王虹攻下的三维挂谷猜想，OpenAI放出175页四维证明稿！

新智元报道

王虹攻下三维，OpenAI直接把四维证明稿摆上桌了！

10月6日，OpenAI在GitHub上公开首批722篇数学手稿。

其中一篇长175页，目标直指四维挂谷猜想。

另一篇97页，还要在三维上再闯一关，瞄准比王虹与Zahl的集合定理更强的极大函数版本。

OpenAI数学手稿目录中的074组，分别对应三维极大函数版和四维集合版

这道让数学家追了一个多世纪的难题，最初的问题却简单得惊人。

一根针，怎么在尽可能小的地方掉头？

一根针的极限掉头

在拥挤的车厢里，把一把收起的长柄伞调个头，边挪边转，往往比直接横着转更省地方。

1917年，日本数学家挂谷宗一提出了一个类似的问题。一根长度为1、没有粗细的针，在平面内掉头180度，最少需要扫过多大的面积？

Besicovitch给出的答案是：面积可以任意小。

如果再把要求放宽一步，不要求针连续转动，只需每个方向都放得下一条单位线段，这个集合的面积甚至可以是零！

面积已经小到零，问题却还没结束。这些朝向四面八方的线段，是否仍然必须撑起二维的结构？

挂谷猜想断言：在n维空间里，只要一个集合包含所有方向的单位线段，它的维数就必须是n，也就是「满维」。

二维情形在1971年证完了，可到了三维，数学家又被卡住半个多世纪。

王虹证明了什么

要回答三维的问题，数学家会先把这些线段稍稍加粗，变成细管，再观察管子不断变细时，重叠后的体积怎样变化。

二十多年前，Katz、Łaba和陶哲轩已经发现了一些可以利用的排列规律。

但远看挤在一起的管束，放大后可能有大量空隙，不能直接当成实心粗管来计算。不同尺度上的结果，也未必接得起来。

为了解决这一问题，王虹与Zahl先从较有规律的「粘性」情形入手，2022年完成了证明。

2025年2月，两人交出了127页论文，终于把证明推进到一般情形。

三维的「集合版」猜想，至此正式解决。

王虹与Zahl的三维挂谷论文，摘要给出Hausdorff维数与Minkowski维数均为3的结论

左图为「粘性」情形；右图粗管大量交叠，内部细管却很稀疏

OpenAI三维新证明

同一个问题，更强的版本

三维攻下来了，难题却还没到头。

王虹与Zahl解决了集合的维数问题，要求更高的「极大函数版」还在等一个答案。

OpenAI这份97页手稿，瞄准的正是这一步。

OpenAI三维手稿的标题与摘要，主定理针对更强的挂谷极大函数猜想

差别藏在细管的涂色里。每根只涂一部分，重叠处只算一次，这些颜色合起来，至少还占多大体积？

王虹与Zahl的估计，已经足以推出「维数是3」。OpenAI要再进一步，精确控制涂色比例与总体积的关系。哪怕涂得越来越少，这个更严格的下界也必须成立。

按照OpenAI的论证，这个更严格的要求得到了满足，并能进一步推出完整的三维极大函数估计。

麻烦就出在放大之后。

同样涂了10%，集中在一端和分散在各处，截出一小段后，密度就可能完全不同。

OpenAI因此记录涂色在不同尺度上的分布，追踪每次切分、放大的变化，再结合几何估计与熵分析，尝试排除重叠过度、违反目标下界的排列。

这套论证仍用到了Guth、王虹与Zahl的集合估计，以及王虹与任康的平面Furstenberg定理。

如果主定理成立，收获还不止这一个。

• 一类是Nikodym极大函数估计，从按方向寻找细管，转向研究经过各个点的细管。

• 另一类借助已有转换定理，将结论从直细管推广到符合特定条件的弯曲细管，得到相应的局部结果。

OpenAI四维新证明

多一维，难度不止加一

此前的维数下界，停在3.059；王虹与Zakharov今年9月的满维突破，也只覆盖特殊的「粘性」情形。

从3.059，直奔4！OpenAI这份175页手稿，要挑战的正是这一步。

OpenAI四维挂谷手稿的标题与摘要。主结论针对一般四维挂谷集合的Hausdorff维数

但三维的证明，不能直接搬到四维。

Guth指出，四维里的细管可以沿着二次曲面大量聚集，形成三维方法控制不住的重叠。

OpenAI于是把这种聚集本身当成线索。它用二次多项式描述局部的线段关系，再追踪这些关系能沿线段延续多远。

但只解释少数线段还不够。

OpenAI借助前面97页三维手稿中的一条加权估计，让选出的局部区域包含足够多的线段交会。

而这条引理的源头，依然是Guth、王虹与Zahl的集合估计。

OpenAI三维手稿第20页，引理3.3及公式（3.7）、（3.8）；四维稿引用时标为「引理2.3」，并在自身的引理2.15中重述

处理平面结构时，OpenAI的四维论证还用到了王虹与Zahl的点积定理。

这有点像是在点科技树，OpenAI继续往前点，仍然要用到王虹参与解锁的前置技能

最后一步，要让假想的反例自己露出破绽。

OpenAI先假设，存在一个维数不足4的挂谷集合，再按线段的聚集方式分情况处理。有的情形能让局部关系沿线段延续得更远，有的则能把线段限制在更薄的区域里。

接着，还得把这些改进接起来，并确认它们回到原始尺度后依然有效。按照OpenAI的论证，这时就会与假想反例必须满足的条件冲突，排除维数不足4的可能。

这175页一旦经得住检验，四维的满维结论就将从特殊情形，推进到一般情形。所有方向的单位线段只要齐全，集合的Hausdorff维数就必须是4。

不过，这仍然是四维的「集合版」。更强的四维极大函数版，还没有由此解决。五维及以上也只得到「维数至少为4」，还不能推出各自满维。

最后属于人类的菲尔兹奖

那么问题来了，今年这届，会是最后属于人类的菲尔兹奖吗？

王虹捧起奖牌不过几个月，OpenAI就交来了同一研究方向上的272页新手稿。两篇论证还需要独立检验。但如果它们最终成立，这段数学史往后写，就绕不开OpenAI这个名字。

王虹的名字，也没有因此退场。OpenAI继续往前，用的仍有她与合作者建立的估计和方法。

真正悬着的，是下一次突破。如果AI开始持续提出新方法、打开新方向，人类还能一直抢先迈出那一步吗？

2030年，下一届菲尔兹奖颁发时，值得追问的或许不只是领奖台上站着谁。

还有那项获奖成果中最关键的一步，究竟是谁想出来的。

参考资料：

https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Every-four-dimensional-Kakeya-set-has-full-Hausdorff-dimension-September-24-2026/paper.pdf

https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-Kakeya-maximal-conjecture-in-three-dimensions-September-23-2026/paper.pdf

编辑：摩西 马可