为什么数学好的人，审美品味就不会差？

你有没有发现，历史上那些在文艺领域拥有巨大成就的巨匠，往往数学也很厉害？

比如文艺复兴时期的达·芬奇、米开朗琪罗，比如德国画家兼几何学家丢勒，再比如诺贝尔文学奖获得者，同时也是数理逻辑重要奠基人的伯特兰·罗素。

达·芬奇与《维特鲁威人》（Uomo vitruviano）

而反过来，在数学乃至物理方面取得巨大成就的人，也总是展现出文艺领域的非凡造诣。比如我们都熟悉的杨振宁先生，他在1978年7月乘机飞越西藏时，看到窗外的南迦巴瓦峰巍峨矗立，雅鲁藏布江在峡谷里奔流回荡，珠穆朗玛峰在远处熠熠生辉，便有感而发写了一首诗，叫《空间与时间》：

玲珑晶莹态万千，雪铸峻岭冰刻川；

皑皑逼目无边际，深邃凝静亿万年。

尘寰动荡二百代，云水风雷变幻急；

若问那山未来事，物竞天存争朝夕。

不只物理学家，数学家也爱写诗。前不久获得菲尔兹奖的青年数学家邓煜在采访中表示自己大学时期喜欢上古诗词，并尝试自己创作。而后媒体翻出他写的古诗词，一篇《临江仙》在网络流传：

零落天涯长自伴，当时别去匆匆。

聊将醉眼望苍穹。

银河明灭处，黑洞有无中。

迭代千年浑沌后，尚期何日相逢？

愁心覆叠许多重。

思君多少意，趋向正无穷。

黑洞、迭代、浑沌、无穷，“银河明灭处，黑洞有无中”“相思多少意，趋向正无穷”，能把这些冰冷术语写进相思词里，是专属理科生的浪漫。

爱写诗的数学家，邓煜不是第一个，著名数学家丘成桐也是出了名的爱写诗，2002年，丘成桐一篇《几何颂》将微分几何写进骈文：

穹苍广而善美兮，何天理之悠悠。

先哲思而念远兮，奚术算之久留。

形与美之交接兮，心与物之融流。

所谓“形与美之交接兮，心与物之融流”，指的就是数学结构与艺术美学之间千丝万缕的联系。不论是代数、几何还是概率统计、数学分析，数学都能理解为一门“对结构的研究”，而艺术的创作与欣赏，同样离不开结构。

许多人既是文艺巨匠又是数学大师，很大程度上就是因为，他们洞察了这种结构上的外在和谐与内在联系，使二者得以融会贯通。

牛津大学教授马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）在其新书《数学结构的力量》中，以九大数学结构为线索，用素数、圆、斐波那契数、黄金分割、分形、正多面体、对称性、双曲几何、随机性，串联起一个个令人惊叹的故事，极致理性，又极致美丽。

在索托伊看来，数学结构隐藏在音乐、绘画、建筑和文学的深处，让我们创意如泉涌；它同时也是大自然创造万物的基础结构。我们的大脑天生善于寻找与欣赏这些隐藏的结构，创造力也由此萌发。

学会用“数学结构”的视角看世界，我们就会发现，创意可以习得，灵感有章可循，无论是写文章、做设计还是单纯欣赏一朵花，我们都能从中感受到全新的美与秩序。

《数学结构的力量》

[英]马库斯·杜·索托伊 著

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素数，与莎士比亚诗歌

To be, or not to be, that is the question……

生存还是毁灭，这是个问题……

数一数，你会发现有11个音节。贯穿整部《哈姆雷特》的抑扬格五音步可能会让你昏昏欲睡，但哈姆雷特的这句话很重要。所以，莎士比亚（William Shakespeare）用这一行末尾那个破坏节奏的额外节拍把你唤醒。这就不再是一个可以被整齐划分为5个2的节奏模式，而是一个素数的节拍。当在诗歌中使用一个不可分割的数时，这行诗就会脱颖而出。接下来的三行也有11个节拍。在行末添加一个额外的非重读音节的做法叫作“弱音结尾”。

威廉·莎士比亚

但11并非莎士比亚利用的唯一素数。《仲夏夜之梦》的大部分内容都是经典的抑扬格五音步。但听听迫克在给拉山德的眼中揉入魔力花汁时是怎么说的——这花汁将使拉山德爱上他醒来后看到的第一样东西：

Churl, upon thy eyes I throw

粗人，我向汝眼注，

All the power this charm doth owe.

此咒之一切魔力。

When thou wak'st, let love forbid

你醒时，让爱禁止

Sleep his seat on thy eyelid.

睡眠栖居你的眼帘。

7个音节。在莎士比亚的作品中，每当魔法出现时，你就会发现素数7。这就像一个密码，用于向观众表明剧中正在发生奇怪的事情。提泰妮娅宫廷中的仙子也用7个音节的短语说话：

You spotted snakes with double tongue,

口吐双信的斑蛇，

Thorny hedgehogs, be not seen.

多刺刺猬，莫要现身。

Newts and blind worms, do no wrong,

蝾螈盲蜥，勿作恶，

Come not near our Fairy Queen.

勿近我等仙后旁。

在《麦克白》中，口吐七音节语言的是女巫：

When shall we three meet again?

吾三人何时再聚？

In thunder, lightning, or in rain?

雷鸣，闪电，暴雨中？

When the hurlyburly's done,

待喧嚣骚动平息，

When the battle's lost or won.

待战局胜负已分。

这种别扭的七音节正是让对白令人不安的关键，因为它能创造出一种语焉不详的诡异感。

这些素数被用于表达贯穿这首奇怪诗歌始终的古怪张力。连亲临观看《麦克白》首次公演的国王詹姆斯一世也对那些奇数音节的诗行深感不安。他在一篇有关诗歌的论述中写道：“要始终注意让你的每行音步（音节）数量为四、六、八、十等偶数，而不是三、五、七、九等奇数。”

虽然莎士比亚总体上留意了国王有关坚持使用偶数的建议，但他还是在《凤凰和斑鸠》中打破了一切规则。全诗由七音节的诗句组成，开篇为13个四行诗节，结尾由5个三行诗节组成，全诗共67行。于是，我们有了3、5、7、13、67，它们全是素数。鉴于莎士比亚在意数的程度可与他在意文字的程度相媲美，我们无法认为这些素数的选择是偶然的。

默比乌斯带，与巴赫音乐

1858年，德国数学家奥古斯特·默比乌斯（August Möbius）发现了这个神奇的结构，并用自己的名字命名。默比乌斯带是一个扭转而成的环形结构。这种扭曲让默比乌斯带拥有一些相当古怪的特性。例如，如果你给这个形状的某一面涂色，当回到起点时，你会发现整个形状的表面已经全被涂满颜色。

默比乌斯带源于数学，却因其独特的结构被赋予哲学与情感内涵。设计为饰品象征着永恒，用于建筑营造无限循环的空间，在科幻作品中是穿越时空的道具。

但你不知道的是，“西方音乐之父”巴赫（Johann Sebastian Bach）在音乐中也喜欢以数学为创作蓝图，在他的作品中能找到许多有趣的数学游戏，甚至将默比乌斯带写进了乐谱里。

例如，巴赫的作品集《音乐的奉献》中被称为“逆行卡农”的键盘曲，乐谱以单行谱写成。当演奏到达结尾时，你会发现巴赫重复了作品开端的谱号和调号，但是是用镜像方式写成的。巴赫是在指示你，用一只手从头开始正向演奏，同时用另一只手从结尾开始逆向演奏，当两个声部合奏时，仅由一行乐谱构成的旋律便会交织成一曲优美的二声部创意曲。

再比如，在巴赫为《戈德堡变奏曲》所写的14首谜题卡农曲中，有一个非常奇特的例子。当你解开第5首卡农曲的密码时，会发现它是一曲音乐版本的默比乌斯带。钢琴弹奏者需要演奏的乐谱如下：

《戈德堡变奏曲》所附的第5首卡农曲

乐谱的第一行看起来与第二行相当不同，除非我们用同一种奇特的方式稍加处理。让我们把第一行“揭”下来，想象那些音符写在一块透明的赛璐珞上，然后将其扭转成一个默比乌斯带。当沿着环带行进时，前半部分呈现第一行乐谱；而当我们转到赛璐珞的背面，从反面阅读音符时，便得到了第二行旋律。

这是一个真正利用默比乌斯带创作卡农曲的例子。巴赫在数学家默比乌斯阐述默比乌斯带结构的一个多世纪之前，就被这种数学蓝图的美学力量吸引了。

《戈德堡变奏曲》的14首谜题卡农曲是巴赫为加入“音乐科学通信协会”提交的。1747年6月，巴赫被接纳入会，在画家埃利亚斯・戈特洛布・豪斯曼为庆祝巴赫入会而绘制的肖像中，这位作曲家手持的乐谱正是第13首卡农曲的加密版本。

分形，与波洛克滴画

2005年5月，艺术界因为一条令人兴奋的消息而沸腾：20世纪抽象表现主义艺术领军人物杰克逊·波洛克（Jackson Pollock）的32幅新油画被发现。

杰克逊·波洛克是美国画家，因其非常独特的“滴色画法”而闻名。他将画布铺在工作室的地板上，然后将颜料滴溅在画布上，画出巨大的彩色斜线和旋涡形状，因此赢得了“滴画杰克”的绰号。

杰克逊·波洛克工作室的地板

32幅新油画令人兴奋，但并非所有人都认为这是真迹。为了鉴定真伪，波洛克-克拉斯纳基金会竟然找了一位物理学家——理查德·泰勒（Richard Taylor）协助。原来，泰勒发现波洛克的画作中有一些非常独特的东西，它们呈现的是在20世纪才被真正认知的重要数学结构：分形。

“分形”一词由伯努瓦・B. 芒德布罗（Benoit B. Mandelbrot）于1975年首创。分形具有两个关键特征：一是标度性，即放大任何部分依然保持整体图像的复杂性；二是具有分形维数，能够填充比一维线条更多的空间。

通过在边上不断添加小三角形创造的“科赫雪花”

泰勒用定义分形维数的正方形网格覆盖波洛克的画作，统计颜料轨迹经过的正方形数量，并用计算机辅助计算。结果是惊人的——波洛克的画中确实存在分形维数。

用正方形网格定义科赫雪花的分形维数

不仅如此，随着波洛克艺术风格的成熟，泰勒分析的不同画作的分形维数也有所变化：

波洛克是在1943—1945年开始尝试这种风格的，创作于这几年的画作的分形维数相对较低，仅略大于平滑轨迹的分形维数值1。例如，波洛克创作于1945年的一幅《无题》的分形维数为1.12；进入“经典时期”（1948—1952年），波洛克作品的分形维数便稳定在1.7左右，某幅画的分形维数甚至达到了1.89，几乎填满了整个画面空间。

波洛克代表作之一，《一：31号，1950》（One: Number 31, 1950），1950，布面油画，269.5×530，现藏于纽约现代艺术博物馆

泰勒让美国俄勒冈大学的37名学生尝试通过类似波洛克的泼洒风格来复制这种分形特性，没有一幅作品成功。

遗憾的是，泰勒用此方法分析那批据称是波洛克失传作品的画作，结果表明它们都是赝品——32幅作品，都不具有波洛克的画作中如此特立独行的标志性分形特征。

正多面体，与舞蹈作品《春风与新喜》

1936年柏林奥运会开幕式前一天，30座城市的1000名年轻舞者同时表演了一部名为《春风与新喜》（Vom Tauwind und der Neuen Freude）的大型作品。很少有人知道，这部宏大舞蹈的底层蓝图，是一种2000多年前被柏拉图命名的数学结构——正多面体。

这部作品的编舞家是鲁道夫・冯・拉班（Rudolf von Laban）。

鲁道夫·冯·拉班

在接到这一重要委托之前，拉班已经用几十年的时间革新了舞蹈领域，被公认为席卷编舞界的新运动理论的推动力量。他的新编舞风格不再是音乐的配角，摒弃了舞蹈叙事的传统，转而专注于将身体视为在空间内移动的抽象结构。其中一个核心理念是，舞者对周围空间和结构的觉知。

拉班最初的尝试是让舞者想象自己被一个立方体的网格包围，但他发现立方体与人体的自然运动非常不协调，而拥有20个等边三角形面和12个顶点的正二十面体与人体形态更为契合。

拉班舞谱中的符号

正如下图中右腿动作所示，每个符号对应一个不同的位置。

他写道：“人体倾向于沿正二十面体12个顶点的连接线移动，仿佛沿着一个无形的路径网络行进。”更为简单的正四面体有4个等边三角形面、4个顶点和6条棱，同样被证明是舞者探索动作的自然形状。

拉班舞谱中符号对应的动作

这些几何形状推动拉班发展出了一种重要的新记谱法，能够标示身体的四肢应如何移动。这种舞谱可以像乐谱一样阅读，正是借助这种新的记谱法，拉班才能够协调分布在30座城市的舞者。

拉班的理念取得了巨大的成功，并在第一次世界大战后的一段时间内在欧洲各地催生了24所拉班舞蹈学校，以推广他这种新的几何风格舞蹈。他通过不断观察发现，无论文化背景如何，一个人的身体在自由运动时都会勾勒出正二十面体的轨迹。

拉班相信，基础数学的普遍性将催生出一套超越文化边界的动作理论。正如1000名舞者在30座城市同时起舞，他们不仅在跳同一支舞，也是在绘制同一幅几何蓝图。

从素数到分形，从正多面体到对称性，《数学结构的力量》为我们揭示了一种新颖而神奇的思路：当我们用数学看艺术，会发现创意也可以习得；当我们用艺术看数学，会发现数学研究中藏着人类澎湃的情感。

数学不只是一个个公式，一道道题目。它是可以亲近的，它就在我们身边，就在我们共同的审美价值之中。

正如作者所言：“每个人的内心都隐藏着一点儿数学家的潜质，即使我们表面上可能会回避这一点。对那些想到数学就紧张的读者，我希望本书能让你们惊喜地发现，你们喜爱的事物往往是经过伪装的数学。”

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