袁岚峰：不确定性原理究竟是什么意思？| 科学世界·视点

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当你听到量子力学中有个测不准原理，会不会感到十分迷惑？例如有人就曾问我，测不准原理是不是意味着导弹都打不准了？后边大家就会明白，答案是几乎没有影响。

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测不准原理从何而来？

这个原理究竟是怎么来的呢？经常见到的一种说法是：要测量一个体系的某个性质，就需要测量仪器跟这个体系发生相互作用。对于宏观物体，测量仪器可以做得比这个物体小得多，所以对这个物体的干扰可以忽略不计。但对于微观体系，测量仪器的大小会跟这个体系处于同一量级，甚至比待测体系还大。例如要确定一个电子的位置，你至少也要发一个光子过去，而一个光子就会对电子的位置产生很大的扰动，所以你无法测得精确的位置。

这种说法属于典型的似是而非。测不准原理的提出者海森伯（1901~1976）就经常这样表述，但即使如此它也是错的。它最糟糕的地方，就在于让读者以为测不准是由于测量仪器的限制。那么读者立刻就会想到，改进仪器就有可能突破这种限制。实际上，测不准是待测体系本身的性质，所以无论怎么改进仪器都不能改变它。这话听起来很难理解，是吧？我们后边会来详细解释它。

再来看看推翻测不准原理的努力。这个原理最常见的表述方式之一，就是一个体系的位置和动量不能同时测准。这话听起来十分怪异，所以我见过很多人、很多书、很多文章，力图论证测不准原理是错的。最常见的论证方式，就是设计某种测量方法，认为按照这种方法就能同时确定一个体系的位置和动量。

我可以在这里给个结论，所有这种论证都是错误的。如果你仔细去找，总是可以找到这些测量方法的某种缺点，导致它不能达到目的。不过在这里我并不打算逐个去分析这样的例子，因为完全没有必要。这就好像所有的永动机设计方案都是错误的，因为永动机这个目标违反能量守恒定律，所以你不用挨个仔细看，就能知道它们是错的。

到这里为止，我们说了一堆对测不准原理的错误理解。那么正确的理解该是什么？正确的理解包括好几层。

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测不准原理的正确理解

第一层，测不准原理其实只是个俗称，这个原理的正规名称叫作“不确定性原理”。看到这个名字，你是不是立刻就产生一个感觉：这个原理说的是待测体系本身的性质，而不是测量仪器的问题？有这个感觉就对了。

第二层，不确定性原理谈论的对象，是物理量的不确定度。物理量为什么会有不确定度？这话对完全没有听说过量子力学的人来说，可能比较难以理解。但对看过我的前几篇文章的人来说，很快就可以明白：因为量子力学中的测量结果是概率性的。

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量子力学的测量

让我们回顾一下，量子力学中的测量是怎么回事。假如一个体系可以处于|0>和|1>两个基本状态（回顾一下，|>这个符号叫作“狄拉克符号”，用来表示量子力学中的状态），那么根据叠加原理，这个体系就可以处于l0>和|1>的任意线性叠加，即任意的a|0>+b|1>，其中a和b是两个数，对它们唯一的限制是|a|2+|b|2=1。

然后，当我们要对这个体系做测量的时候，我们首先要选定一个基组，就是一组基本状态的集合，它们的线性叠加可以表示出这个体系允许取到的所有状态。在这里，我们就取最简单的例子，即用|0>和|1>这个基组，对a|0>+b|1>这个状态做测量，那么结果是什么呢?

如以前的文章所述，结果是以|a|2的概率得到|0>，|b|2的概率得到|1>。当然，如果a=0，就会100%即确定地得到|1>，如果b=0，就会100%即确定地得到|0>。但这是特殊情况，在大多数情况下，a和b都不等于0，测量结果就是概率性的，两种结果都有一定的概率出现。这个概率性，就是量子力学的本质特征，它是无法消除的。再来回顾一下，一个物理量在测量之前总有个确定的值等着你去测，这是经典力学的世界观，但量子力学正是告诉我们，这个世界观是错的！

假如我们定义一个物理量X，它对|0>这个态取值为0，对|1>这个态取值为1，那么请问，对这个叠加态，这个物理量的取值会是什么呢？你立刻就知道答案了，取值是不确定的，它会以一半的概率取到0，一半的概率取到1。用稍微数学一点的语言说，测量结果是一个分布。我们可以事先预测这个分布，但无法预测单次测量的结果。

知道了这个分布，我们就可以定义X这个物理量的平均值（average value）或者叫作“期望值”（expectation value），往往用 来表示。在这个例子中，期望值显然就是

知道了期望值以后，又可以定义这个分布的“方差”（variance），它是这个物理量与自己的期望值的差的平方的期望值，即<(X- ) 2>，往往用Var(X)来表示。在这个例子中，就是

再下一步，方差的平方根就叫作“标准差”（standard deviation），往往用△X来表示。在这个例子中，就是

实际上，标准差就是这个物理量的不确定度（uncertainty）。现在大家明白了吧？只要一个物理量的测量结果是概率性的（这是非常常见的情况），它就会有个不确定度。

关键在于，只要给定了待测状态，这个物理量的不确定度就是可以事先算出来的，它跟测量仪器毫无关系。并不是因为测量仪器不够准才导致不确定，而是因为待测状态就决定了测量结果是一个分布，由此导致不确定。

了解了物理量的不确定度之后，我们再来解释不确定性原理实际说了些什么。它说的是，对于一个体系的两个物理量，它们的不确定度的乘积有个下限。

不确定性原理谈的不是一个物理量的不确定度，而是两个物理量的不确定度的乘积。一个物理量的不确定度其实完全可以是0，因为总可以找到使它为0的待测状态。但两个物理量的不确定度的乘积却可能永远无法成为0，无论你找什么样的待测状态都不行。这就是不确定性原理告诉我们的惊人的事实。

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不确定性原理的数学表述

上面这些论述，可能已经绕得你晕头转向。来看一个具体的例子，你就清楚了。不确定性原理最广为人知的例子，就是开头说的，一个体系的位置和动量不能同时确定。实际上，对此严格的数学表述是。

其中，△x是x方向坐标的不确定度，△px是x方向动量的不确定度，两者乘起来必然大于等于ℏ/2。这个ℏ叫作“约化普朗克常量”，等于普朗克常量h除以2π。本来先发现的是普朗克常量，但在后来的理论推导中，人们发现h/2π非常频繁地出现，于是给它起了约化普朗克常量这个名字，还给了它一个专用的符号ℏ。

这个不确定性关系告诉我们很多东西。例如对于一个△x=0即位置完全确定的粒子，它的△px必然等于无穷大，即x方向动量完全不确定。而对于一个△px=0即x方向动量完全确定的粒子，它的△px必然等于无穷大，即x方向坐标完全不确定。而对于某种中间状态，例如氢原子中的电子，它的△x和△px都不等于0，把实际的值代进去，你会发现它们的乘积确实大于ℏ/2这个下限，不过相差不多，处于同一量级。根据这个原理还可以估算氢原子的半径，然后会发现确实跟实际值处于同一量级。

一个有趣的问题是，把这个原理用到宏观物体上，会怎么样？答案是几乎没有影响。例如对于一粒肉眼看不见的微尘，直径约为1微米（即10-6米），质量约为10-12克，速度约为0.1厘米/秒，那么它的动量约为10-18千克·米/秒。再假设对它的位置测量达到一个极高的精度——10-10米，即相当于一个氢原子的直径，那么请问，它的动量不确定度等于多少呢？按照不确定性关系，会得到

干克·米/秒

由此得到的动量相对误差△P/P≈10-6，这仍然是一个非常小的相对误差，实验上都很难达到。这还是对于一粒微尘，随着物体质量的增大，动量的绝对值会变得更大，动量的相对误差会变得更小，所以对于像导弹这样的宏观物体，不确定性原理几乎不产生任何影响。

因此，不确定性原理是一个对微观非常重要、对宏观非常不重要的原理。那么，不确定性原理是怎么来的呢？许多书籍和文章大谈它的哲学意义，让许多人产生一个感觉，好像它是个基本原理，从天上掉下来的。但其实完全不是这样，不确定性原理是一个定理。

这个定理的证明可以参见任何一本量子力学教科书。其实说到底，这个定理来自量子力学中对物理量测量值的定义，只要你接受这套定义，再加上一些不算很复杂的数学推导，就会推出这个定理。到这里为止，你对不确定性原理的了解已经超过了99.99%的人。还有什么不知道的？可能还剩下一点，就是物理量测量值究竟是怎么计算的。这个说起来可就长了，要牵涉到算符（operator）。这里我们暂时不再详细讲解。因为一旦要讲解，就会发现这需要整本量子力学教材。

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量子力学的波函数

对于位置和动量之间的不确定性关系，其实存在一种比较容易理解的解读。如果你学过信号与系统，了解傅里叶变换，你会发现，它就相当于一个信号在时域与频域的关系：在时域越窄（即在时间上集中），在频域就越宽（即在频率上弥散）；在频域越窄，在时域就越宽。无论如何也不可能让一个信号在时域和频域都很窄，因为它在时域的宽度和在频域的宽度相乘有个下限。

如果觉得时域和频域这些名词太专业，我们还可以换一种讲法来理解。假设握住一根长绳的一端，上下摆动产生一个波。“波究竟在哪里？”就不是一个好问题：波不在任何地方——它分布在一个范围内。另一方面，如果问这个波的波长是多少，则可以回答出来。如果突然抖动绳子则可以得到一个沿绳子传播的很窄的峰。这时“波在哪里”这个问题就有答案了，但是“波长是多少？”就又没意义了——它甚至没有一个周期，也就没有波长。当然我们也可以想象出介乎两者间的情况，但是相对来说肯定会有一个取舍：波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。

这种讨论适合任何波动现象，也适用于量子力学的波函数。粒子的动量和波长是存在联系的，波长的弥散就对应动量的弥散。因此对观测来说，粒子的位置确定得越精确，它的波长就越不精确，于是动量就越不精确。定量地写出来，就是。式中△X是位置X的标准差；△px是动量p的标准差。

不确定性原理是一个惊人简明而又深刻的结论，这是一种科学之美，你感受到了吗?

本文摘编自杂志2025年第12期，文章内容略有删改。

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