代价，弯曲越急，代价越大。总偏差加上弯曲代价，得到这一条曲线的总分。要找的是总分最小的那条。

只压低总偏差，曲线会为了贴住每一个点而剧烈扭动，包括那些明显偏出去的点。只压低弯曲代价，曲线会变成一条近乎直的线，大部分点都被丢在两边。两边的权重需要事先定好。偏差权重大，曲线更贴点。弯曲权重大，曲线更直。定好之后就不要在中途改。

点的横向位置最好先按从小到大排好。没排好时，曲线会在来回的横向上折返，看起来像打结。排序只改点的处理顺序，不改点本身的两个坐标。

若有一个点的纵向位置大得离谱，它会把整条曲线拽过去。可以先看每个点的偏差，把偏差大过其余点很多的少数点暂时拿开，用剩下的点求曲线，再把拿开的点放回去看距离。距离仍然很大，就让它们不参加这一次拟合。拿开的比例要封顶，不能把多数点都去掉。

小段的长度也要定。段太短，段与段的交接很多，方向一致的约束变多，曲线会显得僵。段太长，一段里若有转向，简单弯曲描述不了，点会成片地离开曲线。可以先用相等的段长试一版，看偏差是不是集中在某一段。集中，就把那一段拆成两段，其余段保持不动。

曲线求出之后，在原来没有点的横向位置上也能读出一个纵向值。这是在点与点之间补出来的，不是新测到的。补出来的值应当落在左右相邻点的纵向范围附近。若跑到两边很远的地方，说明这一段的弯曲太急，要把弯曲代价的权重调高再算一次。

同一组点重复算两次，曲线应当重合。不重合，通常是点的排序不稳定，或拿开离群点时的顺序变了。把排序规则和拿开规则都写成固定步骤，重复计算才会落到同一条线上。

最后抽几个横向位置，读出曲线的纵向值，和手边最近的点比一比。差距应当和总偏差的平均水平接近。某一处差距突然很大，而那个点并没有被当成离群点拿开，说明段长在那里不合适，需要拆段再算。

小段相接时，不但方向要一致，弯曲的缓急也不要突然跳变。上一段末尾的弯曲和下一段开头的弯曲相差过大，交接处仍会看出折痕。可以把这个相差也算进总分，相差越大代价越高。这样曲线在整段上看起来连续，而不是每段各自贴点。

点的横向间距若很不均匀，密的地方会主导总分，疏的地方几乎不起作用。可以按每一小段里的点数来平均偏差，而不是把所有点的平方差直接相加。点数少的段，每个点的发言权更大一点，曲线才不会只顾着挤在一起的那一团。

求总分最小时，不要一次改完全部小段。先固定其他段，只调整偏差最大的那一段，看总分是否下降。下降，就留下这次调整。不下降，就退回，换下一段偏差较大的。轮流调整，直到每一段再改也都降不了总分。一次全改容易让相邻段互相拉扯，来回振荡。

曲线在最左和最右的点之外不要外延。没有点约束的两端，弯曲代价会让曲线保持末端的方向一直走，很快离开合理范围。读取纵向值时，只允许落在最左点和最右点的横向之间。超出这个区间的询问直接拒绝，不返回一个顺着末端甩出去的数。

若两批点的横向范围不同，不能把在一批上求好的段长原样用到另一批。段长按这一批的横向跨度来等分。跨度大，段可以稍长。跨度小，段要缩短，否则一段里装不进转向。等分的段数可以固定，段长跟着跨度变。

离群点拿开之后，要记下它们的横向位置。曲线在这些位置上读出的值，只作为对照，不回过头去修改曲线。若后来补充了新的点，落在离群点附近并且和曲线接近，再把原先拿开的点重新纳入，整条重算一次。不要在没有新点的情况下反复纳入又拿开。

最后把过程收成一条线。点按横向排好，曲线由方向和弯曲都相接的小段组成。总分是按段平均的贴点偏差，加上弯曲代价和交接处的突变代价。离群点少量拿开并只作对照。段数固定，段长随跨度变化。读取只在左右端点之间进行，一次只调整偏差最大的一段。

调整一段时，只改这一段中间的弯曲程度，两端的位置和方向保持不动。两端若跟着动，相邻段刚刚对齐的交接会被拉开，下一轮又要去补。中间弯曲改到总分不再下降为止，再轮到下一段。

点很少的时候，段数不要仍然用大批点时的固定值。点少于段数的两倍，就把段数降到点数的一半，至少保留一段。段比点还多，很多段里没有点，弯曲代价会让这些空段随意扭动。点数恢复之后，再把段数调回原来的固定值，整条重算。

偏差的平方会放大小差距。若希望大差距更受重视，这是合适的。若希望多数点都靠近、少数点的影响弱一些，可以把平方换成绝对值再相加。选定哪一种之后整批点都用同一种，不能这一段用平方、下一段用绝对值。更换算法时，弯曲代价的权重要重新取一次，因为两种偏差的数值尺度不一样。

曲线读数时，落在段内的横向位置按这一段的弯曲公式直接计算，不需要再去找最近的点做平均。最近的点只用于事后对照差距。对照差距大于这一段的平均偏差许多，就把这一段标出来，下一轮优先调整它。

整条曲线的总分在每一轮调整后都记下。若某一轮总分上升，这次调整作废，段的弯曲恢复到上升之前。连续若干轮都无法再下降，就停止，并保留总分最低的那一版，而不是保留最后一版。最低那一版的段数、段长和拿开的点一并保存，便于按同样步骤再算一次。

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