菲尔兹奖得主洛朗·拉福格：如果没有数学家的研究与核验，AI生成的数学文本就失去了意义

AI正在引发数学界的地震。本月初，OpenAI一次性公开了700余篇完全由AI生成的数学预印本。菲尔兹奖得主陶哲轩公开表示，数学家苦思多年、以“英雄”姿态攻克难题的“浪漫时代”，可能即将终结。但在另一位菲尔兹奖得主、法国数学家洛朗·拉福格（Laurent Lafforgue）看来，AI大规模改变数学的写作和生产方式的同时，也是数学家集体反思数学生产的好机会。在AI时代，数学家的地位也无可替代。

10月28日，拉福格在复旦大学“浦江科学大师讲坛”演讲中，从另外一个角度切入数学与AI的关系：大语言模型在文本和图像上取得了如此惊人的成功，背后可能也藏着一个尚未被识别的结构，而这正是需要数学家去探索的领域。

菲尔兹奖得主、法国数学家洛朗·拉福格（Laurent Lafforgue）在“浦江科学大师讲坛”发表演讲。图片来自主办方

AI的数学悖论

拉福格提到，AI应用的成功有一个共同的先决条件：真实人类写下的海量文本和拍摄的海量图像。大语言模型之所以能预测下一个词元、补全一段文本，恰恰暗示着那个由无数人写下的文本库内部，存在着某种数学性的秩序。如果数据是完全不规则的、不连续的集合，系统就不可能从中学到任何可以推广的东西，更不可能用有限的计算去逼近一个全局结构。问题在于：“我们知道有一个结构，但不知道这个结构是什么样”。

这正是让数学家感到不安的地方。工程师把词元编号、嵌入为向量、用海量算力反复调整参数，模型“起作用了”。但拉福格指出，这些向量并非来自任何物理测量，“对数学家来说甚至是任意的”。AI的成功正是建立在对这种成功本质的不理解之上，“对于数学家来说，这一点尤其令人不满意。”

要追问这个“结构”是什么，拉福格选择从亚历山大·格罗滕迪克那里汲取灵感。格罗滕迪克是20世纪最具革命性的数学家之一，现代代数几何的奠基人。传统几何学关心一个空间里“有哪些点”“点的坐标是什么”，格罗滕迪克则转而追问，点是否是合适的几何概念？

他由此创立了拓扑斯（topos）理论，用“层”与“覆盖”的语言重新定义“空间”——空间不再是一些点构成的集合，而可以用完全不同的方式，用代数的语言加以描述。

格罗滕迪克的视角

拉福格是格罗滕迪克的信徒。他2002年获得菲尔兹奖的工作——证明正特征函数域上的一类朗兰兹对应——本身就是在格罗滕迪克所奠定的代数几何框架中完成的。

在他看来，面对AI“黑箱”，格罗滕迪克的思路非常有用：不要一上来就问“这个词是什么意思”“这个图像对应哪个点”，而应当把全部文本或全部图像作为一个整体空间来看待，问它们是否能被赋予一个连续的、可分类的几何结构。

围绕大语言模型的数学研究已经形成了几条相当不同的路径，如统计学习、动力系统与组合论，但都将给定的大语言模型作为研究对象，将它视作参数空间、状态轨迹或架构的组合规则。但在格罗滕迪克理论的视野中，这个问题被颠倒过来：如果人类数据本身就具备某种不为人知的结构，那么大模型与之“同构”，成功就是理所当然的。

虽然图像和文本可以用数据点等形式来定义，但拉福格提醒说，拓扑斯理论的长处正在于其放弃了点的定义——就像在生活中从未真正“看见”过一个抽象的数学点一样。该理论捕捉的是覆盖、黏合和连续变化的整体模式，而这些模式则比点要更符合直觉。

“比如‘覆盖’的概念，这意味着你有一些更大的东西，是由更小的东西来进行覆盖的——像上海这样大的城市，是由不同的区来覆盖的；衣服都是由更小的布块被纺织到了一起，成为一件衣服来覆盖我们的身体。”拉福格说。

数学家要做的，是把这种“小东西拼成大东西”的直觉变成可运算的结构：给定一个空间，先指定一族局部小块，再规定哪些小块可以拼在一起、拼法是否唯一，这套“覆盖与黏合”的规则刻画了这个空间的整体形状。而“层”就是附着在这套覆盖规则上的数据——它为每个局部小块分配一个对象（比如一段文本、一个函数、一组概率），并要求这些局部数据在重叠处彼此相容、能一致地黏合。

用这种语言重新描述大语言模型，拉福格得到了一个与众不同的图景：模型不是在给每个词指定一个固定意义，而是在一个由覆盖规则组织起来的文本空间里，计算哪些局部续写能够一致地拼成整体——这正是“层”与“覆盖”在大模型身上的对应物。

拉福格认为，如果AI的文本生产背后确实存在一个数学结构，那么拓扑斯提供了一种不依赖“点”的语言去逼近它的可能路径。当然这个想法是否最终会成为洞悉大模型规律的框架，还需要数学家们继续探索。

语言之外

拉福格提到，大语言模型完全在人类语言空间内部运作。它处理的是已经被写下来的文本，输出的是可以被词元序列表达的文本，可以极其高效地在既有语言的地形上“铺路”，却看不见那些尚未被语言命名、尚未进入符号系统的东西。

现场一位同学询问拉福格，AI是否能生成对自身的数学描述从而改进自己？拉福格回答，这种描述一定不会是格罗滕迪克式的——数学在某种意义上是一种解释性的科学，我们不断寻找某些东西，找到之后给它命名，它才进入可把握的存在。如果没有被命名，它就存在于语言系统之外。AI系统“完全处于我们的语言空间和领域之内，它可能不一定能够看到或理解那些还没有在我们语言体系里出现或被命名的东西”。

拉福格并不否认AI会大规模改变数学的写作和生产方式，但他认为，这恰恰是数学家集体反思数学生产的好机会。

他告诉记者，20世纪之前的数学文学色彩更浓，现代数学那种命题化、结构严整的写作范式、注重解题的风格很大程度上是美国学派推动并被全球采纳的结果。而在AI的冲击下，这种高度标准化的范式可能松动，当人在形式化证明的道路上无法与AI匹敌时，像俄罗斯学派那样把数学重新理解为一种与哲学、文学相通的活动可能会复兴，甚至诞生全新的风格。

拉福格提到，他多次参加中国的会议活动，这些会议把完全不同领域的人聚集在一起，是非常有意义的事。在科学史中，数学与物理、计算机科学的关系都非常重要，与哲学与文学的关系也比想象中近得多：帕斯卡既是数学家，又是法国最伟大的作家和哲学家之一，还是历史上第一个设计计算器的人；而格罗滕迪克本人文笔极好，常被称为“诗人”。

除了风格上的转变，拉福格不认为数学家会“失业”。“如果AI生产数学文本，却没有数学家去研究、核验，那些文本就失去了意义。”他说，“数学家的位置无可替代”。

对于学生的教育，他则认为，AI写作可用于学习数学和外语，但学习本身是传统活动，需要付出努力，尤其是写作能力和计算能力。机器不能取代人的努力，只能提供资源。

拉福格说，法国教授普遍对中国学生很满意，他们学习勤奋、知识扎实、做事认真、尊重老师，但缺点是不爱提问。但AI的出现带来了一个好的现象，很多学生先问AI，再获得向教授提问的信心。

“教授们其实很高兴被问到困难的问题。”他说。

澎湃新闻记者季敬杰