金观涛：《几何原本》蕴含的“源代码”是？丨双体实验室

大家好，我是船长。

由著名古希腊数学家欧几里得撰写的《几何原本》，不仅奠定了几何学的基础，更以其严密的公理化体系为后世科学提供了方法论模板，成为现代科学思维的重要源头之一。今天，在炙手可热的人工智能、量子计算、宇宙探索等领域的底层逻辑中，依然闪烁着两千多年前欧几里得几何学的智慧。

金观涛老师将《几何原本》比作科学史上的“武功秘籍”，其中蕴含着现代科学分形成长的自相似原则。从牛顿的《自然哲学的数学原理》到爱因斯坦的相对论，科学家们无不延续《几何原本》的推理方式——从几条自明的公理出发，通过逻辑演绎构建宏大的理论体系。这种革命性的公理化方法成为现代科学的基石。

而数学真实也进一步孕育出科学真实。欧几里得证明“素数无限”时，无需枚举所有素数，而是通过逻辑必然性得出结论——这种超越经验的“公理系统”真实，正是科学理论可靠性的根源。

此外，两位老师还特别提到《几何原本》传入中国的曲折历程。徐光启在翻译时曾惊叹其“似至晦实至明，似至繁实至简”，敏锐意识到中西方思维的根本差异。中国完整接受这套体系的时间差，恰恰映射了现代科学在不同文明中扎根的难度。今天我们将通过这本古老的“武功秘籍”，一窥现代科学的起源之路。

《几何原本》中蕴含的“源代码”

文/金观涛

神奇的武功秘籍

欧几里得是古希腊数学家，曾受业于柏拉图学园，后应埃及托勒密国王邀请，从雅典移居亚历山大，从事数学教学和研究工作。今日流传的欧几里得事迹大多不可考，但可以确定的是他留下的《几何原本》。正是在该书的示范作用下，数理天文学诞生了，托勒密的《大汇编》亦成为武功秘籍的附加部分。古希腊与古罗马文明消亡以后，《几何原本》和《大汇编》一直保留在阿拉伯文的文献中，直至文艺复兴前几个世纪才被再一次植入西方天主教文明。哥白尼到意大利比萨留学的时候，《大汇编》的完整版才刚被翻译成拉丁文。牛顿力学的兴起则源于这些武功秘籍的进一步放大并再次发挥作用。近代科学的代表人物——从伽利略、开普勒到牛顿，都受到《几何原本》的影响。爱因斯坦的相对论和量子力学的背后，同样存在欧几里得几何学理论的影子(见图2)，正因如此，今天科学家把物理学理论称为几何式的。

图：西方科学传统

关于牛顿力学的建立如何源于《几何原本》示范作用的放大，我会在后面的章节详加分析。据说牛顿一辈子只笑过一次，这发生在他担任卢卡斯讲座数学教授期间，有一个学生问牛顿：欧几里得的《几何原本》是否值得一读？这时牛顿笑了，《几何原理》怎么会不值得一读呢？牛顿的《自然哲学的数学原理》一书，就是仿照《几何原本》的形式写成的。

在科学史上，许多科学家都效仿《几何原本》，说明自己的研究结论是如何从最初的几个作为自明公理的假设中逻辑地推导出来的。量子力学和相对论也是如此，爱因斯坦甚至将《几何原本》称为“神圣的几何学小书”，认为“这本书里有许多断言，比如三角形的三条高交于一点，它们本身并不是显而易见的，但却可以很可靠地加以证明，以至于任何怀疑似乎都不可能”。

在牛津大学的一次演讲中，爱因斯坦还提出：“如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你天生注定不是一个科学思想家。”晚年爱因斯坦在写给好友的信中，非常清楚地说明了他对于科学理论构造的观点，那就是科学源于公理体系(见图2-3)。这一观点来自欧几里得几何学。

图：科学源于公理体系

正因为欧几里得《几何原本》中蕴含现代科学分形成长的自相似原则，在某种意义上《几何原本》传入另一文明并对其知识系统起到塑造作用，可以视为近代科学在该文明出现之标志，中国就是明显的例子。据考证，该书部分内容传入中国的时间很早，在13世纪就与阿拉伯数学一起传入中国。但上文所说的示范作用不是指知晓其中某些内容，而是其整个思维方式。

事实上，在1607年由利玛窦口述、徐光启笔授的6卷本《几何原本》中译本出现前，中国人对这种思维模式是完全陌生的。徐光启的译本是根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文《几何原本》(15卷)译成的，故17世纪亦被普遍视作中国最早接触西方近代科学的时期。根据我与刘青峰的观念史研究，这一观点是正确的，因为它和中国用“格致”指涉西方近代科学同时发生。

更重要的是，徐光启翻译的只是《几何原本》前半部分，后半部分(共9卷)由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作译出。这里面的200年时间差正意味着中国接受现代科学的延误。徐光启对《几何原本》的评论极高，他说道：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。

有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至、三能：似至晦实至明，故能以其明明他物之至晦;似至繁实至简，故能以其简简他物之至繁;似至难实至易，故能以易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。”杨振宁由此指出徐光启清楚地明白“欧几里得和中国学者在逻辑思考方面的基本分异”。

科学起源于数学真实

《几何原本》属于数学著作，现代科学起源于这一本独特的数学书，这意味着科学真实最早被包含在数学真实中。什么是“数学真实”？我在第三编和方法篇中会给出其严格定义，现只做简单说明。人们通常将数学之真归为逻辑推理及逻辑自洽，其实，这并不正确。只要分析《几何原本》的结构，立即可以看到这一点。《几何原本》共有13卷，其主要内容由三部分组成：一是平面几何与立体几何，二是数论，三是代数方程或代数几何(见表1)。

纵观《几何原本》的三部分内容，能得出如下结论：第一，《几何原本》没有将亚里士多德发现的三段论作为讨论内容，推导方法不是重言式的形式逻辑法则，即其讨论的是数学，而不是逻辑;第二，虽然《几何原本》中存在计算，但它更关心普遍命题，其核心是数学推导;第三，由于该著作并非单纯的几何，而是由几何学、数论、代数几何包括普遍方程求解三部分组成，其推导方式对这些不同的领域都适用，这是一种从自明的公理推出定理或结论的“公理系统”方法。上述三个特征代表了这部武功秘籍的精神，我们可以从中了解数学真实是什么。

内容

1

定义、公设与公理；直线与三角形；平行线；面积

3

直径、切线

4

圆、内接及外切多边形、正五边形问题

5

普遍比例理论

6

比例理论应用于平面几何；二次方程通解

11

立体几何学定义；直线形体

12

曲面面积及体积

13

五种正多面体；外接球面

7

定义；最大公约与最小公倍数；比例理论之适用；素数问题

8

级数;复比例

9

平方数、立方数、因子分解;素数数目无限定理;几何级数和;完整数

10

无理数论；无理根分类。此为诸卷中最长者

图：《几何原本》书籍内容

表面上看，上述三个特征平淡无奇。其实只要稍加分析，就可以看到数学真实神奇的性质，因为它并不等同于逻辑推理以及逻辑自洽对应的真实性。也就是说，通常人们注重的“重言式类的包含及自洽”不代表数学的精神。如果没有逻辑，我们该如何进行推理呢？《几何原本》当然不是反对形式逻辑，虽然数学推理的每一步都包含形式逻辑，但其有效性依赖某种整体结构——公理化的推理方法，而不是重言式的形式逻辑。

早在古希腊，哲学家就知道，下述类似于三段论的推理不是基于形式逻辑：如果B的面积是A的2倍，C的面积又是B的2倍，则C的面积是A的4倍。也就是说，2X2=4不能从三段论推出，至于为什么如此，古希腊哲学家不能回答。因为其涉及自然数计算，到20世纪才知道，自然数计算不能用逻辑导出。那么数学计算是不是可以归为经验推理呢？也不是!为此，让我们回到《几何原本》的第二个特征。欧几里得在《几何原本》中不是以计算为中心，而是以推出普遍命题作为目标。什么是不等同于计算的普遍命题之推理？下面举一个素数的例子。

图：质数螺旋

素数又叫质数，它们只能被1和自身整除。由2开始，3、5、7、11、19、23这么一路延续下去，从前一个素数求出下一个素数，这是计算。但素数有多少个呢？这个问题无法由经验计算回答，但欧几里得在《几何原本》已经证明了素数有无限个。自此之后，有关素数的普遍命题就成为数论研究的重要组成部分，有很多命题至今都没有解决。

孪生素数猜想就是其中之一。所谓“孪生素数”是指两个素数前后有差值为2，比如(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)、(29，31)、(41，43)。如果一直列举下去，我们可以发现其分布越来越稀疏，但似乎始终存在。孪生素数猜想是：孪生素数有无穷多对，不管其分布多少稀疏。这一猜想至今都没有得到证明。

这个例子明确反映出数学推理的性质：第一，即便现实世界中研究者用再多的计算机来算，也不可能求出所有孪生素数，即它不是经验所能证明的；第二，只要数“数”这件事是真的，孪生素数的猜想就能被推理证明是否成立，即推出的结论也是真的。《几何原本》蕴含一个未曾言明的前提：在数学真实的结构中，前提为真，结论就一定为真。“前提为真”往往是显而易见的，但结论的真实性并非如此。换言之，数学真实强调真实性具有某种公理化的整体结构。

在自然数研究中发现这种不同于形式逻辑又超越出经验之“公理系统”推理方式，似乎并不太困难。奇妙的是，这种推理方法能从自然数领域延伸运用到线段测量和图形关系中，这才是《几何原本》的核心观点。也就是说，根据《几何原本》的第三个特征，这种基于“公理系统”真实性的推理方法可以运用到所有知识系统中。

正因如此，它才是现代科学的种子，即现代科学真实起源于数学真实。为了剖析数学真实颇为奇妙的内在结构，让我们回到历史脉络中，分析欧几里得几何学在古希腊文明中是如何形成的。

本文系摘选自《消失的真实：现代社会的思想危机》一书第二编第一章3-4两节。为便于阅读，部分段落做了拆分和删减，推文标题为编者所拟，学术讨论请以原文为准。文中部分配图来源于网络，如有侵权请联系公众号后台删除。

扫描上方二维码可购买

内容编校：航琦

内容编排：婧婷

编发 审定：船长

声明

双体实验室出品 如需转载联系后台

欢迎转发朋友圈 一起探索人文科技