泛函分析（二）第四讲：算子稳定性与病态逆问题

导语

集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设。本期课程将在函数空间、Hilbert 空间与对偶空间等基础上，把第一期介绍的泛函分析直观概念，发展为可计算、能证明、有助于阅读和写作人工智能领域论文的研究工具。

作为第二期第四讲，本讲围绕“小噪声为何造成大误差”展开，从Hadamard适定性出发，借助算子下界、闭值域与奇异值衰减解释逆问题的不稳定机制；以Tikhonov正则化与谱滤波控制噪声放大，权衡偏差与稳定性；进而讨论非线性逆问题的条件稳定性与误差界，并结合图像重建分析深度学习中的幻觉、不可辨识性及网络架构作为正则化的作用。

分享将于 11月 3 日（周二）19:30—21:30 进行。

课程简介

本讲围绕“小噪声为何会造成大误差”展开，讨论逆问题的病态性、正则化方法及学习型重建的可靠性。首先介绍 Hadamard 适定性，通过算子下界、闭值域与奇异值衰减，解释逆映射不稳定的数学机制；随后以 Tikhonov 正则化和谱滤波为核心，说明如何控制噪声放大，以及如何平衡重建偏差与稳定性。在此基础上，进一步介绍非线性逆问题中的条件稳定性、强单调性与误差界，并结合图像重建和相关论文，分析深度学习方法中的幻觉、不可辨识性，以及网络架构作为正则化参数的作用。

课程大纲

1. 逆问题与稳定性的基本概念

• 含噪观测模型与逆问题的基本形式。

• Hadamard 适定性：存在性、唯一性与稳定性。

• 前向算子的连续性与逆映射的稳定性。

• 稳定逆的等价条件：算子下界、单射与闭值域。

• 典型例子：有限维病态矩阵、无限维对角算子与紧算子。

病态性的谱解释

• 紧算子的奇异系统及其与 A*A 的关系。

• 小奇异值导致噪声放大的机制。

• 用谱刻画稳定性下界。

• 图像模糊与逆滤波的 Fourier 解释及数值演示。

• 选讲：Picard 判别条件。

正则化：稳定的近似求逆

• 正则化算子族与收敛性要求。

• Tikhonov 正则化、正规方程及强单调结构。

• 数据扰动的定量稳定性估计。

• 直接求逆、截断奇异值与 Tikhonov 谱滤波的比较。

• 正则化偏差与噪声误差的分解。

• 参数选择：收敛条件与 Morozov 偏差原则。

非线性稳定性与单调算子

• 局部 Lipschitz 稳定性与 Hölder 稳定性。

• 先验模型类上的条件稳定性与可辨识性。

• 切向锥条件与非线性问题的局部线性化。

• 强单调性带来的逆稳定性与预解算子的压缩性。

• 区分问题稳定性、正则化稳定性、算法稳定性与学习稳定性。

• 选讲：度量次正则性与残差误差界。

学习型重建的稳定性与可靠性

• 学习型重建的评价维度：准确性、数据一致性、扰动稳定性与正则化一致性。

• 核空间与近似不可辨识方向：重建幻觉的数学来源。

• 稳定性压力测试：随机噪声、最坏方向扰动与采样模式变化。

• 论文案例：深度重建的不稳定现象与准确性—稳定性权衡。

• 具有结构约束的学习方法：单调神经算子与弱凸学习型正则化。

• 网络架构作为正则化参数：模型复杂度控制与偏差原则。

主讲老师

贾伊阳，东京都市大学讲师，曾任日本女子大学、成蹊大学助理教授，研究方向涵盖计算复杂性、算法及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》《面向应用的泛函分析》课程讲师。她的讲课风格细致入微、逻辑清晰，声音甜美，是集智社区中备受学员喜爱的人气讲师。

贾伊阳老师近期与耶鲁大学数字伦理中心创始主任、信息哲学家Luciano Floridi展开合作，共同运用范畴论等数学工具，系统探讨人工智能的边界与安全性问题。

双方围绕大语言模型的语义基础、AI系统的形式化建模以及智能体的因果推理等方向，合作发表了多篇学术论文，从数学哲学层面为理解AI的能力边界、幻觉来源与可靠性提供了新的分析框架。

贾老师也将在后续课程中介绍这一系列合作成果，欢迎关注。

面向对象

这门课适合两类人。

一类是从事机器学习、人工智能相关工作的人。你们每天在用的那些模型：正则化、对抗训练、ISTA、Neural ODE、DEQ、Diffusion、FNO、强化学习，背后都站着同一套数学。这门课讲清楚这套数学，学完再看论文里的“紧性”“对偶”“半群”“谱”，就不再是陌生的名词，而是可以拆开、可以计算、可以用到自己的工作里去的工具。

另一类是学数学的人。如果觉得泛函分析是一门由孤立定理构成的基础课，这门课想让你看到它的另一面：这些定理怎样直接解释现代智能系统为什么能收敛、为什么会发散、会在哪里出问题。

建议具备一定的函数、向量与矩阵基础，最好已经接触过第一期的基本框架；如果对机器学习中的常见模型有大致了解，会学得更顺畅。

报名须知

1. 课程形式：线上腾讯会议直播 + 回放2. 课程周期：2026年9月8日起，每周二 19:30-21:30进行，每两周一次课，固定在周二晚 7:30（即隔周二）3. 课程定价：499元

课程链接：https://campus.swarma.org/course/5726?from=wechat

付费流程：

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。

课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。

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附赠两副复杂科学知识卡

学员如何获得：

1. 宣传贡献

• 转发活动文案或海报至朋友圈，附上个人推荐语，早鸟价报名集赞满100个、原价报名集赞30个。

• 同一课题组5人组团集体报名。

1. 内容贡献

参与字幕校对或内容整理工作，可使用9900积分兑换相应权益。

历届学员反馈

：贾老师的第一期课程中，为我们介绍了泛函的基本定义，什么是函数空间，介绍了常用的希尔伯特空间，如何用核方法去测量函数（对偶空间）来找到我们需要的原函数，在做泛函的过程中，还讲了很多技术细节，就是怎么测量函数，需要满足哪些要求等等。

通过初步学习和了解，我们理解了物理、机器学习的内部工作原理，理解了诸如无限宽度的神经网络约等于一个核方法，知道了如何从数学思维理解机器学习。

希望在第二期的学习中，更够更加了解到解决前沿高维数学问题的泛函分析思想和方法。

：贾老师讲得很好，从头到尾把一门课讲得这么体系化，非常难得。课程内容扎实，逻辑清晰，听下来收获很大。

如果后续课程深入，我特别期待能听到以下几块内容：变分法与最优化、线性算子理论、三大定理（Hahn-Banach、一致有界性、开映射与闭图像）、谱定理。这些方向非常实用，对我们的研究和应用都会有直接的帮助。

关联课程丨面向应用的泛函分析：空间、算子与结构

第二期默认你熟悉第一期的基本框架——函数空间、范数与完备性、Hilbert 空间的几何、对偶空间。如果你是从机器学习或人工智能直接进入泛函分析，还没有系统地建立这套底子，建议先补上第一期《面向应用的泛函分析：空间、算子与结构》。

第一期回答三个更基本的问题：怎样把形态各异的函数放进同一个框架里谈论；怎样定义“接近”与“收敛”，让逼近和迭代算法有明确的终点；怎样保证求解过程对扰动和噪声始终稳定。它沿着“空间—度量—完备—算子—几何—对偶”这条主线，把最抽象的名词讲成一张可以在科研里导航的地图。第一期已有录播，可在集智学园网站回看。

第二期的每一讲，都站在这些结论上再往前走一步：第一期建立直觉，第二期把这些直觉变成可以写出证明、可以直接用于论文的工具。两期连起来，是从“理解泛函分析”到“用泛函分析做事”的完整路径。