埃舍尔双曲空间的奇幻之旅

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

本文讨论欧几里得空间的生物在双曲或球面几何的世界中会如何发展，反之亦然。各种各样的视错觉和违反直觉的体验出现了，它们可以用这些几何图形的平面模型进行数学解释。

如果我们进入双曲宇宙，会有什么体验？赫尔曼·冯·亥姆霍兹在《几何公理的起源和意义》一文中给出了如下答案：

我们可以推断，对于一个像我们在欧几里得空间中那样获得了空间的视觉测量和经验的观察者来说，如果有可能进入一个伪球形[即双曲]世界，会是什么样子。这样的观察者将继续把光线或视线视为直线，如在平坦空间中遇到的，以及它们在伪球形几何的球形表示中的真实情况[即，三维版本的投影盘模型；参见图1]。因此，伪球形空间中的物体的视觉图像会给他留下相同的印象，就好像他在贝尔特拉米的球中心一样。他会认为他看到了他周围有限距离的最遥远的物体，让我们假设100英尺远。但是当他接近这些遥远的物体时，它们会在他面前膨胀……而在他身后他们会收缩。他会知道他的眼睛判断错误。如果他看到两条直线，在他的估计中它们与他的世界尽头平行，他会发现沿着它们走得越远，它们就越偏离。[1，第316–317页]

我们打算对亥姆霍兹的这些简短论述加以阐述。亥姆霍兹的基本假设是，生物进入一个不同的世界时，会以保持测地线的方式将其嵌入自己的几何中，从而扭曲他所看到的世界。在这样做的过程中，生物的行为是正常的；他使用自己一直使用的相同几何图形来解释世界，并使用“光线沿直线传播”的假设将视觉印象转化为这种几何图形，就像他一直做的那样。因此，举例来说，如果一个欧几里得生物进入了一个双曲世界，他就会把他的视觉印象强加到他的欧几里得头脑中，也就是说，他会在他的头脑中把双曲的大地线表现为欧几里得几何意义上的直线，而其他几何特性则会相应地被扭曲。事实上，有一个著名的双曲几何模型将双曲测地线表示为欧几里得线，这就是图1所示的投影圆盘模型。该模型虽然保留了直线，但却扭曲了尺寸；所有拼块的双曲尺寸都相等。

图1：双曲几何的射影圆盘模型(左)和共形圆盘模型(右)。

有了这个图形，就很容易证实亥姆霍兹的说法了。我们应该想象自己站在圆盘的中心，当我们行走时，我们应该想象自己保持在中心，而地面则像跑步机一样在我们脚下移动。在我们看来，远处的某块地砖的大小只是离我们最近的地砖的一小部分，但当我们走到它跟前时，这块远处的地砖就会占据图形的中心部分，因此它看起来会和我们以前站立的地砖一样大，而那些地砖在我们身后的大小则会缩小。如果我们把目光投向我们打算步行前往的某个特定目标，那么我们会发现步行的时间比预期的要长很多，因为我们会判断，例如，前方五块瓷砖的距离远远小于我们所处位置的一块瓷砖的长度。因此，一般来说，我们会误判物体比实际距离更近、更小。

遗憾的是，亥姆霍兹并没有详细说明他的论述所依据的假设，因此留下了许多未解之谜。尤其是，我们为什么要使用投影圆盘模型而不是保角圆盘模型？双曲大小失真现象与我们在普通欧几里得空间中的日常经验（即远处的物体看起来更小）究竟有什么关系？

我们将尝试回答这些问题。首先，我们应该明确，我们并不是在假设距离和大小是以某种数学上定义明确的方式（例如，根据到达眼睛的光线的角度测量）来判断的。相反，我们假设生物是以它们一直以来的方式来判断距离和大小的。这包括有关光线到达眼睛的入射角度和其他类似度量的某些数学原理，但也涉及各种经验事实和对世界的假设。

以图2中的瓷砖地板为例。当我们看到瓷砖地板的透视图（如左图）时，我们会推断所有瓷砖的大小相同。数学原理在这里发挥了作用；除其他效果外，数学原理还能让我们辨别真假透视图，如右图中的透视图。

图 2：瓷砖地板的精确透视图（左）和不精确透视图（右）。

然而，瓷砖大小相等的推论并没有严格的数学依据。毕竟，在某些简化的假设条件下，比如我们只有一只眼睛，没有“迷雾”或焦距差异，也没有判断物体远近的其他因素等，其他几何排列也可以给人完全相同的视觉印象。事实上，在这些假设条件下，上面的图片和实际的瓷砖地板会给人完全相同的视觉印象。我们推断自己看到的是铺着大小相等的正方形瓷砖的地板，这一推断与数学原理、经验以及对日常生活中通常会遇到的物体类型的隐含假设纠缠在一起。我们假设，当我们进入双曲空间时，所有这一切都会延续下去。

因此，如果我们看到的东西看起来像是瓷砖地板的精确透视图，我们就会认为我们看到的是大小相等的瓷砖。在双曲世界中，什么样的几何构造会给我们这样的视觉印象呢？在投影圆盘模型中，很容易就能画出给人这种视觉印象的图形：只需在模型中画出欧几里得正方形的规则网格。由于光是直线传播的（在这个模型中是欧几里得直线），所以当我们把网格上的点连接到观察者的眼点时，就会得到一束与欧几里得情况无异的直线。

然而，保角圆盘模型也保留了通过中点的测地线。那么，在这个论证中，我们是否可以用共形盘代替投影盘呢？严格地说，就纯视觉数据而言，我们可以这样做。但是，我们判断直线度的能力并不仅仅局限于视网膜几何。我们对直线度的感知还受到一些文化线索的影响，例如所有车轮都对准的汽车轨迹、匆忙的行人、惯性运动的物体以及建筑物的边缘及其阴影。有了这些暗示的帮助，共形磁盘的情况不太可能欺骗我们；我们很可能会把瓷砖地板的表面印象当作游乐园游乐场那种故意制造的视觉错觉。另一方面，在投影圆盘的情况下，我们没有这样的借口，所以我们会相信瓷砖地板的错觉以及随之而来的对距离的错误估计。

这些论据支持亥姆霍兹的原理，即生物进入一个不同的世界时，会以保留大地的方式将其嵌入自己的几何中，从而扭曲他所看到的世界。既然这个原理已经确立，我们就可以把它推广到其他几何中去，自娱自乐一番。

让我们先来看看球面几何。亥姆霍兹再次为我们提供了一些简短的意见：

如果我们用欧几里得的空间来测量，进入一个三维的球形空间，就会产生一种相反的错觉。我们会认为较远的物体比实际距离更远、更大，而且在接近它们时会发现，我们到达它们的速度比我们从它们的外观所预期的要快……然而，球形世界中最奇特的景象应该是我们自己的后脑勺。[1，第 317-318 页］

的确，我们会看到自己的后脑勺，因为球面几何学中的测地线是大圆，所以从我们的后脑勺到我们的眼睛存在测地线路径。那么度量扭曲呢？是否有一个类似于双曲面的模型可以帮助我们理解为什么这些扭曲是亥姆霍兹所报告的那种类型呢？根据亥姆霍兹原理，如果我们进入一个球形宇宙，我们就会以保全测地线的方式将其映射到我们的欧几里得思维中。事实上，确实存在这样一种映射：gnomonic 投影，即从球心到切面的投影（示例见图 3）。由于球面上的测地线是球面与通过其中心的平面的交点，因此其投影是该平面与投影到切线平面的交点，即一条直线，因此测地线投影显然是保全测地线的。18]

通过图3，我们可以证实亥姆霍兹的说法。假设我们站在图的中心，我们认为瑞典和非洲一样大，但如果我们走到瑞典，就会发现我们大错特错了。我们认为靠近两极的东西几乎是无限遥远的，而实际上这个距离只是球体周长的四分之一，所以我们会惊讶地发现我们可以很容易地到达那里。总之，我们会错误地判断物体比实际距离更远、体积更大。

这里存在的一个问题是，在 gnomonic 投影法下，只有半个球体被映射到平面上。当然，来自球面另一半的光线也会到达我们的眼睛。那么，我们该如何解释来自这一半的光线呢？它在我们的几何世界概念中的位置如何？或者说，既然我们看到自己的后脑勺“在”我们的“前面”，我们怎么可能想象出它的“距离”呢？这种现象并不像初看起来那么荒谬。事实上，它与我们日常观察天空的经验类似。当我们仰望天空时，我们看到的是星星、太阳和月亮，但我们的视觉印象并不像本地物体那样带有任何距离的内涵。我们有一个“地平线”，在这个地平线之外，我们无法判断距离。因此，对于进入球形世界的欧几里得生物来说，球体的远半部分就类似于我们的夜空；他们会看到它，但他们的度量概念并不适用。

现在，让我们考虑一下其他世界的生物进入我们世界的相反情况。同样，我们的规则是，每个生物都会以保全测地线的方式将我们的世界映射到他自己的几何世界中。

对于球形生物来说，借助球面镜就可以非常生动地说明这一点。如果将一面球面镜（大小合适）对着图3中的球面投影插图，在尼日利亚下方的切点处与之相触，镜中的图像将是我们习惯看到的一个几乎完美的地球。(您可以使用放大的gnomonic 投影图来亲自尝试一下。如果把图形放大到与报纸版面差不多大，那么就可以使用一个与保龄球差不多大的花园装饰品镜子；如果放大得更小，就可以使用一个普通的圣诞球作为镜子）。这证明了照镜子近似于gnomonic投影的逆投影（因为它“撤销”了原来的投影）。因此，这个地图也几乎是保全测地线的，所以它可以用来计算球形生物在我们的世界中是如何判断距离和大小的。显然，球形生物会认为所有东西都离自己很近（不超过圆周的四分之一），而且非常小（比如，从远处用球面镜观察一座山，它看起来很小，比近处的一分钱硬币还小）。

图3:地球Gnomonic投影到尼日利亚正南方的一个相切平面上。(出自[3])。)

双曲生物则会有相反的误解。同样，投影圆盘是连接我们两个世界的桥梁，因为它具有大地保全性。但现在情况相反了；双曲生物会把投影圆盘的度量标准强加给我们的世界。这样，他就会认为，距离我们只有几英寸（或者他的圆盘半径是多少）的物体几乎是无限远的（要到达那里，我们必须穿过这么多的瓷砖），而且非常大（因为它覆盖了这么多的瓷砖）。如果他发现自己只需一两步就能走到那里，而且这些物体并不像他想象的那样巨大，他会多么惊讶啊。在这里，“度量地平线 ”现象又是非常明显的。双曲生物只能判断其圆盘半径范围内的距离。其他一切都会被他判定为无法估量的遥远，就像我们看到的夜空一样。因此，他在这方面的困惑就好比我们突然意识到站在脚尖上就能伸手触摸到月亮一样。

我们还需要考虑双曲生物进入球形世界的情况，反之亦然。这些情况下所需的大地保全映射可以通过上述映射的组合来获得，并以欧几里得几何作为中间阶段。因此，要了解球形生物如何体验双曲世界，我们只需在球面镜中观察触及圆心的投影圆盘模型即可。根据我们迄今为止的讨论，双曲直线=投影圆盘模型中的欧几里得直线≈镜面投影下的球面直线，因此这给出了双曲几何的近似保全测地线球面模型。因此，球面生物会认为所有东西都非常近（根据圆盘和球面的半径，也许在周长的十分之一以内），而且与实际大小相比非常小（远处的拼块小得令人难以置信）。相反，双曲生物对球形空间的体验是通过将投影圆盘度量强加在球体的gnomonic投影上而获得的。这样，球面直线 = 球面投影上的直线 = 投影圆盘上的直线，因此大地线得以保留。因此，双曲生物的错觉将由上述与这些映射相关的两种错觉组成；他会认为物体非常远（几乎所有物体甚至都在“度量水平线”之外）和非常大（因为它们覆盖了如此多的方格）。

参考文献

[1] Hermann Helmholtz, “The origin and meaning of geometrical axioms,” Mind, Volume 1 Number 3 (1876), pages 301–321.

[2] William T. Shaw, Complex Analysis with Mathematica, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.

[3] Eric W. Weisstein, Gnomonic projection—From MathWorld; available at: http://mathworld.wolfram.com/GnomonicProjection.html, ac

cessed on June 26, 2013.

[4] Viktor Blåsjö, Hyperbolic Space for Tourists

青山不改，绿水长流，在下告退。

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